Economic complexity and embedding of regional economies’ structures

Afanasiev, Mikhail; Kudrov, Alexander

doi:10.31857/S042473880016410-0

1

1. ВВЕДЕНИЕ

2

Современные представления об экономической сложности связаны с диверсификацией производства. Страны, экспортирующие сложные товары, обычно имеют более высокий уровень душевого материального благосостояния, чем страны, экспортирующие простые товары. Сравнительно недавно была разработана процедура, которая при использовании данных о структуре экспорта по странам позволяет измерять экономическую сложность (Hartmann, 2017; Hausmann, Rodrik 2003; Hausmann, Hwang, Rodrik, 2006; Hidalgo, Hausmann, 2009). Она характеризует уровень вовлеченности стран в международные производственные процессы. Однако эту процедуру можно применять не только для структуры экспорта, но и для структуры выпуска экономики в целом. В работе акцент делается на исследовании экономики регионов РФ на основе данных о налоговых поступлениях по секторам экономики, что позволяет характеризовать структуры региональных экономик, включающиесектора, ориентированные как на внешний, так и на внутренний рынки, а также обнаруживать формирование групп смежных секторов.

Современные представления об экономической сложности связаны с диверсификацией производства. Страны, экспортирующие сложные товары, обычно имеют более высокий уровень душевого материального благосостояния, чем страны, экспортирующие простые товары. Сравнительно недавно была разработана процедура, которая при использовании данных о структуре экспорта по странам позволяет измерять экономическую сложность (Hartmann, 2017; Hausmann, Rodrik 2003; Hausmann, Hwang, Rodrik, 2006; Hidalgo, Hausmann, 2009). Она характеризует уровень вовлеченности стран в международные производственные процессы. Однако эту процедуру можно применять не только для структуры экспорта, но и для структуры выпуска экономики в целом. В работе акцент делается на исследовании экономики регионов РФ на основе данных о налоговых поступлениях по секторам экономики, что позволяет характеризовать структуры региональных экономик, включающиесектора, ориентированные как на внешний, так и на внутренний рынки, а также обнаруживать формирование групп смежных секторов.

3

Доказано, что используемая процедура вычисления экономической сложности в соответствии с подходом (Hausmann, Hidalgo, Bustos et al., 2011) является корректной в смысле существования и единственности решения.

4

Представлена вероятностная интерпретация элементов матрицы, по которой оценивается экономическая сложность. Каждый элемент этой матрицы можно рассматривать как характеристику степени вложенности структуры сильных секторов одного региона в структуру другого. Введены агрегированные показатели, описывающие вложенность структуры сильных секторов каждого региона в структуры экономик других регионов. Показано, что агрегированные показатели вложенности являются статистически значимыми объясняющими переменными для экономической сложности. Высокие оценки экономической сложности регионов соответствуют большим значениям агрегированных показателей вложенности, а низкие оценки — малым значениям.

5

На основе методов вероятностного и статистического моделирования построена модель, позволяющая оценить вероятность появления в регионе нового сильного сектора с учетом характеристик структуры экономики. Модель использует введенные авторами показатели вложенности структур сильных секторов региональных экономик. Для каждого региона оценена вероятность возникновения в его структуре конкретного сектора в качестве сильного. На основе упорядочения секторов по значению этих вероятностей и оценок их потенциального вклада в социально-экономическое развитие может быть дана экспертная оценка целесообразности развития в регионе нового сильного сектора.

6

Полученные результаты не противоречат предположению, что эффекты от локализации и диверсификации могут дополнять друг друга и не являются взаимоисключающими. Оценки вероятности возникновения в структуре региона конкретного сектора в качестве сильного указывают, что появление и развитие секторов в значительной степени обусловлено эволюцией прошлой экономической деятельности. Эти результаты согласуются с выводами в работе (Neffke, Henning, Boschma, 2011), где показано, что регионам легче развивать новые отрасли промышленности, если они связаны с уже имеющимися в регионе.

7

2. МЕТОДОЛОГИЯ

8

Для описания структуры региональной экономики использованы данные об объемах производства в достаточно широкой номенклатуре секторов. Сначала определим показатель

R C A_{c p}

выявленных сравнительных преимуществ:

9

R C A_{c p} = (y_{c p} {/ \sum}_{p} y_{c p}) / (\sum_{c} y_{c p} / \sum_{c, p} y_{c p}),

(1)

10

где

y_{c p}

— объем производства сектора p экономики региона с;

R C A_{c p}

— отношение доли производства от сектора p в общем объеме производства от всех секторов экономики региона с к доле производства сектора p по всем регионам в объеме производства от всех секторов экономики всех регионов. В соответствии с работой (Hausmann, Klinger, 2006) для выявления сравнительных преимуществ в экономиках используется показатель

R C A_{c p},

для которого проверяется условие типа ограничения снизу. А именно, если значение

R C A_{c p}

превышает единицу, то считается, что экономика региона c обладает выявленными сравнительными преимуществами в выпуске продукции сектора p; в противном случае — выявленных сравнительных преимуществ не существует:

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>p</mi></mrow></msub></math>
— объем производства сектора p экономики региона с; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>R</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>p</mi></mrow></msub></math>
 — отношение доли производства от сектора p в общем объеме производства от всех секторов экономики региона с к доле производства сектора p по всем регионам в объеме производства от всех секторов экономики всех регионов. В соответствии с работой (Hausmann, Klinger, 2006) для выявления сравнительных преимуществ в экономиках используется показатель 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>R</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 для которого проверяется условие типа ограничения снизу. А именно, если значение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>R</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>p</mi></mrow></msub></math>
 превышает единицу, то считается, что экономика региона c обладает выявленными сравнительными преимуществами в выпуске продукции сектора p; в противном случае — выявленных сравнительных преимуществ не существует:

