Динамическая модель инвестиций в научные исследования олигополии

Лесик Илья А.; Перевозчиков Александр Г.

doi:10.31857/S042473880008561-6

Русский

Главная>Номер 2>Динамическая модель инвестиций в научные исследования олигополии

Динамическая модель инвестиций в научные исследования олигополии

Оглавление

Аннотация Оценить Содержание публикации

Библиография Комментарии

Динамическая модель инвестиций в научные исследования олигополии

Аннотация

Код статьи

S042473880008561-6-1

DOI

10.31857/S042473880008561-6

Тип публикации

Статья

Статус публикации

Опубликовано

Авторы

Лесик Илья Александрович Связаться с автором

Должность: старший инженер
Аффилиация: НПО «РусБИТех»
Адрес: Москва, Российская Федерация

Перевозчиков Александр Геннадиевич

Должность: старший научный сотрудник
Аффилиация: НПО «РусБИТех»
Адрес: Российская Федерация

Выпуск

Том 56 Номер 2

Страницы

101-113

Аннотация

Предлагается алгоритм определения остатков по кредитной линии, максимизирующих текущую стоимость собственного капитала компании-олигополии за счет инвестиций в научные исследования. Статья основывается на модели олигополии Курно, описанной в работе (Васин, Морозов,2005). В отличие от модели Курно, где исследован статический случай, мы изучаем динамическое расширение модели инвестиций, предложенной в работе (Перевозчиков, Лесик, 2014). Модель является обобщением классической производственной задачи на динамический случай и позволяет учесть ограничения по предельному левериджу, определяющему приемлемый уровень финансовой устойчивости компании, а также сформулировать достаточные условия существования режима устойчивого роста компании и дать оценки темпов роста (Перевозчиков, Лесик, Каримов, 2016). В работе в явном виде получена формула для прибыли олигополии в модели Курно как функции объема инвестиций в научные исследования, направленные на уменьшение удельной себестоимости, откуда следует кусочная дифференцируемость критерия в построенном динамическом расширении модели. Это позволяет применить к полученной задаче дискретного оптимального управления метод проекции стохастического градиента с осреднением из работы (Завриев, Перевозчиков, 1991).

Ключевые слова

динамическая модель инвестиций, текущая стоимость собственного капитала, финансирование инвестиций, оптимальные остатки по кредитной линии

Классификатор

Получено

12.04.2020

Дата публикации

11.06.2020

Всего подписок

35

Всего просмотров

1867

Оценка читателей

0.0 (0 голосов)

Цитировать Скачать pdf

ГОСТ
Лесик И. А. , Перевозчиков А. Г. Динамическая модель инвестиций в научные исследования олигополии // Экономика и математические методы. – 2020. – T. 56. – Номер 2 C. 101-113 . URL: https://emmras.ru/dinamicheskaya-model-investiciy-v-nauchnye-issledovaniya-oligopolii/?version_id=12645. DOI: 10.31857/S042473880008561-6

MLA
Lesik, Ilya, Perevozchikov, Aleksandr "Dynamic model of investments in research of oligopolia." Economics and the Mathematical Methods. 56.2 (2020).:101-113. DOI: 10.31857/S042473880008561-6

APA
Lesik I., Perevozchikov A. (2020). Dynamic model of investments in research of oligopolia. Economics and the Mathematical Methods. vol. 56, no. 2, pp.101-113 DOI: 10.31857/S042473880008561-6

Содержание публикации

1
ВВЕДЕНИЕ
<h1 id="text_content_item_1" class="docx-publication-h1">ВВЕДЕНИЕ</h1>
<h1 id="text_content_item_1" class="docx-publication-h1">ВВЕДЕНИЕ</h1>

2 В статье рассматривается задача определения оптимальных остатков по кредитной линии в динамической модели инвестиций в олигополию Курно (Васин, Морозов, 2005). Отличие состоит в том, что исследуется задача увеличения прибыли олигополии в зависимости от выделенного объема инвестиций в научные исследования, уменьшающие удельную себестоимость продукции. Связь между прибылью компании и текущими инвестициями в каждом периоде устанавливается через классическую модель олигополии, изученную в работах (Novchek, 1985; Amir, 1996; Kukushkin, 1999). В статье рассматривается задача определения оптимальных остатков по кредитной линии в динамической модели инвестиций в олигополию Курно (Васин, Морозов, 2005). Отличие состоит в том, что исследуется задача увеличения прибыли олигополии в зависимости от выделенного объема инвестиций в научные исследования, уменьшающие удельную себестоимость продукции. Связь между прибылью компании и текущими инвестициями в каждом периоде устанавливается через классическую модель олигополии, изученную в работах (Novchek, 1985; Amir, 1996; Kukushkin, 1999).
В статье рассматривается задача определения оптимальных остатков по кредитной линии в динамической модели инвестиций в олигополию Курно (Васин, Морозов, 2005). Отличие состоит в том, что исследуется задача увеличения прибыли олигополии в зависимости от выделенного объема инвестиций в научные исследования, уменьшающие удельную себестоимость продукции. Связь между прибылью компании и текущими инвестициями в каждом периоде устанавливается через классическую модель олигополии, изученную в работах (Novchek, 1985; Amir, 1996; Kukushkin, 1999).

3 К компаниям-олигополиям относятся, в частности, государственные корпорации, работающие в области ОПК. Например, государственная корпорация (ГК) Воздушно-космической обороны (ВКО), созданная на базе государственного концерна Алмаз-Антей, делит рынок систем ВКО с американскими и европейскими корпорациями и относится к компаниям-олигополиям, исследование которых является задачей мезоэкономики (Мезоэкономика развития, 2011) и рынков однородных товаров. Изучение таких компаний позволяет сэкономить инвестиционные ресурсы для достижения поставленных целей завоевания рынка вооружений и увеличения доли на этом рынке. К компаниям-олигополиям относятся, в частности, государственные корпорации, работающие в области ОПК. Например, государственная корпорация (ГК) Воздушно-космической обороны (ВКО), созданная на базе государственного концерна Алмаз-Антей, делит рынок систем ВКО с американскими и европейскими корпорациями и относится к компаниям-олигополиям, исследование которых является задачей мезоэкономики (Мезоэкономика развития, 2011) и рынков однородных товаров. Изучение таких компаний позволяет сэкономить инвестиционные ресурсы для достижения поставленных целей завоевания рынка вооружений и увеличения доли на этом рынке.
К компаниям-олигополиям относятся, в частности, государственные корпорации, работающие в области ОПК. Например, государственная корпорация (ГК) Воздушно-космической обороны (ВКО), созданная на базе государственного концерна Алмаз-Антей, делит рынок систем ВКО с американскими и европейскими корпорациями и относится к компаниям-олигополиям, исследование которых является задачей мезоэкономики (Мезоэкономика развития, 2011) и рынков однородных товаров. Изучение таких компаний позволяет сэкономить инвестиционные ресурсы для достижения поставленных целей завоевания рынка вооружений и увеличения доли на этом рынке.

4 Практическая значимость работы связана с получением конструктивных алгоритмов, позволяющих осуществить согласование параметров инвестиционного процесса, обеспечивающее устойчивый рост государственных корпораций, действующих в области ОПК. Вывод на траекторию роста является главной задачей стагфляционной (стагнация плюс инфляция) экономики в настоящий момент. Предложенные модели роста особенно подходят для государственных корпораций ОПК, поскольку стоимость кредитов для них могла бы быть минимальной (или даже нулевой), так как они финансируются из бюджета за счет дополнительной эмиссии, а залогом могли бы служить векселя, обеспеченные постоянно возрастающими внеоборотными активами (ВА). Практическая значимость работы связана с получением конструктивных алгоритмов, позволяющих осуществить согласование параметров инвестиционного процесса, обеспечивающее устойчивый рост государственных корпораций, действующих в области ОПК. Вывод на траекторию роста является главной задачей стагфляционной (стагнация плюс инфляция) экономики в настоящий момент. Предложенные модели роста особенно подходят для государственных корпораций ОПК, поскольку стоимость кредитов для них могла бы быть минимальной (или даже нулевой), так как они финансируются из бюджета за счет дополнительной эмиссии, а залогом могли бы служить векселя, обеспеченные постоянно возрастающими внеоборотными активами (ВА).
Практическая значимость работы связана с получением конструктивных алгоритмов, позволяющих осуществить согласование параметров инвестиционного процесса, обеспечивающее устойчивый рост государственных корпораций, действующих в области ОПК. Вывод на траекторию роста является главной задачей стагфляционной (стагнация плюс инфляция) экономики в настоящий момент. Предложенные модели роста особенно подходят для государственных корпораций ОПК, поскольку стоимость кредитов для них могла бы быть минимальной (или даже нулевой), так как они финансируются из бюджета за счет дополнительной эмиссии, а залогом могли бы служить векселя, обеспеченные постоянно возрастающими внеоборотными активами (ВА).

5 В общетеоретическом плане концепция инвестиционной стоимости лежит в основе современной теории оценки бизнеса (Дамодаран, 2010). Дисконтированная стоимость денежного потока на собственный капитал компании представляет универсальный агрегированный критерий, который позволяет решать все вопросы, связанные со структурой и стоимостью капитала в зависимости от предполагаемых капитальных вложений согласно методологии компании «Deloitte & Touche» (Методология и руководство по проведению оценки бизнеса и/или активов ОАО РАО «ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России», 2003–2005). Оценке инвестиционной стоимости бизнеса посвящено большое число публикаций (Виленский, Лившиц, Смоляк, 2004). Однако до сих пор фундаментальный вопрос о связи инвестиций с операционной деятельностью компании остается актуальным. Кроме того, как правило, одни специалисты занимаются дисконтированием, а другие прогнозированием и оптимизацией денежного потока. Поэтому актуальной является задача объединения дисконтирования, прогнозирования и оптимизации денежного потока инвестиций в одной динамической модели (Мезоэкономика развития, 2011, с. 64). В общетеоретическом плане концепция инвестиционной стоимости лежит в основе современной теории оценки бизнеса (Дамодаран, 2010). Дисконтированная стоимость денежного потока на собственный капитал компании представляет универсальный агрегированный критерий, который позволяет решать все вопросы, связанные со структурой и стоимостью капитала в зависимости от предполагаемых капитальных вложений согласно методологии компании «Deloitte & Touche» (Методология и руководство по проведению оценки бизнеса и/или активов ОАО РАО «ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России», 2003–2005). Оценке инвестиционной стоимости бизнеса посвящено большое число публикаций (Виленский, Лившиц, Смоляк, 2004). Однако до сих пор фундаментальный вопрос о связи инвестиций с операционной деятельностью компании остается актуальным. Кроме того, как правило, одни специалисты занимаются дисконтированием, а другие прогнозированием и оптимизацией денежного потока. Поэтому актуальной является задача объединения дисконтирования, прогнозирования и оптимизации денежного потока инвестиций в одной динамической модели (Мезоэкономика развития, 2011, с. 64).
В общетеоретическом плане концепция инвестиционной стоимости лежит в основе современной теории оценки бизнеса (Дамодаран, 2010). Дисконтированная стоимость денежного потока на собственный капитал компании представляет универсальный агрегированный критерий, который позволяет решать все вопросы, связанные со структурой и стоимостью капитала в зависимости от предполагаемых капитальных вложений согласно методологии компании «Deloitte & Touche» (Методология и руководство по проведению оценки бизнеса и/или активов ОАО РАО «ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России», 2003–2005). Оценке инвестиционной стоимости бизнеса посвящено большое число публикаций (Виленский, Лившиц, Смоляк, 2004). Однако до сих пор фундаментальный вопрос о связи инвестиций с операционной деятельностью компании остается актуальным. Кроме того, как правило, одни специалисты занимаются дисконтированием, а другие прогнозированием и оптимизацией денежного потока. Поэтому актуальной является задача объединения дисконтирования, прогнозирования и оптимизации денежного потока инвестиций в одной динамической модели (Мезоэкономика развития, 2011, с. 64).

6 Основной результат работы состоит в выводе явной формулы для прибыли олигополии в модели Курно как функции объема инвестиций во внеоборотные средства, направленные на уменьшение удельной себестоимости, откуда следует кусочная дифференцируемость критерия оптимальности в построенном динамическом расширении модели. Это позволяет применить к полученной задаче дискретного оптимального управления метод проекции стохастического градиента с осреднением из работы (Завриев, Перевозчиков, 1991). Основной результат работы состоит в выводе явной формулы для прибыли олигополии в модели Курно как функции объема инвестиций во внеоборотные средства, направленные на уменьшение удельной себестоимости, откуда следует кусочная дифференцируемость критерия оптимальности в построенном динамическом расширении модели. Это позволяет применить к полученной задаче дискретного оптимального управления метод проекции стохастического градиента с осреднением из работы (Завриев, Перевозчиков, 1991).
Основной результат работы состоит в выводе явной формулы для прибыли олигополии в модели Курно как функции объема инвестиций во внеоборотные средства, направленные на уменьшение удельной себестоимости, откуда следует кусочная дифференцируемость критерия оптимальности в построенном динамическом расширении модели. Это позволяет применить к полученной задаче дискретного оптимального управления метод проекции стохастического градиента с осреднением из работы (Завриев, Перевозчиков, 1991).