где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>p</mi></mrow></msub></math> — объем производства сектора p экономики региона с; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>R</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>p</mi></mrow></msub></math> — отношение доли производства от сектора p в общем объеме производства от всех секторов экономики региона с к доле производства сектора p по всем регионам в объеме производства от всех секторов экономики всех регионов. В соответствии с работой (Hausmann, Klinger, 2006) для выявления сравнительных преимуществ в экономиках используется показатель <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>R</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math> для которого проверяется условие типа ограничения снизу. А именно, если значение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>R</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>p</mi></mrow></msub></math> превышает единицу, то считается, что экономика региона c обладает выявленными сравнительными преимуществами в выпуске продукции сектора p; в противном случае — выявленных сравнительных преимуществ не существует:

11

a_{c, p} = \{\begin{array}{l} 1, е с л и R C A_{c p} \geq 1; \\ 0, е с л и R C A_{c p} < 1 . \end{array}

12

Матрица

A = (a_{c, p})

содержит данные о секторах экономики, которые в разных регионах развиты на уровне выявленных сравнительных преимуществ, определенных при помощи выражения (1). Строки этой матрицы соответствуют регионам, столбцы — секторам экономики. Вектор

(a_{c, p_{1}}, \dots, {a_{c, p}}_{m})

будем назвать структурой сильных секторов экономики региона

c

.

Матрица 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">A</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 содержит данные о секторах экономики, которые в разных регионах развиты на уровне выявленных сравнительных преимуществ, определенных при помощи выражения (1). Строки этой матрицы соответствуют регионам, столбцы — секторам экономики. Вектор 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 будем назвать структурой сильных секторов экономики региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>c</mi></math>
.

13

3. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СЛОЖНОСТЬ

14

Понятие «экономическая сложность региона» рассматривается как характеристика, отражающая уровень его технологического развития, который, в свою очередь, определяется сильными секторами в структуре его экономики. Аналогично экономическая сложность сектора зависит от уровня технологического развития тех регионов, в которых этот сектор присутствует в структуре в качестве сильного.

15

3.1. Определение экономической сложности

16

Экономическая сложность является латентной характеристикой региона

E C I_{c}

или сектора

E C I_{p}

, который обладает следующими свойствами: экономическая сложность региона пропорциональна среднему уровню экономической сложности сильных секторов в структуре его экономики:

17

E C I_{c} = a_{1} \sum_{p} r_{c, p} E C I_{p},

r_{c, p} = a_{c, p} / k_{c, 0},

k_{c, 0} = \sum_{p} a_{c, p},

(2)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 (2)

18

где

a_{1}

— положительная константа. Заметим, что

k_{c, 0}

не могут быть равны нулю, поскольку для любого c существует p, для которого

a_{c, p} = 1 .

19

Экономическая сложность сектора пропорциональна среднему уровню экономической сложности регионов, в структуре экономик которых этот сектор является сильным:

20

E C I_{p} = a_{2} \sum_{c} r_{p, c}^{*} E C I_{с}

,

r_{p, c}^{*} = a_{c, p} / k_{p, 0},

k_{p, 0} = \sum_{c} a_{c, p},

(3)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>c</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>c</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math>
(3)

21

где

a_{2}

— положительная константа. Показатель

k_{c, 0}

, равный числу сильных секторов в регионе

с

, будем называть диверсификацией структуры экономики региона

c

.

22

Введем некоторые дополнительные обозначения. Пусть

c = (E C I_{c_{1}}, E C I_{c_{2}}, \dots)^{T}

— вектор-cтолбец значений экономической сложности для регионов;

p = (E C I_{p_{1}}, E C I_{p_{2}}, \dots)^{T}

— вектор-столбец значений экономической сложности для секторов;

R_{1} = (r_{c, p}),

R_{2} = (r_{p, c}^{*})

— матрицы весов.

Введем некоторые дополнительные обозначения. Пусть 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">c</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="bold">T</mi></mrow></msup></math>
 — вектор-cтолбец значений экономической сложности для регионов; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">p</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="bold">T</mi></mrow></msup></math>
 — вектор-столбец значений экономической сложности для секторов; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 — матрицы весов.

Введем некоторые дополнительные обозначения. Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">c</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="bold">T</mi></mrow></msup></math> — вектор-cтолбец значений экономической сложности для регионов; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">p</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi>E</mi><mi>C</mi><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="bold">T</mi></mrow></msup></math> — вектор-столбец значений экономической сложности для секторов; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> — матрицы весов.

23

Запишем соотношения (2) и (3) в матричном виде:

c = a_{1} R_{1} p,

p = a_{2} R_{2} .

Откуда следует, что

c = a_{1} a_{2} R_{1} R_{2} c,

p = a_{1} a_{2} R_{2} R_{1} p .

Таким образом, экономическая сложность региона определяется как собственный вектор матрицы

R_{1} R_{2}

, а экономическая сложность сектора — собственный вектор матрицы

R_{2} R_{1}

. Заметим, что элемент на пересечении строки i и столбца j матрицы

R_{1} R_{2}

, т.е.

{(R_{1} R_{2})}_{i j}

, задается формулой

\sum_{t} (a_{c_{i}, p_{t}} a_{c_{j}, p_{t}} / k_{p_{t}, 0}) / k_{c_{i}, 0} .

Запишем соотношения (2) и (3) в матричном виде: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">c</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="bold">p</mi><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">p</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>.</mo></math>
 Откуда следует, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">c</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi mathvariant="bold">c</mi><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">p</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="bold">p</mi><mo>.</mo></math>
 Таким образом, экономическая сложность региона определяется как собственный вектор матрицы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
, а экономическая сложность сектора — собственный вектор матрицы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
. Заметим, что элемент на пересечении строки i и столбца j матрицы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
, т.е. 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, задается формулой 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>/</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo>.</mo></math>

Запишем соотношения (2) и (3) в матричном виде: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">c</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="bold">p</mi><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">p</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>.</mo></math> Откуда следует, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">c</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi mathvariant="bold">c</mi><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">p</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="bold">p</mi><mo>.</mo></math> Таким образом, экономическая сложность региона определяется как собственный вектор матрицы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> , а экономическая сложность сектора — собственный вектор матрицы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> . Заметим, что элемент на пересечении строки i и столбца j матрицы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> , т.е. <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> , задается формулой <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>/</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo>.</mo></math>

24

В работах (Hausmann, Rodrik, 2003; Sciarra et al., 2020) в качестве значений оценок экономической сложности регионов и секторов предлагается использовать стандартизированное значение собственного вектора матриц

R_{1} R_{2}

и

R_{2} R_{1}

, которые соответствуют второму максимальному собственному значению. При этом предполагается, что собственное значение и координаты собственного вектора являются действительными числами. Отметим, что авторам статьи не удалось найти работ, в которых было бы показано свойство действительно-значности координат таких векторов. Ниже мы исправим этот недочет и приведем доказательство вместе с другими свойствами матрицы

R_{1} R_{2}

.

В работах (Hausmann, Rodrik, 2003; Sciarra et al., 2020) в качестве значений оценок экономической сложности регионов и секторов предлагается использовать стандартизированное значение собственного вектора матриц 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
, которые соответствуют второму максимальному собственному значению. При этом предполагается, что собственное значение и координаты собственного вектора являются действительными числами. Отметим, что авторам статьи не удалось найти работ, в которых было бы показано свойство действительно-значности координат таких векторов. Ниже мы исправим этот недочет и приведем доказательство вместе с другими свойствами матрицы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
.

В работах (Hausmann, Rodrik, 2003; Sciarra et al., 2020) в качестве значений оценок экономической сложности регионов и секторов предлагается использовать стандартизированное значение собственного вектора матриц <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> , которые соответствуют второму максимальному собственному значению. При этом предполагается, что собственное значение и координаты собственного вектора являются действительными числами. Отметим, что авторам статьи не удалось найти работ, в которых было бы показано свойство действительно-значности координат таких векторов. Ниже мы исправим этот недочет и приведем доказательство вместе с другими свойствами матрицы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> .

25

3.2. Свойства матрицы

R_{1} R_{2}

26

Перечислим некоторые свойства матрицы, которые позволят считать процедуру вычисления экономической сложности корректной.

27

1. Матрица

R_{1} R_{2}

является стохастической. Свойство стохастичности матрицы

R_{1} R_{2}

справедливо, так как элементы матрицы неотрицательны, а их сумма по строкам равна 1:

28

\sum_{j} {(R_{1} R_{2})}_{i j} = \sum_{j} \frac{1}{k_{c_{i}, 0}} \sum_{t} (a_{c_{i}, p_{t}} a_{c_{j}, p_{t}} / k_{p_{t}, 0}) = \sum_{t} \sum_{j} (a_{c_{i}, p_{t}} a_{c_{j}, p_{t}} / k_{c_{i}, 0} k_{p_{t}, 0}) = 1 .

29

В силу стохастичности матрица

R_{1} R_{2}

имеет собственное значение, равное 1, и отвечающий ему собственный вектор, который состоит из одинаковых координат.

30

2. Все собственные значения матрицы

R_{1} R_{2},

за исключением единичного, по модулю меньше единицы. Согласно теореме Фробениуса–Перрона справедливы следующие утверждения.

31

Утверждение. Пусть P — стохастическая матрица, все элементы которой положительны. Тогда:

32

P имеет в точности один собственный вектор $x_{0}$ , у которого все координаты положительные. Если $λ_{0}$ — собственное значение этого вектора, то $λ_{0} = 1$ ;
$λ_{0} = 1$ является простым корнем характеристического уравнения $d e t (P - λ I) = 0;$
все собственные значения (возможно комплексные) матрицы P удовлетворяют неравенству $|λ| \leq λ_{0}$ . Равенство достигается, только если все координаты соответствующего собственного вектора положительные.

<ol> <li>P имеет в точности один собственный вектор 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, у которого все координаты положительные. Если 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
 — собственное значение этого вектора, то 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
;</li> <li>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 является простым корнем характеристического уравнения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold">P</mi><mo>-</mo><mi>λ</mi><mi>I</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></math>
 </li> <li>все собственные значения (возможно комплексные) матрицы P удовлетворяют неравенству 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>λ</mi></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>≤</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
. Равенство достигается, только если все координаты соответствующего собственного вектора положительные. </li></ol>

<ol> <li>P имеет в точности один собственный вектор <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> , у которого все координаты положительные. Если <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> — собственное значение этого вектора, то <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math> ;</li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math> является простым корнем характеристического уравнения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold">P</mi><mo>-</mo><mi>λ</mi><mi>I</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></math> </li> <li>все собственные значения (возможно комплексные) матрицы P удовлетворяют неравенству <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>λ</mi></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>≤</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> . Равенство достигается, только если все координаты соответствующего собственного вектора положительные. </li></ol>

33

Доказательство представлено в (Seneta, 2006).