7
1. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ОЛИГОПОЛИИ
<h1 id="text_content_item_7" class="docx-publication-h1">1. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ОЛИГОПОЛИИ</h1>
<h1 id="text_content_item_7" class="docx-publication-h1">1. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ОЛИГОПОЛИИ</h1>

8 Следуя работе (Васин, Морозов, 2005), опишем модель олигополии по Курно. Рассматривается отрасль экономики, выпускающая однородный товар. В отрасль входит $m$ предприятий-производителей, каждое характеризуется постоянной удельной себестоимостью $с^{a} > 0$ и максимальным объемом производства $V^{a} > 0, a \in A = \{1, . . ., m\}$ . Задана однозначная функция спроса на товар $D (p)$ , причем она убывает по $p$ и $D (p) \to 0$ при $p \to \infty .$ Характерным примером функции спроса служит функция вида Следуя работе (Васин, Морозов, 2005), опишем модель олигополии по Курно. Рассматривается отрасль экономики, выпускающая однородный товар. В отрасль входит <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> предприятий-производителей, каждое характеризуется постоянной удельной себестоимостью <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>с</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>></mo><mn>0</mn></math> и максимальным объемом производства <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi></mrow></mfenced></math> . Задана однозначная функция спроса на товар <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></math> , причем она убывает по <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mn>0</mn></math> при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi><mo>.</mo></math> Характерным примером функции спроса служит функция вида
Следуя работе (Васин, Морозов, 2005), опишем модель олигополии по Курно. Рассматривается отрасль экономики, выпускающая однородный товар. В отрасль входит <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> предприятий-производителей, каждое характеризуется постоянной удельной себестоимостью <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>с</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>></mo><mn>0</mn></math> и максимальным объемом производства <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi></mrow></mfenced></math> . Задана однозначная функция спроса на товар <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></math> , причем она убывает по <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mn>0</mn></math> при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi><mo>.</mo></math> Характерным примером функции спроса служит функция вида

9 $D (p) = K / p^{α}, α > 0 .$ (1) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>α</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> (1)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>α</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> (1)

10 Стратегией предприятия $a \in A$ является объем выпуска $v^{a} \in [0, V^{a}]$ . Цена на рынке устанавливается таким образом, чтобы фактическое предложение товара $\sum_{a \in A}^{} v^{a}$ соответствовало его спросу. Обозначим через $v = (v^{a}, a \in A)$ вектор выпуска товара. Тогда цена на рынке будет равна $p (v) = D^{- 1} (\sum_{a \in A} v^{a}) .$ Стратегией предприятия <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></math> является объем выпуска <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>]</mo></math> . Цена на рынке устанавливается таким образом, чтобы фактическое предложение товара <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></mrow><mrow/></msubsup><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math> соответствовало его спросу. Обозначим через <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>v</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></mrow></mfenced></math> вектор выпуска товара. Тогда цена на рынке будет равна <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>
Стратегией предприятия <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></math> является объем выпуска <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>]</mo></math> . Цена на рынке устанавливается таким образом, чтобы фактическое предложение товара <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></mrow><mrow/></msubsup><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math> соответствовало его спросу. Обозначим через <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>v</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></mrow></mfenced></math> вектор выпуска товара. Тогда цена на рынке будет равна <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>

11 Прибыль производителя $a$ зависит от вектора выпусков $v$ и определяется как Прибыль производителя <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi></math> зависит от вектора выпусков <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>v</mi></math> и определяется как
Прибыль производителя <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi></math> зависит от вектора выпусков <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>v</mi></math> и определяется как

12 $u^{a} (v) = v^{a} (p (v) - c^{a}) .$ (2) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>.</mo></math> (2)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>.</mo></math> (2)

13 В точке $v = 0$ функции $u^{a} (v)$ имеют особенность. По определению полагают $u^{a} (0) = 0$ . В случае В точке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>v</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math> функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></math> имеют особенность. По определению полагают <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math> . В случае
В точке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>v</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math> функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></math> имеют особенность. По определению полагают <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math> . В случае

14 $\underset{V \to 0 +}{l i m} D^{- 1} (V) V > 0$ (3) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>V</mi><mo>→</mo><mn>0</mn><mo>+</mo></mrow></munder><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mi>V</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> (3)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>V</mi><mo>→</mo><mn>0</mn><mo>+</mo></mrow></munder><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mi>V</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> (3)

15 функция $u^{a} (0 {‖v}^{a}) = v^{a} (D^{- 1} (v^{a}) - c^{a})$ разрывна в точке $v^{a} = 0$ . При этом равновесие по Нэшу в описанной игре Г может не существовать (Васин, Морозов, 2005, с. 192, упражнение 18.1). В случае (1) условие (3) эквивалентно неравенству $α > 1$ . функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mn>0</mn><msup><mrow><mfenced open="‖" close="" separators="|"><mrow><mi>v</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo></math> разрывна в точке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> . При этом равновесие по Нэшу в описанной игре Г может не существовать (Васин, Морозов, 2005, с. 192, упражнение 18.1). В случае (1) условие (3) эквивалентно неравенству <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>></mo><mn>1</mn></math> .
функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mn>0</mn><msup><mrow><mfenced open="‖" close="" separators="|"><mrow><mi>v</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo></math> разрывна в точке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> . При этом равновесие по Нэшу в описанной игре Г может не существовать (Васин, Морозов, 2005, с. 192, упражнение 18.1). В случае (1) условие (3) эквивалентно неравенству <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>></mo><mn>1</mn></math> .

16 Лемма 1 (Васин, Морозов, 2005, с. 187). Если $\bar{v}$ — равновесие по Нэшу, то $\bar{v} \neq 0$ и выполнены следующие необходимые условия: Лемма 1 (Васин, Морозов, 2005, с. 187). Если <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> — равновесие по Нэшу, то <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>≠</mo><mn>0</mn></math> и выполнены следующие необходимые условия:
Лемма 1 (Васин, Морозов, 2005, с. 187). Если <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> — равновесие по Нэшу, то <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>≠</mo><mn>0</mn></math> и выполнены следующие необходимые условия:

17 1) ${\bar{v}}^{a} = 0 \Rightarrow {u'}_{v^{a}} (\bar{v}) \leq 0;$ 1) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>≤</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></math>
1) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>≤</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></math>

18 2) ${\bar{v}}^{a} \in (0, V^{a}) \Rightarrow {u'}_{v^{a}} (\bar{v}) = 0;$ 2) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>∈</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></math>
2) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>∈</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></math>

19 3) ${\bar{v}}^{a} = V^{a} \Rightarrow {u'}_{v^{a}} (\bar{v}) \geq 0 .$ 3) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>
3) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>

20 Производная функции прибыли по объему выпуска имеет вид Производная функции прибыли по объему выпуска имеет вид
Производная функции прибыли по объему выпуска имеет вид

21 ${u'}_{v^{a}} (v) = D^{- 1} (\sum_{b \in A} v^{b}) - c^{a} + v^{a} / \dot{D} (p (v)) .$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>/</mo><mover><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>.</mo></mrow></mover><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>.</mo></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>/</mo><mover><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>.</mo></mrow></mover><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>.</mo></math>

22 Теорема 1 (Васин, Морозов, 2005, с. 188). Пусть $c^{1} \leq c^{2} \leq . . . \leq c^{m}$ и функция спроса убывает и дифференцируема. Тогда найдется такое предприятие k, что в равновесии по Нэшу ${\bar{v}}^{a} > 0, a = 1, . . ., k,$ и ${\bar{v}}^{a} = 0, a = k + 1, . . ., m,$ причем $c^{k + 1} > c^{k} .$ Теорема 1 (Васин, Морозов, 2005, с. 188). Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≤</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msup></math> и функция спроса убывает и дифференцируема. Тогда найдется такое предприятие k, что в равновесии по Нэшу <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math> причем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>></mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math>
Теорема 1 (Васин, Морозов, 2005, с. 188). Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≤</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msup></math> и функция спроса убывает и дифференцируема. Тогда найдется такое предприятие k, что в равновесии по Нэшу <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math> причем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>></mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math>

23 Рассмотрим сначала модель без ограничений на объемы выпуска. В точке максимума прибыли $u^{a} (v)$ в (2) по $v^{a}$ все производные ${u'}_{v^{a}} (\bar{v}) = 0, a = 1, . . ., k,$ и для поиска равновесия по Нэшу получаем систему уравнений относительно неизвестных ${\bar{v}}^{a}, a \in A_{k} = {1, . . ., k} :$ Рассмотрим сначала модель без ограничений на объемы выпуска. В точке максимума прибыли <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></math> в (2) по <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></math> все производные <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math> и для поиска равновесия по Нэшу получаем систему уравнений относительно неизвестных <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>}</mo><mo>:</mo></math>
Рассмотрим сначала модель без ограничений на объемы выпуска. В точке максимума прибыли <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></math> в (2) по <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></math> все производные <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math> и для поиска равновесия по Нэшу получаем систему уравнений относительно неизвестных <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>}</mo><mo>:</mo></math>

24 ${u'}_{v^{a}} (\bar{v}) = D^{- 1} (\sum_{b \in A_{k}} {\bar{v}}^{b}) - c^{a} + {\bar{v}}^{a} / \overset{\cdot}{D} (p (\bar{v})) = 0, a \in A_{k} .$ (4) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>/</mo><mover><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>⋅</mo></mrow></mover><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math> (4)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>/</mo><mover><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>⋅</mo></mrow></mover><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math> (4)

25 Суммируя уравнения (4) по всем $a \in A_{k}$ , приходим к уравнению Суммируя уравнения (4) по всем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> , приходим к уравнению
Суммируя уравнения (4) по всем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> , приходим к уравнению

26 $k D^{- 1} (\sum_{b \in A_{k}} {\bar{v}}^{b}) - \sum_{b \in A_{k}} c^{b} + \sum_{b \in A_{k}} {\bar{v}}^{b} / \overset{\cdot}{D} (D^{- 1} (\sum_{b \in A_{k}} {\bar{v}}^{b})) = 0$ (5) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>/</mo><mover><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>⋅</mo></mrow></mover><mo>(</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math> (5)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>/</mo><mover><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>⋅</mo></mrow></mover><mo>(</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math> (5)

27 относительно одной неизвестной величины $\sum_{b \in A_{k}} v^{b}$ . Определив эту величину и подставив в уравнение (4), найдем значения ${\bar{v}}^{a}, a \in A_{k} .$ относительно одной неизвестной величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math> . Определив эту величину и подставив в уравнение (4), найдем значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math>
относительно одной неизвестной величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math> . Определив эту величину и подставив в уравнение (4), найдем значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math>

28 Например, для функции (1) $p (v) = D^{- 1} (\sum_{a \in A_{k}} v^{a}) = K / \sum_{a \in A_{k}} v^{a}$ уравнение (5) преобразуется к виду Например, для функции (1) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math> уравнение (5) преобразуется к виду
Например, для функции (1) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math> уравнение (5) преобразуется к виду

29 $k K / \sum_{b \in A_{k}} {\bar{v}}^{b} - \sum_{b \in A_{k}} c^{b} - K / \sum_{b \in A_{k}} {\bar{v}}^{b} = 0 .$ (6) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> (6)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> (6)

30 Отсюда получим выражение $\sum_{b \in A_{k}} v^{b} = (k - 1) K / \sum_{b \in A_{k}} c^{b}$ (7) и, подставим его в (4): ${u'}_{v^{a}} (\bar{v}) = K / \sum_{b \in A_{k}} {\bar{v}}^{b} - c^{a} - {\bar{v}}^{a} K / (\sum_{b \in A_{k}} {\bar{v}}^{b})^{2} = 0, a \in A_{k} .$ (8) Отсюда получим выражение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math> (7) и, подставим его в (4): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math> (8)
Отсюда получим выражение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math> (7) и, подставим его в (4): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math> (8)

31 Найдем равновесие по Нэшу в модели Курно: Найдем равновесие по Нэшу в модели Курно:
Найдем равновесие по Нэшу в модели Курно:

32 ${\bar{v}}^{a} = \sum_{b \in A_{k}} {\bar{v}}^{b} - \frac{c^{a}}{K} (\sum_{b \in A_{k}} {\bar{v}}^{b})^{2} = \frac{K (k - 1)}{\sum_{b \in A_{k}} c^{b}} (1 - c^{a} (k - 1) / \sum_{b \in A_{k}} c^{b}), a \in A_{k} .$ (9) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math> (9)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mo>(</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math> (9)

33 Согласно предположению ${\bar{v}}^{a} > 0, a = 1, . . ., k .$ Отсюда с учетом (9) следует, что $\sum_{b \in A_{k}} c^{b} > c^{a} (k - 1), a = 1, . . ., k,$ или эквивалентное неравенство Согласно предположению <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>.</mo></math> Отсюда с учетом (9) следует, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>></mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math> или эквивалентное неравенство
Согласно предположению <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>.</mo></math> Отсюда с учетом (9) следует, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>></mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math> или эквивалентное неравенство

34 $\sum_{b \in A_{k}} c^{b} > c^{k} (k - 1) .$ (10) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>></mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>.</mo></math> (10)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>></mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>.</mo></math> (10)

35 Заметим, что (10) всегда выполняется для $k = 2$ в силу $c^{a} > 0, a \in A .$ Заметим, что (10) всегда выполняется для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math> в силу <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi><mo>.</mo></math>
Заметим, что (10) всегда выполняется для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math> в силу <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi><mo>.</mo></math>

36 Далее, ${\bar{v}}^{a} = 0, a = k + 1, . . ., m .$ Из условия 1 леммы 1 имеем ${\bar{v}}^{a} = 0 \Rightarrow {u'}_{v^{a}} (\bar{v}) \leq 0 .$ Подставляя в (10) ${\bar{v}}^{a} = 0$ и учитывая (9), получим условие ${u'}_{v^{a}} (\bar{v}) = K / \sum_{b \in A_{k}} {\bar{v}}^{b} - c^{a} =$ $= \sum_{b \in A_{k}} c^{b} / (k - 1) - c^{a} \leq 0,$ $a = k + 1, . . ., m .$ Это условие равносильно неравенству $\sum_{b \in A_{k}} c^{b} \leq c^{k + 1} (k - 1),$ эквивалентному неравенству Далее, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>.</mo></math> Из условия 1 леммы 1 имеем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>≤</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> Подставляя в (10) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> и учитывая (9), получим условие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>≤</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>.</mo></math> Это условие равносильно неравенству <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>,</mo></math> эквивалентному неравенству
Далее, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>.</mo></math> Из условия 1 леммы 1 имеем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>≤</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> Подставляя в (10) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> и учитывая (9), получим условие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>≤</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>.</mo></math> Это условие равносильно неравенству <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>,</mo></math> эквивалентному неравенству

37 $\sum_{b \in A_{k + 1}} c^{b} \leq c^{k + 1} k,$ (11) которое означает, что (10) не выполняется при следующем номере $l = k + 1$ . <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>k</mi><mo>,</mo></math> (11) которое означает, что (10) не выполняется при следующем номере <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math> .
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>k</mi><mo>,</mo></math> (11) которое означает, что (10) не выполняется при следующем номере <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math> .