34

Все собственные значения матрицы

R_{1} R_{2}

являются действительными. Поскольку

35

R_{1} R_{2} = d i a g (k_{c_{1}, 0}^{- 1}, \dots, k_{c_{n}, 0}^{- 1}) \times A \times d i a g (k_{p_{1}, 0}^{- 1}, \dots, k_{p_{m}, 0}^{- 1}) A^{T},

36

то

37

\begin{array}{l} d e t (R_{1} R_{2} - λ I) = d e t (d i a g (k_{(c_{1}, 0)}^{- 1 / 2}, . . ., k_{(c_{n}, 0)}^{- 1 / 2}) \times [d i a g (k_{(c_{1}, 0)}^{- 1 / 2}, . . ., k_{(c_{n}, 0)}^{- 1 / 2}) \times \\ \times A \times d i a g (k_{(p_{1}, 0)}^{- 1}, . . ., k_{(p_{m}, 0)}^{- 1}) \times A^{T} d i a g (k_{(c_{1}, 0)}^{- 1 / 2}, . . ., k_{(c_{n}, 0)}^{- 1 / 2}) - λ I] \times d i a g (k_{(c_{1}, 0)}^{1 / 2}, . . ., k_{(c_{n}, 0)}^{1 / 2})) . \end{array}

38

Воспользовавшись тем, что детерминант произведения двух квадратных матриц равен произведению детерминантов этих матриц, получим

39

\begin{array}{l} d e t (R_{1} R_{2} - λ I) = \\ = d e t (d i a g (k_{c_{1}, 0}^{- 1 / 2}, \dots, k_{c_{n}, 0}^{- 1 / 2}) \times A \times d i a g (k_{p_{1}, 0}^{- 1}, \dots, k_{p_{m}, 0}^{- 1}) \times A^{T} \times d i a g (k_{c_{1}, 0}^{- 1 / 2}, \dots, k_{c_{n}, 0}^{- 1 / 2}) - λ I) . \end{array}

40

Матрица

41

B = d i a g (k_{c_{1}, 0}^{- 1 / 2}, \dots, k_{c_{n}, 0}^{- 1 / 2}) \times A \times d i a g (k_{p_{1}, 0}^{- 1}, \dots, k_{p_{m}, 0}^{- 1}) \times A^{T} \times d i a g (k_{c_{1}, 0}^{- 1 / 2}, \dots, k_{c_{n}, 0}^{- 1 / 2})

42

будет симметричной. Известно, что для симметричных матриц все собственные значения являются действительными.

43

1. Собственные вектора матрицы

R_{1} R_{2},

отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Пусть

λ_{1}, λ_{2}

два несовпадающих собственных значения матрицы

R_{1} R_{2},

а

v_{1}, v_{2}

— соответствующие им собственные вектора. Собственные значения, собственные вектора матриц

B

и

R_{1} R_{2}

совпадают. Рассмотрим квадратичную форму

v_{1}^{T} B v_{2}

, для которой

v_{1}^{T} B v_{2} = λ_{2} v_{1}^{T} v_{2} = {(B^{T} v_{1})}^{T} v_{2} = {(B v_{1})}^{T} v_{2} = λ_{1} v_{1}^{T} v_{2} .

Откуда, в силу того что

λ_{1} \neq λ_{2},

получаем

v_{1}^{T} v_{2} = 0 .

1. Собственные вектора матрицы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Пусть 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
 два несовпадающих собственных значения матрицы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 а 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
 — соответствующие им собственные вектора. Собственные значения, собственные вектора матриц 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">B</mi></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
 совпадают. Рассмотрим квадратичную форму 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mi mathvariant="bold">B</mi><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
, для которой 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mi mathvariant="bold">B</mi><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold">B</mi><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>.</mo></math>
 Откуда, в силу того что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≠</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 получаем 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>

1. Собственные вектора матрицы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></math> отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> два несовпадающих собственных значения матрицы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></math> а <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> — соответствующие им собственные вектора. Собственные значения, собственные вектора матриц <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">B</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> совпадают. Рассмотрим квадратичную форму <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mi mathvariant="bold">B</mi><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> , для которой <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mi mathvariant="bold">B</mi><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold">B</mi><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>.</mo></math> Откуда, в силу того что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≠</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></math> получаем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>

44

2. Все собственные значения матрицы

R_{1} R_{2}

являются неотрицательными. Возьмем вектор

y \neq 0

размерности

n

и рассмотрим квадратическую форму

45

\begin{matrix} y^{T} B y = y^{T} d i a g (k_{(c_{1}, 0)}^{- 1 / 2}, . . ., k_{(c_{n}, 0)}^{- 1 / 2}) \times A \times d i a g (k_{(p_{1}, 0)}^{- 1}, . . ., k_{(p_{m}, 0)}^{- 1}) \times A^{T} \times d i a g (k_{(c_{1}, 0)}^{- 1 / 2}, . . ., k_{(c_{n}, 0)}^{- 1 / 2}) y = \\ = [d i a g (k_{(p_{1}, 0)}^{- 1 / 2}, . . ., k_{(p_{m}, 0)}^{- 1 / 2}) \times A^{T} \times d i a g (k_{(c_{1}, 0)}^{- 1 / 2}, . . ., k_{(c_{n}, 0)}^{- 1 / 2}) y]^{T} \times \\ \times [d i a g (k_{(p_{1}, 0)}^{- 1 / 2}, . . ., k_{(p_{m}, 0)}^{- 1 / 2}) \times A^{T} \times d i a g (k_{(c_{1}, 0)}^{- 1 / 2}, . . ., k_{(c_{n}, 0)}^{(- 1 / 2)}) y] . \end{matrix}

46

Сделав замену

z = d i a g (k_{p_{1}, 0}^{- 1 / 2}, \dots, k_{p_{m}, 0}^{- 1 / 2}) A^{T} d i a g (k_{c_{1}, 0}^{- 1 / 2}, \dots, k_{c_{n}, 0}^{- 1 / 2}) y,

получим

y^{T} B y = z^{T} z \geq 0 .

Сделав замену 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>z</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msup><mrow><mi mathvariant="bold">A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi>y</mi><mo>,</mo></math>
 получим 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi mathvariant="bold">B</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi>z</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>

47

Так как собственные числа матрицы В действительные, а квадратичная форма

y^{T} B y

для любых

y \neq 0

неотрицательная, следует, что собственные числа матрицы В, а значит, и собственные числа

R_{1} R_{2},

неотрицательные.

48

3.3. Агрегированная вложенность

49

Обозначим

50

w_{i, j} = {(R_{1} R_{2})}_{i j} = \sum_{t = 1}^{m} \frac{a_{c_{i}, p_{t}}}{k_{c_{i}, 0}} \frac{a_{c_{j}, p_{t}}}{k_{p_{t}, 0}} = \frac{1}{k_{c_{i}, 0}} \sum_{t = 1}^{m} \frac{a_{c_{i}, p_{t}} a_{c_{j}, p_{t}}}{k_{p_{t}, 0}}

51

и отметим некоторые его свойства.

52

1. Поскольку матрица

R_{1} R_{2}

является стохастической, то для каждого

i, j \in \{1, \dots, n\}

:

w_{i, j} \geq 0, \sum_{j = 1}^{m} w_{i, j} = 1 .

Таким образом,

w_{i, 1}

,…,

w_{i, n}

можно интерпретировать как распределение вероятностей.

1. Поскольку матрица 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
 является стохастической, то для каждого 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></mfenced></math>
: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>
 Таким образом, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math>
,…,
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub></math>
 можно интерпретировать как распределение вероятностей.

53

2. Если в регионе

c_{i}

существует хотя бы один сильный регион, то

w_{i, i} > 0 .

Иначе

w_{i, i} = 0

. Справедливость этого утверждения легко показать, поскольку

w_{i, i} = {(k_{c_{i}, 0})}^{- 1} \sum_{t = 1}^{m} (a_{c_{i}, p_{t}} / k_{p_{t}, 0}) \geq 0,

а нулевое значение достигается только тогда, когда

a_{c_{i}, p_{t}} = 0, t = 1, \dots, m,

но таких случаев в наших данных нет.

2. Если в регионе 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 существует хотя бы один сильный регион, то 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>
 Иначе 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
. Справедливость этого утверждения легко показать, поскольку 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math>
 а нулевое значение достигается только тогда, когда 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math>
 но таких случаев в наших данных нет.

2. Если в регионе <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> существует хотя бы один сильный регион, то <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> Иначе <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math> . Справедливость этого утверждения легко показать, поскольку <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math> а нулевое значение достигается только тогда, когда <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math> но таких случаев в наших данных нет.

54

3. Элементы

w_{i, j}

равны нулю тогда и только тогда, когда выполняется условие

\{t : a_{c_{i}, p_{t}} = 1\} \cap \{t : a_{c_{j}, p_{t}} = 1\} = \emptyset .

Это означает отсутствие общих сильных секторов в структурах экономики регионов

c_{i}

и

c_{j}

.

3. Элементы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 равны нулю тогда и только тогда, когда выполняется условие 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>:</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>∩</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>:</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∅</mi><mo>.</mo></math>
 Это означает отсутствие общих сильных секторов в структурах экономики регионов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
.

55

4. В каждой строке матрицы

(w_{i, j})

максимальный элемент отвечает диагональному элементу, т.е.

w_{i, i} = \underset{j \in \{1, \dots, n\}}{m a x} (w_{i, j})

. Покажем это. В силу справедливости выражения

4. В каждой строке матрицы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 максимальный элемент отвечает диагональному элементу, т.е. 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>∈</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></mfenced></mrow></munder><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
. Покажем это. В силу справедливости выражения

56

w_{i, j} = \frac{1}{k_{c_{i}, 0}} \sum_{t = 1}^{m} \frac{a_{c_{i}, p_{t}} a_{c_{j}, p_{t}}}{k_{p_{t}, 0}} \leq \frac{1}{k_{c_{i}, 0}} \sum_{t = 1}^{m} \frac{a_{c_{i}, p_{t}}}{k_{p_{t}, 0}} = \frac{1}{k_{c_{i}, 0}} \sum_{t = 1}^{m} \frac{a_{c_{i}, p_{t}} a_{c_{i}, p_{t}}}{k_{p_{t}, 0}}

57

получаем, что

w_{i, j} \leq w_{i, i}

. Причем равенство в последнем неравенстве достигается только тогда, когда выполняется условие

\{t : a_{c_{i}, p_{t}} = 1\} \subseteq \{t : a_{c_{j}, p_{t}} = 1\}

. А это означает, что все сильные сектора структуры экономики региона

c_{i}

также являются сильными секторами в структуре региона

c_{j}

. Если условие не выполняется, то имеем строгое неравенство

w_{i, j} / w_{i, i} < 1 .