38 Лемма 2. Предположим, что справедливо (13), тогда отношение $d_{k} = c^{k} (k - 1) / \sum_{b \in A_{k}} c^{b}$ Лемма 2. Предположим, что справедливо (13), тогда отношение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math>
Лемма 2. Предположим, что справедливо (13), тогда отношение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math>

39 не убывает, начиная с номера $l = k + 1$ . не убывает, начиная с номера <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math> .
не убывает, начиная с номера <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math> .

40 Доказательство. Достаточно показать, что (13) влечет неравенство Доказательство. Достаточно показать, что (13) влечет неравенство
Доказательство. Достаточно показать, что (13) влечет неравенство

41 $c^{l + 1} (k) / (\sum_{b \in A_{l}} c^{b} + c^{l + 1}) \geq c^{l} (l - 1) / \sum_{b \in A_{l}} c^{b}$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math>

42 при $l = k + 1$ . Или после преобразования $c^{l + 1} l \sum_{b \in A_{l}} c^{b} \geq c^{l} (l - 1) \sum_{b \in A_{l}} c^{b} + c^{l + 1} c^{l} (l - 1)$ , т.е. $\sum_{b \in A_{l}} c^{b} \geq c^{l} (l - 1)$ , но последнее равносильно (13). при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math> . Или после преобразования <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>l</mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> , т.е. <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> , но последнее равносильно (13).
при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math> . Или после преобразования <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>l</mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> , т.е. <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> , но последнее равносильно (13).

43 Лемма 3. При условии $V^{a} = \infty, a \in A,$ номер k в утверждении теоремы 1 является максимальным номером, для которого выполняется неравенство (10). Отсюда следует, что $v^{3} = 0$ . Лемма 3. При условии <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi><mo>,</mo></math> номер k в утверждении теоремы 1 является максимальным номером, для которого выполняется неравенство (10). Отсюда следует, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> .
Лемма 3. При условии <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi><mo>,</mo></math> номер k в утверждении теоремы 1 является максимальным номером, для которого выполняется неравенство (10). Отсюда следует, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> .

44 Доказательство. Предположим, что k — максимальный номер, удовлетворяющий неравенству (10), тогда $\sum_{b \in A_{k}} c^{b} + с^{k + 1} \leq c^{k + 1} k \Rightarrow \sum_{b \in A_{k}} c^{b} \leq c^{k + 1} (k - 1) \leq c^{a} (k - 1),$ $a = k + 1, . . ., m,$ и выполняется (11). Доказательство. Предположим, что k — максимальный номер, удовлетворяющий неравенству (10), тогда <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><msup><mrow><mi>с</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>k</mi><mo>⇒</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math> и выполняется (11).
Доказательство. Предположим, что k — максимальный номер, удовлетворяющий неравенству (10), тогда <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><msup><mrow><mi>с</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>k</mi><mo>⇒</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math> и выполняется (11).

45 Наоборот, если k не максимальный номер, то из (11) следует, что (10) не выполняется при следующем k+1, но тогда оно не будет выполняться и дальше в силу неубывания отношения $d_{k}$ с номера k+1 согласно лемме 2. Таким образом, получается противоречие с тем, что k — максимальный номер, удовлетворяющий неравенству (10). Наоборот, если k не максимальный номер, то из (11) следует, что (10) не выполняется при следующем k+1, но тогда оно не будет выполняться и дальше в силу неубывания отношения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> с номера k+1 согласно лемме 2. Таким образом, получается противоречие с тем, что k — максимальный номер, удовлетворяющий неравенству (10).
Наоборот, если k не максимальный номер, то из (11) следует, что (10) не выполняется при следующем k+1, но тогда оно не будет выполняться и дальше в силу неубывания отношения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> с номера k+1 согласно лемме 2. Таким образом, получается противоречие с тем, что k — максимальный номер, удовлетворяющий неравенству (10).

46 Пример 1. Найти равновесие при условиях $K = 1000, m = 3,$ $V^{a} = \infty, c^{1} = 1, c^{2} = 2, c^{3} = 3$ . Пример 1. Найти равновесие при условиях <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>=</mo><mn>1000</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>3</mn></math> .
Пример 1. Найти равновесие при условиях <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>=</mo><mn>1000</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>3</mn></math> .

47 Решение. Неравенство (10) не выполняется при $k = 2$ и при $k = 3$ . Согласно утверждению леммы 3 номер k в утверждении теоремы 1 равен 2. Отсюда следует, что $v^{3} = 0$ . Далее, из формулы (11) получим Решение. Неравенство (10) не выполняется при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math> и при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math> . Согласно утверждению леммы 3 номер k в утверждении теоремы 1 равен 2. Отсюда следует, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> . Далее, из формулы (11) получим
Решение. Неравенство (10) не выполняется при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math> и при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math> . Согласно утверждению леммы 3 номер k в утверждении теоремы 1 равен 2. Отсюда следует, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> . Далее, из формулы (11) получим

48 $v^{1} = \frac{K (2 - 1)}{1 + 2} (1 - \frac{1 (2 - 1)}{1 + 2}) = \frac{2}{9} K$ и $v^{2} = \frac{K (2 - 1)}{1 + 2} (1 - \frac{2 (2 - 1)}{1 + 2}) = \frac{1}{9} K$ . <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac><mi>K</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac><mi>K</mi></math> .
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac><mi>K</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac><mi>K</mi></math> .

49 При этом имеет место формула (7) $\sum_{b \in A_{k}} v^{b} = (2 - 1) K / (1 + 2) = K / 3$ . Отсюда из формулы (1) при $α = 1$ можем рассчитать равновесную цену $p (v) = K / \sum_{a \in A_{k}} v^{a} = 3$ . При этом имеет место формула (7) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>3</mn></math> . Отсюда из формулы (1) при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> можем рассчитать равновесную цену <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>3</mn></math> .
При этом имеет место формула (7) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>3</mn></math> . Отсюда из формулы (1) при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> можем рассчитать равновесную цену <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>3</mn></math> .

50 Таблица 1. Пример 1 Таблица 1. Пример 1
Таблица 1. Пример 1

51
$a$ 1 2 3 $\sum_{a \in A_{k}} v^{a}$
$c^{a}$ 1 2 3
$v^{a}$ $2 K / 9$ $K / 9$ 0 $K / 3$
$p (v)$ 3
<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>2</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>3</mn></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></math> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td></tr></table>
<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>2</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>3</mn></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></math> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td></tr></table>

52 Для модели с ограничениями на объемы выпуска отметим два случая: Для модели с ограничениями на объемы выпуска отметим два случая:
Для модели с ограничениями на объемы выпуска отметим два случая:

53 1) $\underset{a = 1, . . ., k}{m a x} ({\bar{v}}^{a} - V^{a}) < 0,$ тогда решение задач с ограничениями на объемы выпуска совпадает с решением (11) той же задачи без ограничений; 1) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo><</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math> тогда решение задач с ограничениями на объемы выпуска совпадает с решением (11) той же задачи без ограничений;
1) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo><</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math> тогда решение задач с ограничениями на объемы выпуска совпадает с решением (11) той же задачи без ограничений;

54 2) $\underset{a = 1, . . ., k}{m a x} ({\bar{v}}^{a} - V^{a}) \geq 0,$ тогда перенумеруем последовательность $V^{a_{f}}, f = 1, . . ., k,$ чтобы выполнялись неравенства $V^{a_{1}} \geq V^{a_{2}} \geq . . . \geq V^{a_{k}}$ . Фиксируем номер $s, 1 \leq s \leq k$ и рассмотрим набор 2) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math> тогда перенумеруем последовательность <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>f</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>,</mo><mi>f</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math> чтобы выполнялись неравенства <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msup><mo>≥</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msup></math> . Фиксируем номер <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>s</mi><mo>≤</mo><mi>k</mi></math> и рассмотрим набор
2) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math> тогда перенумеруем последовательность <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>f</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>,</mo><mi>f</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math> чтобы выполнялись неравенства <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msup><mo>≥</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msup></math> . Фиксируем номер <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>s</mi><mo>≤</mo><mi>k</mi></math> и рассмотрим набор

55 ${\bar{v}}^{a_{l}} = \{\begin{array}{l} {\tilde{v}}^{a_{l}}, l \leq s, \\ V^{a_{l}}, l > s . \end{array}$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>,</mo><mi>l</mi><mo>≤</mo><mi>s</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>,</mo><mi>l</mi><mo>></mo><mi>s</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>,</mo><mi>l</mi><mo>≤</mo><mi>s</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>,</mo><mi>l</mi><mo>></mo><mi>s</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>

56 Тогда, переписав (8), для этого случая получим систему для нахождения ${\tilde{v}}^{a_{l}}, l = 1, . . ., s :$ Тогда, переписав (8), для этого случая получим систему для нахождения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>:</mo></math>
Тогда, переписав (8), для этого случая получим систему для нахождения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>:</mo></math>

57 ${u'}_{v^{a}} (\bar{v}) = K / (\sum_{l = s + 1}^{k} V^{a_{l}} + \sum_{l = 1}^{s} {\tilde{v}}^{a_{l}}) - c^{a_{l}} - {\tilde{v}}^{a_{l}} K / (\sum_{l = s + 1}^{k} V^{a_{l}} + \sum_{l = 1}^{s} {\tilde{v}}^{a_{l}})^{2} = 0, l = 1, . . ., s .$ (12) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>.</mo></math> (12)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>.</mo></math> (12)

58 Уравнение (5) преобразуется к виду Уравнение (5) преобразуется к виду
Уравнение (5) преобразуется к виду

59 $s K / (\sum_{l = s + 1}^{k} V^{a_{l}} + \sum_{l = 1}^{s} {\tilde{v}}^{a_{l}}) - \sum_{l = 1}^{s} c^{a_{l}} - \sum_{l = 1}^{s} {\tilde{v}}^{a_{l}} K / (\sum_{l = s + 1}^{k} V^{a_{l}} + \sum_{l = 1}^{s} {\tilde{v}}^{a_{l}})^{2} = 0 .$ (13) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> (13)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> (13)

60 Отсюда находим величину $\sum_{l = 1}^{s} {\tilde{v}}^{a_{l}}$ и, подставляя ее в (12), получаем ${\tilde{v}}^{a_{l}} = {\tilde{v}}^{a_{l}} (s), l = 1, . . ., s .$ Отсюда находим величину <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow></math> и, подставляя ее в (12), получаем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>.</mo></math>
Отсюда находим величину <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow></math> и, подставляя ее в (12), получаем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>.</mo></math>

61 Начинаем поиск равновесия по Нэшу с $s = k$ . Из (12)–(13) определяем ${\tilde{v}}^{a_{l}} = {\tilde{v}}^{a_{l}} (s), l = 1, . . ., s$ и проверяем условия Начинаем поиск равновесия по Нэшу с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>k</mi></math> . Из (12)–(13) определяем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>s</mi></math> и проверяем условия
Начинаем поиск равновесия по Нэшу с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>k</mi></math> . Из (12)–(13) определяем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>s</mi></math> и проверяем условия

62 $0 < {\tilde{v}}^{a_{l}} (s) < V^{a^{l}}, l = 1, . . ., s .$ (14) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mo><</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msup></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>.</mo></math> (14)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mo><</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msup></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>.</mo></math> (14)

63 Мы не можем воспользоваться леммой 3 для определения $k$ как максимального номера, удовлетворяющего неравенству (10). Поэтому условия 1 и 3 леммы 1 приходится проверять отдельно. Условие 1 имеет вид Мы не можем воспользоваться леммой 3 для определения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math> как максимального номера, удовлетворяющего неравенству (10). Поэтому условия 1 и 3 леммы 1 приходится проверять отдельно. Условие 1 имеет вид
Мы не можем воспользоваться леммой 3 для определения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math> как максимального номера, удовлетворяющего неравенству (10). Поэтому условия 1 и 3 леммы 1 приходится проверять отдельно. Условие 1 имеет вид

64 ${\bar{v}}^{a} = 0 \Rightarrow {u'}_{v^{a}} (\bar{v}) = K / (\sum_{l = s + 1}^{k} V^{a_{l}} + \sum_{l = 1}^{s} {\tilde{v}}^{a_{l}}) - c^{a} \leq 0, a = k + 1, . . . ., m,$ (15) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>≤</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math> (15)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>≤</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math> (15)

65 а условие 3 — а условие 3 —
а условие 3 —

66 ${\bar{v}}^{a_{l}} = V^{a_{l}} \Rightarrow {u'}_{v^{a}} (\bar{v}) = K / (\sum_{l = s + 1}^{k} V^{a_{l}} + \sum_{l = 1}^{s} {\tilde{v}}^{a_{l}}) - c^{a_{l}} - V^{a_{l}} K / (\sum_{l = s + 1}^{k} V^{a_{l}} + \sum_{l = 1}^{s} {\tilde{v}}^{a_{l}})^{2} \geq 0, l = s + 1, . . . ., k .$ (16) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>.</mo></math> (16)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>⇒</mo><msub><mrow><mi>u</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup><mi>K</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mrow><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>.</mo></math> (16)

67 При этом значения $k$ также перебираются последовательно от $m$ к 1 до тех пор, пока не будут выполнены все условия (15), (16). При этом значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math> также перебираются последовательно от <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> к 1 до тех пор, пока не будут выполнены все условия (15), (16).
При этом значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math> также перебираются последовательно от <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> к 1 до тех пор, пока не будут выполнены все условия (15), (16).

68 Пример 2. Предположим, что в условиях примера 1 имеем $V^{1} = K / 9, V^{2} = 2 K / 9, V^{3} = 3 K / 9 .$ Требуется найти равновесие. Пример 2. Предположим, что в условиях примера 1 имеем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn><mo>.</mo></math> Требуется найти равновесие.
Пример 2. Предположим, что в условиях примера 1 имеем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn><mo>.</mo></math> Требуется найти равновесие.