получаем, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></math>
. Причем равенство в последнем неравенстве достигается только тогда, когда выполняется условие 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>:</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>⊆</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>:</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>
. А это означает, что все сильные сектора структуры экономики региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 также являются сильными секторами в структуре региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
. Если условие не выполняется, то имеем строгое неравенство 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>&lt;</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>

получаем, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></math> . Причем равенство в последнем неравенстве достигается только тогда, когда выполняется условие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>:</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>⊆</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>:</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> . А это означает, что все сильные сектора структуры экономики региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> также являются сильными секторами в структуре региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> . Если условие не выполняется, то имеем строгое неравенство <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo><</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>

58

5. Величина

w_{i, j}

монотонно возрастает c ростом числа элементов множества

\{t : a_{c_{i}, p_{t}} = 1\} \cap \{t : a_{c_{j}, p_{t}} = 1\} .

59

6. Асимметричность матрицы

(w_{i, j})

. Легко показать, что

w_{j, i} = k_{c_{i}, 0} / k_{c_{j}, 0} w_{i, j}

. Если уровень диверсификации региона

c_{i}

совпадает с уровнем диверсификацией региона

c_{j}

, тогда

w_{j, i} = w_{i, j}

. Если диверсификация региона

c_{i}

больше (меньше) диверсификации региона

c_{j}

, тогда

w_{j, i} > w_{i, j}

(

w_{j, i} < w_{i, j}

). Таким образом, различные уровни диверсификации регионов гарантируют асимметричность матрицы

(w_{i, j}) .

6. Асимметричность матрицы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
. Легко показать, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
. Если уровень диверсификации региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 совпадает с уровнем диверсификацией региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, тогда 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
. Если диверсификация региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 больше (меньше) диверсификации региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, тогда 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
). Таким образом, различные уровни диверсификации регионов гарантируют асимметричность матрицы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></math>

6. Асимметричность матрицы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> . Легко показать, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> . Если уровень диверсификации региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> совпадает с уровнем диверсификацией региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> , тогда <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> . Если диверсификация региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> больше (меньше) диверсификации региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> , тогда <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>></mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo><</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> ). Таким образом, различные уровни диверсификации регионов гарантируют асимметричность матрицы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></math>

60

Из свойств 2–3 для

w_{i, j}

следует, что отношение

w_{i, j} / w_{i, i}

можно интерпретировать как характеристику степени вложенности множества сильных секторов региона

c_{i}

во множество сильных секторов региона

c_{j}

. Чем ниже это отношение, тем меньше сильных секторов региона

c_{i}

входит во множество

{t : a_{c_{j}, p_{t}} = 1}

сильных секторов региона

c_{j} .

Из свойств 2–3 для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 следует, что отношение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 можно интерпретировать как характеристику степени вложенности множества сильных секторов региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 во множество сильных секторов региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
. Чем ниже это отношение, тем меньше сильных секторов региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 входит во множество 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><mi>t</mi><mo>:</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></math>
 сильных секторов региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math>

Из свойств 2–3 для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> следует, что отношение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></math> можно интерпретировать как характеристику степени вложенности множества сильных секторов региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> во множество сильных секторов региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> . Чем ниже это отношение, тем меньше сильных секторов региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> входит во множество <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><mi>t</mi><mo>:</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></math> сильных секторов региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math>

61

Агрегированный показатель

I_{i}^{(1)} = \sum_{j = 1}^{m} {(w_{i, j} / w_{i, i})}^{2},

i = 1, \dots, m,

характеризует степень вложенности структуры сильных секторов региона

c_{i}

в структуры сильных секторов других регионов. Назовем этот показатель агрегированной вложенностью структуры экономики региона. Минимальное значение

I_{i}^{1} = 1

возникает в условиях, когда структура сильных секторов региона

c_{i}

состоит из уникальных секторов, для которых

w_{i, j} = 0

для всех

i \neq j

, близкое к единице — когда распределение

w_{i, j}

мало отличается от равномерного распределения.

Агрегированный показатель 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math>
 характеризует степень вложенности структуры сильных секторов региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 в структуры сильных секторов других регионов. Назовем этот показатель агрегированной вложенностью структуры экономики региона. Минимальное значение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 возникает в условиях, когда структура сильных секторов региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 состоит из уникальных секторов, для которых 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 для всех 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></math>
, близкое к единице — когда распределение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 мало отличается от равномерного распределения.

Агрегированный показатель <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math> характеризует степень вложенности структуры сильных секторов региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> в структуры сильных секторов других регионов. Назовем этот показатель агрегированной вложенностью структуры экономики региона. Минимальное значение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn></math> возникает в условиях, когда структура сильных секторов региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> состоит из уникальных секторов, для которых <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math> для всех <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></math> , близкое к единице — когда распределение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> мало отличается от равномерного распределения.

62

Показатель

I_{j}^{(2)} = \sum_{i = 1}^{m} {(w_{i, j} / w_{i, i})}^{2},

j = 1, \dots, m,

характеризует степень вложенности в структуру сильных секторов региона

c_{j}

. Назовем его агрегированной вложенностью в структуру региона. При увеличении числа сложных секторов региона

c_{j}

величина

I_{j}^{(2)}

не убывает. Минимальное значение

I_{j}^{2} = 1

возникает в условиях, когда структура сложных секторов для региона

c_{j}

состоит из уникальных секторов, т.е. когда

w_{i, j} = 0

для всех

i \neq j .

Показатель 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math>
 характеризует степень вложенности в структуру сильных секторов региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
. Назовем его агрегированной вложенностью в структуру региона. При увеличении числа сложных секторов региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 величина 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup></math>
 не убывает. Минимальное значение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 возникает в условиях, когда структура сложных секторов для региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 состоит из уникальных секторов, т.е. когда 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 для всех 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi><mo>.</mo></math>

Показатель <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo></math> характеризует степень вложенности в структуру сильных секторов региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> . Назовем его агрегированной вложенностью в структуру региона. При увеличении числа сложных секторов региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> величина <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup></math> не убывает. Минимальное значение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn></math> возникает в условиях, когда структура сложных секторов для региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> состоит из уникальных секторов, т.е. когда <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math> для всех <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi><mo>.</mo></math>

63

3.4. Связь экономической сложности с показателями агрегированной вложенности

64

В работе (Afanasyev, Kudrov, 2020) представлены оценки экономической сложности регионов РФ, рассчитанные на основе данных о налоговых поступлениях по 82 секторам экономики. В табл. 1 приведены оценки параметров регрессии экономической сложности регионов РФ, полученной в работе (Afanasyev, Kudrov, 2020), на логарифм агрегированной вложенности структуры сильных секторов экономики и логарифм агрегированного вложения в структуру.

65

Таблица 1. Регрессия для экономической сложности регионов

66

Экономическая сложность региона	Оценка	Стандартное отклонение	t-статистика	p-значение
Константа	–4,18	0,45	–9,22	0
Логарифм агрегированной вложенности структуры	0,96	0,19	5,14	0

Логарифм агрегированной вложенности в структуру	0,97	0,15	6,65	0
R²	0,55
Скоррректированный R²	0,54

Примечание. Данные по оценкам экономической сложности взяты из работы (Afanasyev, Kudrov, 2020). Источник: расчеты авторов.

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Экономическая сложность региона</td><td class="docx-publication-cell"> Оценка</td><td class="docx-publication-cell"> Стандартное отклонение</td><td class="docx-publication-cell"> t-статистика</td><td class="docx-publication-cell"> p-значение</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Константа</td><td class="docx-publication-cell"> –4,18</td><td class="docx-publication-cell"> 0,45</td><td class="docx-publication-cell"> –9,22</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Логарифм агрегированной вложенности структуры</td><td class="docx-publication-cell"> 0,96</td><td class="docx-publication-cell"> 0,19</td><td class="docx-publication-cell"> 5,14</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Логарифм агрегированной вложенности в структуру</td><td class="docx-publication-cell"> 0,97</td><td class="docx-publication-cell"> 0,15</td><td class="docx-publication-cell"> 6,65</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> R2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,55</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Скоррректированный R2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,54</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr></table> Примечание. Данные по оценкам экономической сложности взяты из работы (Afanasyev, Kudrov, 2020). Источник: расчеты авторов.

67

Для российских регионов получены оценки экономической сложности, для которых были использованы и другие региональные данные. А именно данные по экспорту регионов РФ. В работе (Любимов и др., 2017) по этим данным вычислялись две оценки экономической сложности регионов РФ: оценка экономической сложности (по данным о структуре экспорта регионов РФ); оценка экономической сложности (по данным о структуре экспорта регионов РФ и странам мира). В табл. 2 показаны результаты построения регрессии этих оценок экономической сложности на логарифмы показателей агрегированной вложенности структуры сильных секторов региона и агрегированной вложенности в структуру сильных секторов региона.

68

Таблица 2. Регрессии для экономической сложности регионов, по данным со странами и без стран

69

Регрессия для экономической сложности регионов по данным со странами	Регрессия для экономической сложности регионов по данным без стран
Экономическая сложность (по данным со странами)	Оценка	Стандартное отклонение	t-статистика	p-значение	Экономическая сложность (по данным без стран)	Оценка	Стандартное отклонение	t-статистика	p-значение
Константа	0,15	0,25	0,61	0,54	Константа	–1,03	0,67	–1,55	0,13
Логарифм агрегированной вложенности структуры	–0,19	0,10	–1,87	0,06	Логарифм агрегированной вложенности структуры	0,06	0,27	0,22	0,82
Логарифм агрегированной вложенности в структуру	0,31	0,08	3,92	0,00	Логарифм агрегированной вложенности в структуру)	0,42	0,21	1,95	0,06
R²	0,17		R²	0,05
Скоррректированный R²	0,15		Скоррректированный R²	0,03

Примечание. Данные по оценкам экономической сложности взяты из работы (Lyubimov et al., 2017). Источник: расчеты авторов.