69 Решение. Перебирая значения $s = k, . . ., 1; k = 3,2, 1$ , убеждаемся, что они выполняются при $s = 2; k = 3$ . С учетом упорядоченности последовательности $V^{3} \geq V^{2} \geq V^{1}$ это означает, что ${\bar{v}}^{1} = V^{1}, {\bar{v}}^{2} = {\tilde{v}}^{2}, {\bar{v}}^{3} = {\tilde{v}}^{3}$ . Обозначим $x = V^{1} + {\tilde{v}}^{2} + {\tilde{v}}^{3}$ . Тогда уравнение (13) будет иметь вид $2 K / x - c^{2} - c^{3} - ({\tilde{v}}^{2} + {\tilde{v}}^{3}) K / x^{2},$ а после преобразований — $5 x^{2} / K - x - V^{1} = 0$ , откуда получим $x = (K + \sqrt{9 K^{2} + 20} / 3) / 10 \approx K / 5$ при достаточно больших $K$ . Решение. Перебирая значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>3,2</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></math> , убеждаемся, что они выполняются при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math> . С учетом упорядоченности последовательности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></math> это означает, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math> . Обозначим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math> . Тогда уравнение (13) будет иметь вид <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>2</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mo>(</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo></math> а после преобразований — <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>5</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mi>K</mi><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> , откуда получим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>K</mi><mo>+</mo><msqrt><mn>9</mn><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>20</mn></msqrt><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mo>/</mo><mn>10</mn><mo>≈</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>5</mn></math> при достаточно больших <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi></math> .
Решение. Перебирая значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>3,2</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></math> , убеждаемся, что они выполняются при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math> . С учетом упорядоченности последовательности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></math> это означает, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math> . Обозначим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math> . Тогда уравнение (13) будет иметь вид <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>2</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mo>(</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo></math> а после преобразований — <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>5</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mi>K</mi><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> , откуда получим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>K</mi><mo>+</mo><msqrt><mn>9</mn><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>20</mn></msqrt><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mo>/</mo><mn>10</mn><mo>≈</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>5</mn></math> при достаточно больших <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi></math> .

70 Уравнение (12) будет иметь вид $K / x - c^{a} - {\tilde{v}}^{a} K / x^{2}, a = 2,3,$ откуда следует ${\tilde{v}}^{a} = x - c^{a} x^{2} K / K x, a = 2,3 .$ Подставляя найденные значения, получим ${\tilde{v}}^{2} \approx K / 5 - 2 K^{2} / 25 K = 0,16 K; {\tilde{v}}^{3} \approx K / 5 - 3 K^{2} / 25 K = 0,14 K .$ Теперь можно вычислить равновесную цену $p (v) = K / x \approx 5$ . Уравнение (12) будет иметь вид <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>/</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mi>K</mi><mo>/</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2,3</mn><mo>,</mo></math> откуда следует <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>K</mi><mo>/</mo><mi>K</mi><mi>x</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2,3</mn><mo>.</mo></math> Подставляя найденные значения, получим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≈</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>5</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mn>25</mn><mi>K</mi><mo>=</mo><mn>0,16</mn><mi>K</mi><mo>;</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>≈</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>5</mn><mo>-</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mn>25</mn><mi>K</mi><mo>=</mo><mn>0,14</mn><mi>K</mi><mo>.</mo></math> Теперь можно вычислить равновесную цену <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mi>x</mi><mo>≈</mo><mn>5</mn></math> .
Уравнение (12) будет иметь вид <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>/</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mi>K</mi><mo>/</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2,3</mn><mo>,</mo></math> откуда следует <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>K</mi><mo>/</mo><mi>K</mi><mi>x</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2,3</mn><mo>.</mo></math> Подставляя найденные значения, получим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≈</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>5</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mn>25</mn><mi>K</mi><mo>=</mo><mn>0,16</mn><mi>K</mi><mo>;</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>≈</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>5</mn><mo>-</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mn>25</mn><mi>K</mi><mo>=</mo><mn>0,14</mn><mi>K</mi><mo>.</mo></math> Теперь можно вычислить равновесную цену <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mi>x</mi><mo>≈</mo><mn>5</mn></math> .

71 Проверим условия (14)–(16). Условие (14) выполняется Проверим условия (14)–(16). Условие (14) выполняется
Проверим условия (14)–(16). Условие (14) выполняется

72 $\begin{array}{l} 0 < {\tilde{v}}^{2} \approx 0,16 K < V^{2} = 2 K / 9 = 0,22 K; \\ 0 < {\tilde{v}}^{3} \approx 0,16 K < V^{3} = 3 K / 9 = 0,33 K, \end{array}$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>0</mn><mo><</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≈</mo><mn>0,16</mn><mi>K</mi><mo><</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn><mo>=</mo><mn>0,22</mn><mi>K</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo><</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>≈</mo><mn>0,16</mn><mi>K</mi><mo><</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn><mo>=</mo><mn>0,33</mn><mi>K</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>0</mn><mo><</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≈</mo><mn>0,16</mn><mi>K</mi><mo><</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn><mo>=</mo><mn>0,22</mn><mi>K</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo><</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>≈</mo><mn>0,16</mn><mi>K</mi><mo><</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mn>9</mn><mo>=</mo><mn>0,33</mn><mi>K</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math>

73 условие (15) отсутствует, условие (16) — условие (15) отсутствует, условие (16) —
условие (15) отсутствует, условие (16) —

74 ${\bar{v}}^{1} = V^{1} \Rightarrow \frac{K}{x} - c^{1} - \frac{V^{1} K}{x^{2}} \approx 5 - 1 - \frac{25}{9} = 1,23 \geq 0$ . <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>⇒</mo><mfrac><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mi>K</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>≈</mo><mn>5</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>25</mn></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1,23</mn><mo>≥</mo><mn>0</mn></math> .
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>⇒</mo><mfrac><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mi>K</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>≈</mo><mn>5</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>25</mn></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1,23</mn><mo>≥</mo><mn>0</mn></math> .

75 Предположим, что фиксированная олигополия $b \in A$ хочет улучшить свое положение на рынке за счет инвестиций в научные исследования (НИС) компании, снижающие удельную себестоимость $c^{b} .$ Зависимость элементов технологической матрицы компании от произведенных инвестиций в НИС по правилу треугольника может иметь вид (Мезоэкономика развития, 2011): Предположим, что фиксированная олигополия <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>b</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></math> хочет улучшить свое положение на рынке за счет инвестиций в научные исследования (НИС) компании, снижающие удельную себестоимость <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math> Зависимость элементов технологической матрицы компании от произведенных инвестиций в НИС по правилу треугольника может иметь вид (Мезоэкономика развития, 2011):
Предположим, что фиксированная олигополия <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>b</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></math> хочет улучшить свое положение на рынке за счет инвестиций в научные исследования (НИС) компании, снижающие удельную себестоимость <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math> Зависимость элементов технологической матрицы компании от произведенных инвестиций в НИС по правилу треугольника может иметь вид (Мезоэкономика развития, 2011):

76 $c^{b} (y) = \frac{c^{b} (1 + χ)}{1 + ψ s (y)}; s (y) = \sqrt{\frac{2}{1 + y}} \frac{y - 1}{3} \approx \frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{y}, y \to \infty .$ (22) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>χ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>ψ</mi><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msqrt><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac></msqrt><mfrac><mrow><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>≈</mo><mfrac><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><msqrt><mi>y</mi></msqrt><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>y</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi><mo>.</mo></math> (22)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>χ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>ψ</mi><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msqrt><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac></msqrt><mfrac><mrow><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>≈</mo><mfrac><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><msqrt><mi>y</mi></msqrt><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>y</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi><mo>.</mo></math> (22)

77 Здесь $χ$ — коэффициент износа оборудования на предприятии; $s = s (y)$ — коэффициент ресурсосбережения; $y$ — средства, направляемые на НИС и влияющие на изменение удельной себестоимости $c^{b}$ с учетом износа оборудования и ресурсосбережения; $ψ$ — коэффициент влияния ресурсосбережения, который определяется как отношение величины ресурсосбережения к величине удельных затрат. Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>χ</mi></math> — коэффициент износа оборудования на предприятии; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></math> — коэффициент ресурсосбережения; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi></math> — средства, направляемые на НИС и влияющие на изменение удельной себестоимости <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></math> с учетом износа оборудования и ресурсосбережения; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ψ</mi></math> — коэффициент влияния ресурсосбережения, который определяется как отношение величины ресурсосбережения к величине удельных затрат.
Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>χ</mi></math> — коэффициент износа оборудования на предприятии; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></math> — коэффициент ресурсосбережения; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi></math> — средства, направляемые на НИС и влияющие на изменение удельной себестоимости <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></math> с учетом износа оборудования и ресурсосбережения; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ψ</mi></math> — коэффициент влияния ресурсосбережения, который определяется как отношение величины ресурсосбережения к величине удельных затрат.

78 Прибыль производителя $b$ зависит от вектора выпусков $\bar{v} = \bar{v} (y)$ и находится по формуле (2): $Q (y) = u^{b} (y) = {\bar{v}}^{b} (y) (p (\bar{v} (y)) - c^{b} (y)) .$ (18) Прибыль производителя <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>b</mi></math> зависит от вектора выпусков <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></math> и находится по формуле (2): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>.</mo></math> (18)
Прибыль производителя <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>b</mi></math> зависит от вектора выпусков <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></math> и находится по формуле (2): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>.</mo></math> (18)

79 Из алгоритма определения функции $\bar{v} = \bar{v} (y)$ следует, что справедлива следующая лемма. Из алгоритма определения функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></math> следует, что справедлива следующая лемма.
Из алгоритма определения функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></math> следует, что справедлива следующая лемма.

80 Лемма 4. Функция маржинального дохода (18) будет непрерывной и кусочно-дифференцируемой функцией $y$ в области $y > 0$ . Лемма 4. Функция маржинального дохода (18) будет непрерывной и кусочно-дифференцируемой функцией <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi></math> в области <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> .
Лемма 4. Функция маржинального дохода (18) будет непрерывной и кусочно-дифференцируемой функцией <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi></math> в области <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> .

81 Пример 3. Предположим, что $b = 3; s (y) \approx \sqrt{2} / 3 \sqrt{y}; χ = 0,1; ψ = 0,3$ . В условиях примера 1 требуется найти прибыль третьего производителя при $y \geq 1$ . Пример 3. Предположим, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>≈</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>/</mo><mn>3</mn><msqrt><mi>y</mi></msqrt><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>χ</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>ψ</mi><mo>=</mo><mn>0,3</mn></math> . В условиях примера 1 требуется найти прибыль третьего производителя при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math> .
Пример 3. Предположим, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>≈</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>/</mo><mn>3</mn><msqrt><mi>y</mi></msqrt><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>χ</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>ψ</mi><mo>=</mo><mn>0,3</mn></math> . В условиях примера 1 требуется найти прибыль третьего производителя при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math> .

82 Решение. Из формулы (17) получим Решение. Из формулы (17) получим
Решение. Из формулы (17) получим

83 $c^{3} (y) = \frac{c^{3} (1 + 0,1)}{1 + 0,3 \sqrt{2} / 3 \sqrt{y}} \approx \frac{3,3}{1 + 0,142 \sqrt{y}} < 3 \forall y \geq 1 .$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>0,1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>0,3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>/</mo><mn>3</mn><msqrt><mi>y</mi></msqrt></mrow></mfrac><mo>≈</mo><mfrac><mrow><mn>3,3</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>0,142</mn><msqrt><mi>y</mi></msqrt></mrow></mfrac><mo><</mo><mn>3</mn><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>∀</mo><mi>y</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>0,1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>0,3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>/</mo><mn>3</mn><msqrt><mi>y</mi></msqrt></mrow></mfrac><mo>≈</mo><mfrac><mrow><mn>3,3</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>0,142</mn><msqrt><mi>y</mi></msqrt></mrow></mfrac><mo><</mo><mn>3</mn><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>∀</mo><mi>y</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>

84 Отсюда следует, что неравенство (10) при $y \geq 1$ выполняется при $k = 3$ , тогда из формулы (11) имеем Отсюда следует, что неравенство (10) при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math> выполняется при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math> , тогда из формулы (11) имеем
Отсюда следует, что неравенство (10) при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math> выполняется при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math> , тогда из формулы (11) имеем

85 $v^{3} = \frac{K (3 - 1)}{3 + c^{3} (y)} (1 - \frac{c^{3} (y) (3 - 1)}{3 + c^{3} (y)}) = 2 K \frac{3 - c^{3} (y)}{(3 + c^{3} (y))^{2}},$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>K</mi><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>,</mo></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>K</mi><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>,</mo></math>

86 а по формуле (7) — $\sum_{b \in A_{k}} v^{b} = 2 K / (3 + c^{3} (y))$ . Отсюда из формулы (1) при $α = 1$ находим цену $p (v) = K / \sum_{a \in A_{k}} v^{a} = 0,5 (3 + c^{3} (y))$ . Подставляя в формулу (18), получим а по формуле (7) — <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></math> . Отсюда из формулы (1) при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> находим цену <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>0,5</mn><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></math> . Подставляя в формулу (18), получим
а по формуле (7) — <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>K</mi><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></math> . Отсюда из формулы (1) при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> находим цену <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>/</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>0,5</mn><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></math> . Подставляя в формулу (18), получим

87 $Q (y) = u^{3} (y) = {\bar{v}}^{3} (y) (p (\bar{v} (y)) - c^{3} (y)) = K {(\frac{3 - c^{3} (y)}{3 - c^{3} (y)})}^{2} .$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>K</mi><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math>

88 Заметим, что эта функция будет непрерывно-дифференцируемой в силу дифференцируемости функции $c^{3} (y)$ при $y \geq 1$ . Заметим, что эта функция будет непрерывно-дифференцируемой в силу дифференцируемости функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></math> при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math> .
Заметим, что эта функция будет непрерывно-дифференцируемой в силу дифференцируемости функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></math> при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math> .

89
2. ПОСТПРОГНОЗНАЯ СТОИМОСТЬ СОБСТВЕННОГО КАПИТАЛА КОМПАНИИ
<h1 id="text_content_item_89" class="docx-publication-h1">2. ПОСТПРОГНОЗНАЯ СТОИМОСТЬ СОБСТВЕННОГО КАПИТАЛА КОМПАНИИ</h1>
<h1 id="text_content_item_89" class="docx-publication-h1">2. ПОСТПРОГНОЗНАЯ СТОИМОСТЬ СОБСТВЕННОГО КАПИТАЛА КОМПАНИИ</h1>

90 В простейшем случае стоимость собственного капитала компании в постпрогнозный период может быть получена методом прямой капитализации по формуле Гордона (Методология…, 2003–2005): В простейшем случае стоимость собственного капитала компании в постпрогнозный период может быть получена методом прямой капитализации по формуле Гордона (Методология…, 2003–2005):
В простейшем случае стоимость собственного капитала компании в постпрогнозный период может быть получена методом прямой капитализации по формуле Гордона (Методология…, 2003–2005):

91 $X = X (y) = \frac{Q (y) (1 + τ)}{i - τ} = Q (y) (\frac{1 + τ}{1 + i} + {(\frac{1 + τ}{1 + i})}^{2} + . . .)$ , (19) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>X</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mfenced></math> , (19)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>X</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mfenced></math> , (19)

92 где $τ$ — постпрогнозный темп роста на уровне долгосрочного прогноза инфляции; $i$ —предполагаемая (инвестором) доходность на собственный капитал (стоимость собственного капитала). где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi></math> — постпрогнозный темп роста на уровне долгосрочного прогноза инфляции; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math> —предполагаемая (инвестором) доходность на собственный капитал (стоимость собственного капитала).
где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi></math> — постпрогнозный темп роста на уровне долгосрочного прогноза инфляции; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math> —предполагаемая (инвестором) доходность на собственный капитал (стоимость собственного капитала).

93 Пример 4. Предположим, что $τ = 0,04; i = 0,14$ . В условиях примера 3 требуется исследовать зависимость чистой стоимости инвестиционного проекта в научные исследования от объема инвестиций третьего производителя в постпрогнозный период с учетом начального вложения капитала в размере $y \geq 1$ . Пример 4. Предположим, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mo>=</mo><mn>0,04</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0,14</mn></math> . В условиях примера 3 требуется исследовать зависимость чистой стоимости инвестиционного проекта в научные исследования от объема инвестиций третьего производителя в постпрогнозный период с учетом начального вложения капитала в размере <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math> .
Пример 4. Предположим, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mo>=</mo><mn>0,04</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0,14</mn></math> . В условиях примера 3 требуется исследовать зависимость чистой стоимости инвестиционного проекта в научные исследования от объема инвестиций третьего производителя в постпрогнозный период с учетом начального вложения капитала в размере <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math> .

94 Решение. Из формулы (19) чистая стоимость проекта будет равна Решение. Из формулы (19) чистая стоимость проекта будет равна
Решение. Из формулы (19) чистая стоимость проекта будет равна

95 $\bar{X} (y) = X (y) - y = \frac{Q (y) (1 + τ)}{i - τ} - y = 10,4 K {(\frac{3 - c^{3} (y)}{3 - c^{3} (y)})}^{2} - y .$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>X</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi></mrow></mfrac><mo>-</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>10,4</mn><mi>K</mi><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mi>y</mi><mo>.</mo></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>X</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi></mrow></mfrac><mo>-</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>10,4</mn><mi>K</mi><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mi>y</mi><mo>.</mo></math>

96

Подпись к рисунку/медиа
Рис. 1. График функции X-(y) Из графика на рис. 1 видно, что максимальная стоимость проекта X-(y)=3750 достигается при y=1500 , а при y>7500 проект становиться нерентабельным.
Рис. 1. График функции X-(y) Из графика на рис. 1 видно, что максимальная стоимость проекта X-(y)=3750 достигается при y=1500 , а при y>7500 проект становиться нерентабельным.

97 Формула (19) метода прямой капитализации предполагает бесконечный период получения дохода и выводится суммированием соответствующей геометрической прогрессии. Она применяется для стационарного периода, наступающего после завершения всех предполагаемых инвестиций и возврата основной суммы займа, поэтому проценты по займам не учитываются. Формула (19) показывает потенциальные возможности роста стоимости компании в долгосрочной перспективе в зависимости от располагаемых финансовых ресурсов. Интересно сравнить эту потенциальную стоимость с текущей стоимостью компании. Для этого построим модель нестационарного изменения дохода компании в прогнозном периоде, охватывающем по времени все предполагаемые инвестиции и стабилизацию структуры капитала, следуя работе (Перевозчиков, Лесик, Каримов, 2016а). Формула (19) метода прямой капитализации предполагает бесконечный период получения дохода и выводится суммированием соответствующей геометрической прогрессии. Она применяется для стационарного периода, наступающего после завершения всех предполагаемых инвестиций и возврата основной суммы займа, поэтому проценты по займам не учитываются. Формула (19) показывает потенциальные возможности роста стоимости компании в долгосрочной перспективе в зависимости от располагаемых финансовых ресурсов. Интересно сравнить эту потенциальную стоимость с текущей стоимостью компании. Для этого построим модель нестационарного изменения дохода компании в прогнозном периоде, охватывающем по времени все предполагаемые инвестиции и стабилизацию структуры капитала, следуя работе (Перевозчиков, Лесик, Каримов, 2016а).
Формула (19) метода прямой капитализации предполагает бесконечный период получения дохода и выводится суммированием соответствующей геометрической прогрессии. Она применяется для стационарного периода, наступающего после завершения всех предполагаемых инвестиций и возврата основной суммы займа, поэтому проценты по займам не учитываются. Формула (19) показывает потенциальные возможности роста стоимости компании в долгосрочной перспективе в зависимости от располагаемых финансовых ресурсов. Интересно сравнить эту потенциальную стоимость с текущей стоимостью компании. Для этого построим модель нестационарного изменения дохода компании в прогнозном периоде, охватывающем по времени все предполагаемые инвестиции и стабилизацию структуры капитала, следуя работе (Перевозчиков, Лесик, Каримов, 2016а).

98
3. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
<h1 id="text_content_item_98" class="docx-publication-h1">3. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА</h1>
<h1 id="text_content_item_98" class="docx-publication-h1">3. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА</h1>

99 Финансирование инвестиций в ОС предполагается в форме кредитной линии, т.е. соглашения, по которому заемщик может брать новые кредиты, не погасив предыдущих, но так, чтобы остаток долга на конец каждого года был не менее нуля и не более оговоренного объема $V$ потолка кредитной линии. Суммарные платежи $p_{t}$ по кредитной линии, включающие проценты и части основного долга, можно представить в виде (Методология…, 2003–2005) Финансирование инвестиций в ОС предполагается в форме кредитной линии, т.е. соглашения, по которому заемщик может брать новые кредиты, не погасив предыдущих, но так, чтобы остаток долга на конец каждого года был не менее нуля и не более оговоренного объема <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi></math> потолка кредитной линии. Суммарные платежи <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> по кредитной линии, включающие проценты и части основного долга, можно представить в виде (Методология…, 2003–2005)
Финансирование инвестиций в ОС предполагается в форме кредитной линии, т.е. соглашения, по которому заемщик может брать новые кредиты, не погасив предыдущих, но так, чтобы остаток долга на конец каждого года был не менее нуля и не более оговоренного объема <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi></math> потолка кредитной линии. Суммарные платежи <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> по кредитной линии, включающие проценты и части основного долга, можно представить в виде (Методология…, 2003–2005)

100 $p_{t} = Z_{t - 1} g - Z_{t} + Z_{t - 1} = Z_{t - 1} g - Δ Z_{t}, t = 0, . . ., n .$ (20) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mi>g</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mi>g</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>.</mo></math> (20)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mi>g</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mi>g</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>.</mo></math> (20)

101 Здесь $g$ — средняя стоимость заемных средств. Остаток долга должен находиться в пределах Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>g</mi></math> — средняя стоимость заемных средств. Остаток долга должен находиться в пределах
Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>g</mi></math> — средняя стоимость заемных средств. Остаток долга должен находиться в пределах

102 $0 \leq Z_{t} \leq V, t = 1, . . ., n - 1 .$ (21) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math> (21)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math> (21)

103 В простейшем случае мы предполагаем нулевые начальные и конечные значения остатков, необходимых для расчета платежей по формуле (20): $Z_{0} = 0, Z_{n} = 0 .$ Это позволяет считать остатки $Z_{t}, t = 1, . . ., n - 1,$ по кредитной линии независимыми переменными. В частности, величина $Δ Z_{t} = Z_{t} - Z_{t - 1} > 0$ представляет собой новый кредит, увеличивающий общую задолженность, а $Δ Z_{t} = Z_{t} - Z_{t - 1} < 0$ — часть основного долга с обратным знаком, погашенного в периоде $t$ . Поэтому значения $Z_{t}, t = 1, . . ., n - 1,$ не связаны друг с другом и могут быть выбраны независимо из условий (21). Предполагается, что величина $Δ Z_{t} = Z_{t} - Z_{t - 1} > 0$ идет в инвестиции в НИС. В простейшем случае мы предполагаем нулевые начальные и конечные значения остатков, необходимых для расчета платежей по формуле (20): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> Это позволяет считать остатки <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> по кредитной линии независимыми переменными. В частности, величина <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn></math> представляет собой новый кредит, увеличивающий общую задолженность, а <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo><</mo><mn>0</mn></math> — часть основного долга с обратным знаком, погашенного в периоде <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> . Поэтому значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> не связаны друг с другом и могут быть выбраны независимо из условий (21). Предполагается, что величина <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn></math> идет в инвестиции в НИС.
В простейшем случае мы предполагаем нулевые начальные и конечные значения остатков, необходимых для расчета платежей по формуле (20): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> Это позволяет считать остатки <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> по кредитной линии независимыми переменными. В частности, величина <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn></math> представляет собой новый кредит, увеличивающий общую задолженность, а <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo><</mo><mn>0</mn></math> — часть основного долга с обратным знаком, погашенного в периоде <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> . Поэтому значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> не связаны друг с другом и могут быть выбраны независимо из условий (21). Предполагается, что величина <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn></math> идет в инвестиции в НИС.

104 Пусть $d_{t}$ — прогноз денежного потока на инвестированный капитал на конец года $t$ , который получается по формуле (Методология…, 2003–2005): $d_{t} = q_{t} - K_{t} - Δ O_{t}$ . Здесь $q_{t} = q (z_{t})$ — величина чистой прибыли компании до уплаты процентов по займам, определяемая по формуле (18), скорректированная на ставку $l$ налога на прибыль; $z_{t}$ — задолженность по кредитной линии нарастающим итогом, определяемая из рекуррентного уравнения $z_{t} = z_{t - 1} + m a x (Z_{t} - Z_{t - 1}; 0), t = 1, . . ., n; z_{0} = 0;$ $K_{t} = Δ z_{t}$ — предполагаемые капитальные вложения в году $t$ ; $Δ O_{t} = ν Δ Q_{t}$ — увеличение оборотного капитала $O_{t}$ компании, привязанное к изменению $Δ Q_{t} = Δ Q (z_{t})$ маржинального дохода; $ν$ — параметр линейной регрессии, построенный по ретроспективным данным по рекомендации компании «Deloitte&Touche» (Методология…, 2003–2005). Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> — прогноз денежного потока на инвестированный капитал на конец года <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> , который получается по формуле (Методология…, 2003–2005): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> . Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> — величина чистой прибыли компании до уплаты процентов по займам, определяемая по формуле (18), скорректированная на ставку <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi></math> налога на прибыль; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> — задолженность по кредитной линии нарастающим итогом, определяемая из рекуррентного уравнения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>;</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> — предполагаемые капитальные вложения в году <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> ; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> — увеличение оборотного капитала <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> компании, привязанное к изменению <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> маржинального дохода; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ν</mi></math> — параметр линейной регрессии, построенный по ретроспективным данным по рекомендации компании «Deloitte&Touche» (Методология…, 2003–2005).
Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> — прогноз денежного потока на инвестированный капитал на конец года <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> , который получается по формуле (Методология…, 2003–2005): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> . Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> — величина чистой прибыли компании до уплаты процентов по займам, определяемая по формуле (18), скорректированная на ставку <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi></math> налога на прибыль; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> — задолженность по кредитной линии нарастающим итогом, определяемая из рекуррентного уравнения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>;</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> — предполагаемые капитальные вложения в году <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> ; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> — увеличение оборотного капитала <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> компании, привязанное к изменению <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> маржинального дохода; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ν</mi></math> — параметр линейной регрессии, построенный по ретроспективным данным по рекомендации компании «Deloitte&Touche» (Методология…, 2003–2005).

105 Предполагается, что амортизация $A_{0}$ , остающаяся фактически в распоряжении предприятия после уплаты налога на прибыль, расходуется по своему назначению, т.е. на ремонт и замещение выбывающих основных средств. Предполагается, что амортизация <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> , остающаяся фактически в распоряжении предприятия после уплаты налога на прибыль, расходуется по своему назначению, т.е. на ремонт и замещение выбывающих основных средств.
Предполагается, что амортизация <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> , остающаяся фактически в распоряжении предприятия после уплаты налога на прибыль, расходуется по своему назначению, т.е. на ремонт и замещение выбывающих основных средств.

106
4. ПРОСТЕЙШАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНВЕСТИЦИЙ В ПРОГНОЗНЫЙ ПЕРИОД
<h1 id="text_content_item_106" class="docx-publication-h1">4. ПРОСТЕЙШАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНВЕСТИЦИЙ В ПРОГНОЗНЫЙ ПЕРИОД</h1>
<h1 id="text_content_item_106" class="docx-publication-h1">4. ПРОСТЕЙШАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНВЕСТИЦИЙ В ПРОГНОЗНЫЙ ПЕРИОД</h1>

107 Предположим, что все инвестиции осуществляются до момента $T < n$ . Для периода $t = 1, . . ., T$ справедливо равенство $Z_{T} = V$ и выполняется условие $y_{t} = Δ Z_{t} = Z_{t} - Z_{t - 1} \geq 0, t = 1, . . ., T .$ Тогда $z_{t} = Z_{t}, Δ z_{t} = Δ Z_{t}$ и критерий текущей стоимости $X_{t}$ собственного капитала компании на начало инвестиционного проекта принимает вид (Перевозчиков, Лесик, 2014): Предположим, что все инвестиции осуществляются до момента <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>T</mi><mo><</mo><mi>n</mi></math> . Для периода <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi></math> справедливо равенство <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>V</mi></math> и выполняется условие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>.</mo></math> Тогда <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> и критерий текущей стоимости <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> собственного капитала компании на начало инвестиционного проекта принимает вид (Перевозчиков, Лесик, 2014):
Предположим, что все инвестиции осуществляются до момента <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>T</mi><mo><</mo><mi>n</mi></math> . Для периода <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi></math> справедливо равенство <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>V</mi></math> и выполняется условие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>.</mo></math> Тогда <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> и критерий текущей стоимости <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> собственного капитала компании на начало инвестиционного проекта принимает вид (Перевозчиков, Лесик, 2014):

108 $X_{0} = \sum_{t = 1}^{T} \frac{\tilde{q} (Z_{t}) - g' Z_{t - 1} - ν Δ Q (Z_{t})}{(1 + i)^{t}} + \frac{X_{T}}{(1 + i)^{T}} \to m a x_{\{Z_{t}\}}$ , (22) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>→</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub></math> , (22)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>→</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub></math> , (22)

109 где $\tilde{q} (V) = (1 - l) (Q (V) - C_{0} - A_{0}), g' = (1 - l) g;$ $C_{0}$ — постоянные расходы компании. Таким образом, последовательность $\{Z_{t}\}$ монотонно не убывает и выполняется конечное условие $Z_{T} = V .$ где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>g</mi><mi>'</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>)</mo><mi>g</mi><mo>;</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> — постоянные расходы компании. Таким образом, последовательность <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> монотонно не убывает и выполняется конечное условие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>V</mi><mo>.</mo></math>
где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>g</mi><mi>'</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>)</mo><mi>g</mi><mo>;</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> — постоянные расходы компании. Таким образом, последовательность <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> монотонно не убывает и выполняется конечное условие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>V</mi><mo>.</mo></math>

110 Постпрогнозную стоимость собственного капитала компании $X_{T}$ в (22) с учетом возможного ненулевого остатка по займу и равенства $Z_{T} = V$ в простейшем случае можно найти по формуле прямой капитализации прибыли после уплаты налога на прибыль и процентов по займам, которые уменьшают базу налога на прибыль: Постпрогнозную стоимость собственного капитала компании <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub></math> в (22) с учетом возможного ненулевого остатка по займу и равенства <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>V</mi></math> в простейшем случае можно найти по формуле прямой капитализации прибыли после уплаты налога на прибыль и процентов по займам, которые уменьшают базу налога на прибыль:
Постпрогнозную стоимость собственного капитала компании <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub></math> в (22) с учетом возможного ненулевого остатка по займу и равенства <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>V</mi></math> в простейшем случае можно найти по формуле прямой капитализации прибыли после уплаты налога на прибыль и процентов по займам, которые уменьшают базу налога на прибыль:

111 $X_{T} = X (z_{T}) = {q (V) - g' V} (1 + τ) / (i - τ)$ . (23) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>X</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>{</mo><mi>q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><mi>V</mi><mo>}</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></math> . (23)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>X</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>{</mo><mi>q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><mi>V</mi><mo>}</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></math> . (23)

112 Полученная стоимость должна быть положительной для любых $V \geq 0$ . Это означает, что функция $q (V)$ прибыли растет не медленней процентов по займам. Предполагается, что значение левериджа $L$ будет сохраняться на достигнутом уровне, т.е. сохраняться постоянная структура капитала компании. Полученная стоимость должна быть положительной для любых <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></math> . Это означает, что функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo></math> прибыли растет не медленней процентов по займам. Предполагается, что значение левериджа <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi></math> будет сохраняться на достигнутом уровне, т.е. сохраняться постоянная структура капитала компании.
Полученная стоимость должна быть положительной для любых <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></math> . Это означает, что функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo></math> прибыли растет не медленней процентов по займам. Предполагается, что значение левериджа <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi></math> будет сохраняться на достигнутом уровне, т.е. сохраняться постоянная структура капитала компании.

113 Более точно постпрогнозную стоимость собственного капитала компании $X_{T}$ в (8) можно определить как отложенную продажу (Перевозчиков, Лесик, Каримов, 2016б): $X_{T} = X_{n} / (1 + i)^{n - T}$ . Здесь $X_{n} = q (V) (1 + τ) / (i - τ)$ определяется по формуле Гордона (18) метода прямой капитализации. Более точно постпрогнозную стоимость собственного капитала компании <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub></math> в (8) можно определить как отложенную продажу (Перевозчиков, Лесик, Каримов, 2016б): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>T</mi></mrow></msup></math> . Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></math> определяется по формуле Гордона (18) метода прямой капитализации.
Более точно постпрогнозную стоимость собственного капитала компании <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub></math> в (8) можно определить как отложенную продажу (Перевозчиков, Лесик, Каримов, 2016б): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>T</mi></mrow></msup></math> . Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></math> определяется по формуле Гордона (18) метода прямой капитализации.

114 Уравнение (22) равносильно рекуррентному уравнению Уравнение (22) равносильно рекуррентному уравнению
Уравнение (22) равносильно рекуррентному уравнению

115 $X_{t - 1} = (\tilde{q} (Z_{t}) - g' Z_{t - 1} - ν Δ Q (Z_{t}) + X_{t}) / (1 + i), t = T, . . ., 1,$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math>

116 с конечным условием (23). Перегруппировкой членов разностей $ν Δ Q (Z_{t}) = v Q (Z_{t}) - v Q (Z_{t - 1})$ в (22) можно получить эквивалентное выражение: с конечным условием (23). Перегруппировкой членов разностей <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>v</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>v</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> в (22) можно получить эквивалентное выражение:
с конечным условием (23). Перегруппировкой членов разностей <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>v</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>v</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> в (22) можно получить эквивалентное выражение:

117 $\begin{matrix} X_{0} = ν Q (0) / (1 + i) + \sum_{t = 1}^{T} (\{(1 - l - ν i / (1 + i)) Q (Z_{t} + у_{t}) - {C'}_{0} - {A'}_{0} - g' Z_{t - 1}\} / (1 + i)^{t} + \\ + \{X_{T} - ν Q (V) / (1 + i)\} / (1 + i)^{T}), \end{matrix}$ (24) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></munderover><mrow><mfenced close="" separators="|"><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>i</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>у</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup><mo>+</mo></mrow></mfenced></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced open="" separators="|"><mrow><mo>+</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> (24)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></munderover><mrow><mfenced close="" separators="|"><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>i</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>у</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup><mo>+</mo></mrow></mfenced></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced open="" separators="|"><mrow><mo>+</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> (24)

118 где ${C'}_{0} = (1 - l) C_{0}, {A'}_{0} = (1 - l) A_{0} .$ где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>C</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>)</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>A</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>)</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>.</mo></math>
где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>C</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>)</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>A</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>)</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>.</mo></math>

119 Введем величины ${\tilde{X}}_{t} = X_{t} - ν Q (Z_{t}) / (1 + i), t = 0, . . ., T$ . Тогда уравнение (24) равносильно рекуррентному уравнению Введем величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi></math> . Тогда уравнение (24) равносильно рекуррентному уравнению
Введем величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi></math> . Тогда уравнение (24) равносильно рекуррентному уравнению

120 ${\tilde{X}}_{t - 1} = \{(1 - l - ν i / (1 + i)) Q (Z_{t} + у_{t}) - {C'}_{0} - {A'}_{0} - g' Z_{t - 1} + {\tilde{X}}_{t}\} / (1 + i), t = T, . . ., 1,$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>i</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>у</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>i</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>у</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math>

121 с конечным условием ${\tilde{X}}_{T} = X_{T} - ν Q (V) / (1 + i)$ . с конечным условием <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></math> .
с конечным условием <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></math> .

122 Поскольку $O_{t} = ν Q (Z_{t})$ — оборотный капитал на конец периода $t$ , то величины ${\tilde{X}}_{t}$ представляют стоимость собственного капитала компании, скорректированную на стоимость оборотного капитала, дисконтированного к началу периода $t$ . Скорректированный собственный капитал естественно назвать внеоборотным капиталом, по аналогии с оборотным. Действительно, если ввести внеоборотный капитал как разницу внеоборотных активов и долгосрочных займов, то собственный капитал будет балансировать сумму внеоборотного и оборотного капитала. То, что оборотный капитал при этом дисконтируется на начало периода, выражает особенность его влияния на денежный поток в принятой нами дискретной модели динамики инвестиционного процесса. Поскольку <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> — оборотный капитал на конец периода <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> , то величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> представляют стоимость собственного капитала компании, скорректированную на стоимость оборотного капитала, дисконтированного к началу периода <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> . Скорректированный собственный капитал естественно назвать внеоборотным капиталом, по аналогии с оборотным. Действительно, если ввести внеоборотный капитал как разницу внеоборотных активов и долгосрочных займов, то собственный капитал будет балансировать сумму внеоборотного и оборотного капитала. То, что оборотный капитал при этом дисконтируется на начало периода, выражает особенность его влияния на денежный поток в принятой нами дискретной модели динамики инвестиционного процесса.
Поскольку <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> — оборотный капитал на конец периода <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> , то величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> представляют стоимость собственного капитала компании, скорректированную на стоимость оборотного капитала, дисконтированного к началу периода <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> . Скорректированный собственный капитал естественно назвать внеоборотным капиталом, по аналогии с оборотным. Действительно, если ввести внеоборотный капитал как разницу внеоборотных активов и долгосрочных займов, то собственный капитал будет балансировать сумму внеоборотного и оборотного капитала. То, что оборотный капитал при этом дисконтируется на начало периода, выражает особенность его влияния на денежный поток в принятой нами дискретной модели динамики инвестиционного процесса.

123 Как показано в работе (Перевозчиков, Лесик, 2017), критерий в поставленной задаче может быть не ограничен сверху без дополнительных условий. Ограниченной задачу делает дополнительное условие на предельный финансовый леверидж $L$ : $Z_{t} \leq L {\tilde{X}}_{t},$ $t = 0, . . ., T - 1$ , где ${\tilde{X}}_{τ},$ $τ = 0, . . ., T - 1,$ по аналогии с (24) определяются по формулам Как показано в работе (Перевозчиков, Лесик, 2017), критерий в поставленной задаче может быть не ограничен сверху без дополнительных условий. Ограниченной задачу делает дополнительное условие на предельный финансовый леверидж <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi></math> : <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>L</mi><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> , где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> по аналогии с (24) определяются по формулам
Как показано в работе (Перевозчиков, Лесик, 2017), критерий в поставленной задаче может быть не ограничен сверху без дополнительных условий. Ограниченной задачу делает дополнительное условие на предельный финансовый леверидж <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi></math> : <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>L</mi><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> , где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> по аналогии с (24) определяются по формулам

124 ${\tilde{X}}_{τ} = \sum_{t = τ}^{T - 1} \frac{(1 - l - ν i / (1 + i)) Q (Z_{t} + y_{t}) - {C'}_{0} - {A'}_{0} - g' Z_{t}}{(1 + i)^{t}} + \frac{{\tilde{X}}_{T}}{(1 + i)^{T}}$ . <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>i</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math> .
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>i</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math> .

125
5. МЕТОД ГРАДИЕНТНОГО ПОДЪЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
<h1 id="text_content_item_125" class="docx-publication-h1">5. МЕТОД ГРАДИЕНТНОГО ПОДЪЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ</h1>
<h1 id="text_content_item_125" class="docx-publication-h1">5. МЕТОД ГРАДИЕНТНОГО ПОДЪЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ</h1>

126 Для решения полученной в разд. 4 задачи максимизации текущей стоимости компании с дополнительными ограничениями на предельный леверидж компании рассмотрим более общую задачу дискретного оптимального управления в абстрактной форме. Для решения полученной в разд. 4 задачи максимизации текущей стоимости компании с дополнительными ограничениями на предельный леверидж компании рассмотрим более общую задачу дискретного оптимального управления в абстрактной форме.
Для решения полученной в разд. 4 задачи максимизации текущей стоимости компании с дополнительными ограничениями на предельный леверидж компании рассмотрим более общую задачу дискретного оптимального управления в абстрактной форме.

127 Задача дискретного оптимального управления (ОПУ), частным случаем которой является поставленная динамическая задача инвестиций во внеоборотные активы компании, может быть записана в виде: Задача дискретного оптимального управления (ОПУ), частным случаем которой является поставленная динамическая задача инвестиций во внеоборотные активы компании, может быть записана в виде:
Задача дискретного оптимального управления (ОПУ), частным случаем которой является поставленная динамическая задача инвестиций во внеоборотные активы компании, может быть записана в виде:

128 $\begin{array}{l} I^{0} ([u_{t}]) \to m a x; \\ I^{j} ([u_{t}]) \geq 0, j = 1, . . ., J; \\ I^{j} ([u_{t}]) = \sum_{t = 0}^{T - 1} F_{t}^{j} (x_{t}, u_{t}) + Φ^{j} (x_{T}), j = 0, . . ., J; \\ x_{t + 1} = F_{t} (x_{t}, u_{t}), t = 0, . . ., T - 1; x_{0} = a; \\ x_{t} \in E^{n}, [u_{t}] = (u_{0}, . . ., u_{T - 1}), u_{t} \in V_{t} \subset E^{r}; t = 0, . . ., T - 1; F_{t} = (F_{1}^{1}, . . ., F_{t}^{n}) . \end{array}$ (25) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>→</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi><mo>;</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>⊂</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> (25)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>→</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi><mo>;</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>⊂</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> (25)

129 Функции $Φ, F_{t}, F_{t}^{j}, t = 0, . . ., T - 1; j = 0, . . ., J$ предполагаются непрерывными вместе со своими производными по $x, u$ , множества допустимых управляющих воздействий $V_{t}$ выпуклы, замкнуты и ограничены. Пусть функции $F_{t}$ являются липшицевыми по совокупности переменных в области определения с единой константой $L > 0$ . Функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi></math> предполагаются непрерывными вместе со своими производными по <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>u</mi></math> , множества допустимых управляющих воздействий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> выпуклы, замкнуты и ограничены. Пусть функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> являются липшицевыми по совокупности переменных в области определения с единой константой <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> .
Функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi></math> предполагаются непрерывными вместе со своими производными по <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>u</mi></math> , множества допустимых управляющих воздействий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> выпуклы, замкнуты и ограничены. Пусть функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> являются липшицевыми по совокупности переменных в области определения с единой константой <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> .

130 Градиент критерия. Введем функцию Гамильтона $H_{t}^{j} (x_{t}, ψ_{t}, u_{t}) = ⟨ψ_{t}^{j}, F_{t} (x_{t}, u_{t})⟩ + F_{t}^{j} (x_{t}, u_{t})$ (где $ψ_{t}^{j} \in E^{n}$ — сопряженные переменные; $⟨., .⟩$ — скалярное произведение векторов в $E^{n}$ ) и сопряженную систему Градиент критерия. Введем функцию Гамильтона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="⟨" close="⟩" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> (где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></math> — сопряженные переменные; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="⟨" close="⟩" separators="|"><mrow><mo>.</mo><mo>,</mo><mo>.</mo></mrow></mfenced></math> — скалярное произведение векторов в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></math> ) и сопряженную систему
Градиент критерия. Введем функцию Гамильтона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="⟨" close="⟩" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> (где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></math> — сопряженные переменные; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="⟨" close="⟩" separators="|"><mrow><mo>.</mo><mo>,</mo><mo>.</mo></mrow></mfenced></math> — скалярное произведение векторов в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></math> ) и сопряженную систему

131 $ψ_{t - 1}^{j} = \frac{\partial H_{t}^{j} (x_{t}, ψ_{t}^{j}, u_{t})}{\partial x}, t = T - 1, . . ., 1; ψ_{T - 1}^{j} = \frac{\partial Φ^{j} (x_{T})}{\partial x} .$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo></math>

132 Через $L_{2}^{T} [0, T]$ обозначим гильбертово пространство вектор-функций дискретной переменной $[u_{t}] = (u_{0}, . . ., u_{T - 1})$ со скалярным произведением и нормой, заданными формулами Через <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msubsup><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>]</mo></math> обозначим гильбертово пространство вектор-функций дискретной переменной <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>[</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>]</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> со скалярным произведением и нормой, заданными формулами
Через <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msubsup><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>]</mo></math> обозначим гильбертово пространство вектор-функций дискретной переменной <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>[</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>]</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> со скалярным произведением и нормой, заданными формулами

133 ${⟨[u_{t}], [v_{t}]⟩}_{L_{2}} = \sum_{t = 0}^{T - 1} {⟨u_{t}, u_{t}⟩}_{E^{r}}; ‖[u_{t}]‖ = {(\sum_{t = 0}^{T - 1} {|u_{t}|}_{E^{r}}^{2})}^{1 / 2} .$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced open="⟨" close="⟩" separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mfenced open="⟨" close="⟩" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></msub></mrow></mrow><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced open="⟨" close="⟩" separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mfenced open="⟨" close="⟩" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></msub></mrow></mrow><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math>

134 Тогда функционалы $I^{j} ([u_{t}]), j = 0,1, . . ., J,$ в (25) непрерывны и дифференцируемы в норме $L_{2}^{T} [0, T]$ , причем их градиенты $\nabla I^{j} ([u_{t}])$ имеют вид Тогда функционалы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi><mo>,</mo></math> в (25) непрерывны и дифференцируемы в норме <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msubsup><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>]</mo></math> , причем их градиенты <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∇</mo><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> имеют вид
Тогда функционалы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi><mo>,</mo></math> в (25) непрерывны и дифференцируемы в норме <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msubsup><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>]</mo></math> , причем их градиенты <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∇</mo><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> имеют вид

135 $\nabla I^{j} ([u_{t}]) = {\{H}_{t u}^{j} (x_{t}, ψ_{t}^{j}, u_{t}), t = 0,1, . . ., T - 1} \in L_{2}^{T} [0, T],$ (26) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∇</mo><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mi>H</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>}</mo><mo>∈</mo><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msubsup><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>]</mo><mo>,</mo></math> (26)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∇</mo><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mi>H</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>}</mo><mo>∈</mo><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msubsup><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>]</mo><mo>,</mo></math> (26)

136 где $x_{t}, ψ_{t}^{j}$ — решения основной и сопряженной системы, соответствующие выбранному управлению $[u_{t}]$ . где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup></math> — решения основной и сопряженной системы, соответствующие выбранному управлению <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> .
где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup></math> — решения основной и сопряженной системы, соответствующие выбранному управлению <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> .

137 В частности, для поставленной динамической задачи инвестиций в НИС имеем: В частности, для поставленной динамической задачи инвестиций в НИС имеем:
В частности, для поставленной динамической задачи инвестиций в НИС имеем:

138 $\begin{array}{l} F_{t}^{j} = \{\begin{array}{l} \{(1 - l - ν i / (1 + i)) Q (Z_{t} + y_{t}) - {C'}_{0} - {A'}_{0} - g' z_{t}\} / (1 + i)^{t}, t \geq j, \\ 0, t < j, \end{array}; \\ F_{t} = (Z_{t} + y_{t}), x_{t} = Z_{t} \in E^{1}; \\ Φ^{j} \equiv Φ (x_{T}) = \{X_{T} - ν Q (V) / (1 + i)\} / (1 + i)^{T}; \\ X_{T} = {\tilde{q} (y_{T}) - g' ⟨e, y_{T}⟩} (1 + τ) / (i - τ), \\ \tilde{q} (y_{T}) = (1 - l) (Q (y_{T}) - C_{0} - A_{0}), \\ u_{t} = y_{t} \in E^{1}; V_{t} = W = [0, W] \subset E^{1}; \\ t = 0, . . ., T - 1 . \end{array}$ (27) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>i</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>≥</mo><mi>j</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo><</mo><mi>j</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mo>≡</mo><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>{</mo><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><mfenced open="⟨" close="⟩" separators="|"><mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>}</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>W</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>W</mi></mrow></mfenced><mo>⊂</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> (27)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>i</mi><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi><mi>'</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>≥</mo><mi>j</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo><</mo><mi>j</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mo>≡</mo><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>ν</mi><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>{</mo><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>g</mi><mi>'</mi><mfenced open="⟨" close="⟩" separators="|"><mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>}</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>Q</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>W</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>W</mi></mrow></mfenced><mo>⊂</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> (27)

139 Здесь $W$ — максимальная величина приращения инвестиций $y_{t}$ в НИС за 1 год. Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>W</mi></math> — максимальная величина приращения инвестиций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> в НИС за 1 год.
Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>W</mi></math> — максимальная величина приращения инвестиций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> в НИС за 1 год.

140 Метод Б.Т. Поляка. Имея градиенты (26), для решения поставленной динамической задачи можно теперь воспользоваться методом проекции градиента, описанного в (Поляк, 1983), с программным шагом: Метод Б.Т. Поляка. Имея градиенты (26), для решения поставленной динамической задачи можно теперь воспользоваться методом проекции градиента, описанного в (Поляк, 1983), с программным шагом:
Метод Б.Т. Поляка. Имея градиенты (26), для решения поставленной динамической задачи можно теперь воспользоваться методом проекции градиента, описанного в (Поляк, 1983), с программным шагом:

141 $\begin{array}{l} u_{t} (k + 1) = \{\begin{array}{l} P (u_{t} (k) + a_{k} H_{u_{t}}^{0} (x_{t} (k), ψ_{t}^{0} (k), u_{t} (k)), G (u (k)) \geq 0; \\ P (u_{t} (k) + a_{k} G_{u_{t}} (u (k)); G (u (k)) < 0; \end{array} \\ t = 0, . . ., T - 1; k = 1,2, . . ., \end{array}$ (28) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>;</mo><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo><</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1,2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> (28)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>;</mo><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo><</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1,2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> (28)

142 где $k$ — номер шага; $a_{k} = D k^{- s}$ — программный шаг метода; $s, 1 / 2 < s \leq 1,$ — параметр (например, $s = 3 / 4$ ); $D$ — характерный размер множества допустимых решений задачи (например, оценка диаметра); $G (u) = \underset{j = 1, . . ., J}{m i n} I^{j} ([u_{t}])$ — агрегированная функция в ограничении (13) задачи; $G_{u} = \nabla I^{j} ([u_{t}]), j \in \underset{j = 1, . . ., J}{A r g m i n} I^{j} ([u_{t}]),$ — любой квазиградиент слабовогнутой функции $G (u)$ минимума от дифференцируемых функций $I^{j} ([u_{t}]), j = 1, . . ., J;$ $P_{t} (u_{t})$ — оператор проектирования на множество допустимых управляющих воздействий $W$ . где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math> — номер шага; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>D</mi><msup><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>s</mi></mrow></msup></math> — программный шаг метода; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn><mo><</mo><mi>s</mi><mo>≤</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> — параметр (например, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>4</mn></math> ); <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi></math> — характерный размер множества допустимых решений задачи (например, оценка диаметра); <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi></mrow></munder><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> — агрегированная функция в ограничении (13) задачи; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>∇</mo><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi></mrow></munder><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> — любой квазиградиент слабовогнутой функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>)</mo></math> минимума от дифференцируемых функций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi><mo>;</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> — оператор проектирования на множество допустимых управляющих воздействий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>W</mi></math> .
где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math> — номер шага; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>D</mi><msup><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>s</mi></mrow></msup></math> — программный шаг метода; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn><mo><</mo><mi>s</mi><mo>≤</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> — параметр (например, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>4</mn></math> ); <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi></math> — характерный размер множества допустимых решений задачи (например, оценка диаметра); <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi></mrow></munder><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> — агрегированная функция в ограничении (13) задачи; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>∇</mo><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi></mrow></munder><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> — любой квазиградиент слабовогнутой функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>)</mo></math> минимума от дифференцируемых функций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi><mo>;</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> — оператор проектирования на множество допустимых управляющих воздействий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>W</mi></math> .

143 Имеет место следующая теорема сходимости метода (28). Предположим, что задача (25), (26) обладает свойством регулярности в смысле работы (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987). Имеет место следующая теорема сходимости метода (28). Предположим, что задача (25), (26) обладает свойством регулярности в смысле работы (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987).
Имеет место следующая теорема сходимости метода (28). Предположим, что задача (25), (26) обладает свойством регулярности в смысле работы (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987).

144 Теорема 1 (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987). Последовательность $[u_{t} (k)]$ в методе (28) сходится по значению к стационарному множеству задачи (25), (27). Теорема 1 (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987). Последовательность <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></math> в методе (28) сходится по значению к стационарному множеству задачи (25), (27).
Теорема 1 (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987). Последовательность <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></math> в методе (28) сходится по значению к стационарному множеству задачи (25), (27).

145
6. СГЛАЖИВАНИЕ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
<h1 id="text_content_item_145" class="docx-publication-h1">6. СГЛАЖИВАНИЕ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ</h1>
<h1 id="text_content_item_145" class="docx-publication-h1">6. СГЛАЖИВАНИЕ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ</h1>

146 Главной проблемой в простейшей задаче управления системой эшелонированной обороны является недифференцируемость липшицевых функций $F_{t}^{j}, Φ^{j}$ в определении функционалов $I^{j} ([u_{t}]), j = 0, . . ., J,$ в (25), что делает некорректным использование классических результатов о дифференцируемости терминального критерия и вычисление его градиента на основе сопряженной системы. В этом разделе предлагается использовать процедуру осреднения функций $F_{t}^{j}, Φ^{j}$ по совокупности переменных $x_{t}, u_{t}$ в малой окрестности, радиус которой $h$ считается малым параметром. Величина $h > 0$ задает точность аппроксимации функций $F_{t}^{j}, Φ^{j} \equiv Φ$ их осредненными функциями: Главной проблемой в простейшей задаче управления системой эшелонированной обороны является недифференцируемость липшицевых функций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup></math> в определении функционалов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi><mo>,</mo></math> в (25), что делает некорректным использование классических результатов о дифференцируемости терминального критерия и вычисление его градиента на основе сопряженной системы. В этом разделе предлагается использовать процедуру осреднения функций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup></math> по совокупности переменных <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> в малой окрестности, радиус которой <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi></math> считается малым параметром. Величина <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> задает точность аппроксимации функций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mo>≡</mo><mi mathvariant="normal">Φ</mi></math> их осредненными функциями:
Главной проблемой в простейшей задаче управления системой эшелонированной обороны является недифференцируемость липшицевых функций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup></math> в определении функционалов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi><mo>,</mo></math> в (25), что делает некорректным использование классических результатов о дифференцируемости терминального критерия и вычисление его градиента на основе сопряженной системы. В этом разделе предлагается использовать процедуру осреднения функций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup></math> по совокупности переменных <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> в малой окрестности, радиус которой <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi></math> считается малым параметром. Величина <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> задает точность аппроксимации функций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mo>≡</mo><mi mathvariant="normal">Φ</mi></math> их осредненными функциями:

147 $\begin{array}{l} F_{t}^{j h} (x_{t}, u_{t}) = \int_{E^{2}} F_{t}^{j} (x_{t} + h ρ_{1}, u_{t} + h ρ_{2}) ω_{2} ({‖ρ‖}_{0}) d ρ_{1} d ρ_{2}, \\ Φ^{h} (x_{T}) = \int_{E^{1}} Φ (x_{T} + h ρ_{1}) ω_{1} ({‖ρ‖}_{0}) d ρ_{1} . \end{array}$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></munder><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></munder><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math>

148 Ядро осреднения здесь определяется, например, по формуле (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987): Ядро осреднения здесь определяется, например, по формуле (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987):
Ядро осреднения здесь определяется, например, по формуле (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987):

149 $ω_{n} ({‖ρ‖}_{0}) = \{\begin{array}{l} 2^{- n}, ρ \in O_{n}, \\ 0, υ \notin O_{n}, \end{array}$ $O_{n} = \{ρ \in E^{2} |{‖ρ‖}_{0} \leq 1\}; {‖ρ‖}_{0} = \underset{i = 1, . ., n}{m a x} |ρ_{i}| .$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>ρ</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>υ</mi><mo>∉</mo><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mfenced open="|" close="" separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></munder><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>ρ</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>υ</mi><mo>∉</mo><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mfenced open="|" close="" separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></munder><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>

150 Известно (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987), что осредненная функция от липшицевой функции будет дифференцируемой и справедлива оценка $|F_{t}^{j h} (x_{t}, u_{t}) - F_{t}^{j} (x_{t}, u_{t})| \leq L h,$ $|Φ^{h} (x_{T}) - Φ (x_{T})| \leq L h,$ где $L$ — соответствующая константа Липшица. В результате осреднения функции $F_{t}^{j}, Φ^{j}$ становятся дифференцируемыми по совокупности переменных, причем производные от средних функций равны среднему от производных: Известно (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987), что осредненная функция от липшицевой функции будет дифференцируемой и справедлива оценка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mi>L</mi><mi>h</mi><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mi>L</mi><mi>h</mi><mo>,</mo></math> где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi></math> — соответствующая константа Липшица. В результате осреднения функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup></math> становятся дифференцируемыми по совокупности переменных, причем производные от средних функций равны среднему от производных:
Известно (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987), что осредненная функция от липшицевой функции будет дифференцируемой и справедлива оценка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mi>L</mi><mi>h</mi><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mi>L</mi><mi>h</mi><mo>,</mo></math> где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi></math> — соответствующая константа Липшица. В результате осреднения функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup></math> становятся дифференцируемыми по совокупности переменных, причем производные от средних функций равны среднему от производных:

151 $\begin{array}{l} F_{t x}^{j h} (x_{t}, u_{t}) = \int_{E^{2}} F_{t x}^{j} (x_{t} + h ρ_{1}, u_{t} + h ρ_{2}) ω_{2} ({‖ρ‖}_{0}) d ρ_{1} d ρ_{2}, \\ Φ_{x}^{h} (x_{T}) = \int_{E^{1}} Φ_{x} (x_{T} + h ρ_{1}) ω_{1} ({‖ρ‖}_{0}) d ρ_{1}, \end{array}$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math>

152 $\begin{array}{l} F_{t u}^{j h} (x_{t}, u_{t}) = \int_{E^{2}} F_{t u}^{j} (x_{t} + h ρ_{1}, u_{t} + h ρ_{2}) ω_{2} ({‖ρ‖}_{0}) d ρ_{1} d ρ_{2}, \\ Φ_{u}^{h} (x_{T}) = 0 . \end{array}$ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>d</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math>

153 Заметим, что в случае производные от липшицевых функций под интегралами существуют почти всюду, измеримы и, следовательно, интегрируемы в силу ограниченности соответствующей константой Липшица $L > 0$ . Заметим, что в случае производные от липшицевых функций под интегралами существуют почти всюду, измеримы и, следовательно, интегрируемы в силу ограниченности соответствующей константой Липшица <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> .
Заметим, что в случае производные от липшицевых функций под интегралами существуют почти всюду, измеримы и, следовательно, интегрируемы в силу ограниченности соответствующей константой Липшица <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> .

154 Для решения аппроксимирующей задачи можно использовать метод градиентного спуска. Критерий полученной задачи аппроксимирует исходный критерий с точностью $O (h)$ при сделанных предположениях (Васильев, 1981), и, следовательно, сглаженная задача аппроксимирует исходную задачу по значению с такой же точностью. Для того чтобы избежать вычисления интегралов от правых частей системы, предложенную процедуру следует рандомизировать, вводя в правую часть сопряженной системы случайные возмущения: Для решения аппроксимирующей задачи можно использовать метод градиентного спуска. Критерий полученной задачи аппроксимирует исходный критерий с точностью <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>O</mi><mo>(</mo><mi>h</mi><mo>)</mo></math> при сделанных предположениях (Васильев, 1981), и, следовательно, сглаженная задача аппроксимирует исходную задачу по значению с такой же точностью. Для того чтобы избежать вычисления интегралов от правых частей системы, предложенную процедуру следует рандомизировать, вводя в правую часть сопряженной системы случайные возмущения:
Для решения аппроксимирующей задачи можно использовать метод градиентного спуска. Критерий полученной задачи аппроксимирует исходный критерий с точностью <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>O</mi><mo>(</mo><mi>h</mi><mo>)</mo></math> при сделанных предположениях (Васильев, 1981), и, следовательно, сглаженная задача аппроксимирует исходную задачу по значению с такой же точностью. Для того чтобы избежать вычисления интегралов от правых частей системы, предложенную процедуру следует рандомизировать, вводя в правую часть сопряженной системы случайные возмущения:

155 $\begin{array}{l} {\tilde{ψ}}_{t - 1}^{j} (k) = \frac{\partial H_{t}^{j} (x_{t} (k) + h ν_{t}^{k}, {\tilde{ψ}}_{t}^{j} (k), u_{t} (k) + h η_{t}^{k})}{\partial x}; t = T - 1, . . ., 1; \\ {\tilde{ψ}}_{T - 1}^{j} (k) \equiv \frac{\partial Φ (x_{T} (k) + h ν_{T}^{k})}{\partial x} . \end{array}$ (29) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>;</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>≡</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> (29)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>;</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>≡</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> (29)

156 Замечание. Производные в (49) функции Гамильтона существуют почти наверное. Замечание. Производные в (49) функции Гамильтона существуют почти наверное.
Замечание. Производные в (49) функции Гамильтона существуют почти наверное.

157 Компоненты стохастических градиентов (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987) функционалов $I^{j} ([u_{t}]), j = 0, . . ., J$ имеют вид Компоненты стохастических градиентов (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987) функционалов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi></math> имеют вид
Компоненты стохастических градиентов (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987) функционалов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>J</mi></math> имеют вид

158 $\begin{array}{l} H_{t u}^{j} (x_{t} (k) + h σ_{t}^{k}, {\tilde{ψ}}_{t}^{j} (k), u_{t} (k) + h τ_{t}^{k}) = \\ = {\tilde{ψ}}_{t}^{j} (k) F_{t u}^{} (x_{t} (k) + h σ_{t}^{k}, u_{t} (k) + h τ_{t}^{k}) + \\ + F_{t u}^{j} (x_{t} (k) + h σ_{t}^{k}, u_{t} (k) + h τ_{t}^{k}), t = 0,1, . . ., T - 1 . \end{array}$ (30) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> (30)
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>h</mi><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> (30)

159 Производные в (30) функции Гамильтона почти наверное существуют и совпадают с обычными производными в силу леммы 1. Производные в (30) функции Гамильтона почти наверное существуют и совпадают с обычными производными в силу леммы 1.
Производные в (30) функции Гамильтона почти наверное существуют и совпадают с обычными производными в силу леммы 1.

160 Пусть величины $ρ_{t}^{k}, μ_{t}^{k}, ν_{t}^{k}, η_{t}^{k}, σ_{t}^{k}, τ_{t}^{k}$ в (30) для любого $t = 0, . . ., T - 1$ являются независимыми комплектами независимой реализации $k$ случайной величины $ρ$ , равномерно распределенной (р.р.) на $O_{1} = [- 1, 1]$ . Пусть величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup></math> в (30) для любого <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> являются независимыми комплектами независимой реализации <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math> случайной величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ρ</mi></math> , равномерно распределенной (р.р.) на <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> .
Пусть величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup></math> в (30) для любого <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> являются независимыми комплектами независимой реализации <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math> случайной величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ρ</mi></math> , равномерно распределенной (р.р.) на <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> .

161 Предположим, что осредненная задача (25), (27) обладает свойством регулярности в смысле работы (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987). Тогда в силу (Перевозчиков, 1991, теорема 3) справедлива следующая теорема. Предположим, что осредненная задача (25), (27) обладает свойством регулярности в смысле работы (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987). Тогда в силу (Перевозчиков, 1991, теорема 3) справедлива следующая теорема.
Предположим, что осредненная задача (25), (27) обладает свойством регулярности в смысле работы (Михалевич, Гупал, Норкин, 1987). Тогда в силу (Перевозчиков, 1991, теорема 3) справедлива следующая теорема.

162 Теорема 2. Случайный процесс (28), в котором компоненты градиентов (26) заменены компонентами стохастических градиентов (30), почти наверное сходится по значению к стационарному множеству осредненной задачи (25), (27). Теорема 2. Случайный процесс (28), в котором компоненты градиентов (26) заменены компонентами стохастических градиентов (30), почти наверное сходится по значению к стационарному множеству осредненной задачи (25), (27).
Теорема 2. Случайный процесс (28), в котором компоненты градиентов (26) заменены компонентами стохастических градиентов (30), почти наверное сходится по значению к стационарному множеству осредненной задачи (25), (27).

163 По вычислительной сложности предлагаемый метод стохастического градиентного спуска будет эквивалентен методу градиентного спуска для исходной задачи, но в отличие от него корректен. По вычислительной сложности предлагаемый метод стохастического градиентного спуска будет эквивалентен методу градиентного спуска для исходной задачи, но в отличие от него корректен.
По вычислительной сложности предлагаемый метод стохастического градиентного спуска будет эквивалентен методу градиентного спуска для исходной задачи, но в отличие от него корректен.

Библиография

1. Брусов П.Н., Филатова Т.В., Орехова Н.П., Брусов П.П., Брусова А.П. (2011): Стоимость и структура капитала в компании в post Модильяни-Миллеровскую эпоху // Финансовая аналитика. № 37 (79). С. 2 - 12.
2. Дамодаран А. (2010): Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов: пер. с англ. 6-е изд. М.: Альпина Паблишерз.
3. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. (2004): Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика. М.: Дело.
4. Завриев С.К., Перевозчиков А.Г. (1991): Стохастический конечно-разностный алгоритм минимизации функции максимина //. Т. 30. № 4. С. 629 - 633.
5. Макаров В.Л., Рубинов Ф.М. (1973): Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука.
6. Мезоэкономика (2011): Мезоэкономика развития / под ред. Г.Б. Клейнера. М.: Наука.
7. Методология (2003 - 2005): Методология и руководство по проведению оценки бизнеса и/или активов ОАО РАО «ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России». Deloitte&Touche. Декабрь 2003 - март 2005.
8. Минченко Л.И. (1984): Дифференциальные свойства функции максимума при связанных ограничениях // Журн. вычислит. математики и математ. физики. Т. 24. № 2. С. 210 - 217.
9. Мищенко А.В., Артеменко О.А. (2012): Модели управления производственно-финансовой деятельностью предприятия в условиях привлечения заемного капитала// Финансовая аналитика. № 42 (132).
10. Перевозчиков А.Г., Лесик И.А. (2014): Нестационарная модель инвестиций в основные средства предприятия // Прикладная математика и информатика: труды факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова / под ред. В.И. Дмитриева. М.: МАКС Пресс. № 46. С. 76 - 88.
11. Перевозчиков А.Г., Лесик А.И., Каримов С.Д. (2016 b): Условия устойчивого роста в динамической модели инвестиций // Аудит и финансовый анализ. № 5. C. 115 - 116.
12. Перевозчиков А.Г., Лесик И.А. (2016): Определение оптимальных объемов производства и цен реализации в линейной модели многопродуктовой монополии // Экономика и математические методы. Т. 52. № 1. C.140 - 148.
13. Перевозчиков А.Г., Смирнов С.А. (2004): Смешанная модель DDM и CAPM для оценки стоимости некотируемых активов // Экономика и математические методы. Т. 4. № 3. C.118 - 123.
14. Поляк Б.Т. (1983): Введение в оптимизацию. М.: Наука.
15. Федоров В.В. (1979): Численные методы максимина. М.: Наука.
16. Ашманов С.А. (1981): Линейное программирование. М.: Наука.
17. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. (1986): Курс методов оптимизации. М.: Наука.
18. Перевозчиков А.Г., Лесик А.И., Каримов С.Д. (2016 a): Дифференциальные свойства функции маржинального дохода в линейной модели многопродуктовой монополии // Аудит и финансовый анализ. № 1. С. 117 - 121.
19. Перевозчиков А.Г., Лесик А.И (2017): Определение оптимальных остатков по кредитной линии в динамической модели финансирования инвестиций в основные средства компании // Аудит и финансовый анализ. № 2. С. 94 - 102.
20. Васин А.А., Морозов В.В. (2005): Теория игр и модели математической экономики. М.: МАКС Пресс.
21. Amir R. (1996): Cournot oligopoly and the theory of supermodular games // Games and Economic Behavior. V.15. P. 132 - 148.
22. Kukushkin N. (1999): A fixed point theorem for decreasing mapping // Economic Letters. V. 46. P. 23 - 26.
23. Novchek W. (1985): On the existence of Cournot equilibrium // Review of Econ. Studies. V. 52. P. 85 - 98.
24. Михалевич В.С., Гупал А.М., Норкин В.И. (1987): Методы невыпуклой оптимизации. М.: Наука.
25. Васильев Ф.П. (1981): Методы решения экстремальных задач. М.: Наука.
26. Перевозчиков А.Г. (1991): Об аппроксимации обобщенных стохастических градиентов случайных регулярных функций // Журн. вычислит. математики и математ. физики. Т. 30. № 54. С. 681 - 688.

Комментарии

Сообщения не найдены

Написать отзыв

Перевести

ВВЕДЕНИЕ

1. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ОЛИГОПОЛИИ

2. ПОСТПРОГНОЗНАЯ СТОИМОСТЬ СОБСТВЕННОГО КАПИТАЛА КОМПАНИИ

3. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА

4. ПРОСТЕЙШАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНВЕСТИЦИЙ В ПРОГНОЗНЫЙ ПЕРИОД

5. МЕТОД ГРАДИЕНТНОГО ПОДЪЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ

6. СГЛАЖИВАНИЕ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Библиография

Комментарии

Войти через