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Регрессия для экономической сложности регионов по данным со странами</td><td class="docx-publication-cell"> Регрессия для экономической сложности регионов по данным без стран </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Экономическая сложность (по данным со странами)</td><td class="docx-publication-cell"> Оценка</td><td class="docx-publication-cell"> Стандартное отклонение</td><td class="docx-publication-cell"> t-статистика</td><td class="docx-publication-cell"> p-значение</td><td class="docx-publication-cell"> Экономическая сложность (по данным без стран)</td><td class="docx-publication-cell"> Оценка</td><td class="docx-publication-cell"> Стандартное отклонение</td><td class="docx-publication-cell"> t-статистика</td><td class="docx-publication-cell"> p-значение</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Константа</td><td class="docx-publication-cell"> 0,15</td><td class="docx-publication-cell"> 0,25</td><td class="docx-publication-cell"> 0,61</td><td class="docx-publication-cell"> 0,54</td><td class="docx-publication-cell"> Константа</td><td class="docx-publication-cell"> –1,03</td><td class="docx-publication-cell"> 0,67</td><td class="docx-publication-cell"> –1,55</td><td class="docx-publication-cell"> 0,13</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Логарифм агрегированной вложенности структуры</td><td class="docx-publication-cell"> –0,19</td><td class="docx-publication-cell"> 0,10</td><td class="docx-publication-cell"> –1,87</td><td class="docx-publication-cell"> 0,06</td><td class="docx-publication-cell"> Логарифм агрегированной вложенности структуры</td><td class="docx-publication-cell"> 0,06</td><td class="docx-publication-cell"> 0,27</td><td class="docx-publication-cell"> 0,22</td><td class="docx-publication-cell"> 0,82</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Логарифм агрегированной вложенности в структуру</td><td class="docx-publication-cell"> 0,31</td><td class="docx-publication-cell"> 0,08</td><td class="docx-publication-cell"> 3,92</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td><td class="docx-publication-cell"> Логарифм агрегированной вложенности в структуру)</td><td class="docx-publication-cell"> 0,42</td><td class="docx-publication-cell"> 0,21</td><td class="docx-publication-cell"> 1,95</td><td class="docx-publication-cell"> 0,06</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> R2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,17</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> R2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,05</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Скоррректированный R2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,15</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Скоррректированный R2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,03</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr></table> Примечание. Данные по оценкам экономической сложности взяты из работы (Lyubimov et al., 2017). Источник: расчеты авторов.

70

Регрессия для экономической сложности по данным со странами отвечает значительно большему значению R², чем регрессия для экономической сложности по данным без стран. Большие значения экономической сложности из (Afanasyev, Kudrov, 2020) соответствуют высокому уровню показателя вложенности структуры экономики и высокому уровню показателя вложенности в структуру. Для экономической сложности низкого уровня характерны низкие уровни показателя вложенности структуры экономики и показателя вложенности в структуру. Таким образом, показатель экономической сложности можно интерпретировать в качестве измерителя уровня развитости смежных секторов и технологических цепочек или цепочек добавленной стоимости.

71

Два показателя экономической сложности из (Любимов и др., 2017) характеризуются низким соответствием показателям вложенности. Объяснением этому может служить то, что экспортные товары вложены в международные цепочки формирования добавленной стоимости. Поэтому, если мы ограничиваемся только экспортными данными по регионам, то в силу отсутствия длинных цепочек формирования добавленной стоимости для экспортных товаров на локальном российском уровне оценка экономической сложности не отражает связей между товарами российского экспорта. Напротив, если мы подключаем к имеющимся данным о структуре экспорта регионов РФ информацию о структуре экспорта стран мира и оцениваем по ним уровень экономической сложности, то такая оценка отражает уже технологические цепочки формирования добавленной стоимости на международном уровне и позволяет количественно оценивать в них место регионов РФ. В результате, как видно из данных в табл. 2 (слева), этот показатель имеет значимую связь с показателем вложенности в структуру.

72

3.5. Смежные секторы и потенциально достижимые сильные секторы в экономике

73

В настоящее время широко используются алгоритмы формирования рекомендаций при выборе альтернатив (например, (Glodberg et al., 2001)). Общая постановка этой задачи состоит в рекомендации тех вариантов выбора, которые соответствуют в наибольшей степени характеристикам объекта, для которого вырабатываются рекомендации. Для структуры сильных секторов экономики региона рекомендации выдают список потенциально достижимых сильных секторов при заданных характеристиках региона, а также с использованием информации о сильных секторах в похожих на него регионах.

74

В работе (Hidalgo et al., 2007) предлагается подход к выбору потенциальных сильных секторов, который строится по матрице смежности

ϕ (p_{i}, p_{j}) = m i n \{P (p_{i} | p_{j}), P (p_{j} | p_{i})\},

где

P (p_{i} | p_{j})

— доля регионов, для которых

a_{c, p_{i}} = 1

при условии, что

a_{c, p_{j}} = 1 .

В работе (Hidalgo et al., 2007) предлагается подход к выбору потенциальных сильных секторов, который строится по матрице смежности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>|</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>|</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
 где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>|</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 — доля регионов, для которых 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 при условии, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>

В работе (Hidalgo et al., 2007) предлагается подход к выбору потенциальных сильных секторов, который строится по матрице смежности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>|</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>|</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>|</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> — доля регионов, для которых <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math> при условии, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>

75

Потенциально сильный сектор в регионе, согласно методологии, представленной в (Hidalgo et al., 2007), определяется условиями, если: 1) в структуре сильных секторов региона сектор

p_{i}

— сильный, а сектор

p_{j}

таковым не является, 2) выполняется условие

ϕ (p_{i}, p_{j}) > 0,5

, — то

p_{j}

рекомендуется в качестве потенциально сильного сектора.

Потенциально сильный сектор в регионе, согласно методологии, представленной в (Hidalgo et al., 2007), определяется условиями, если: 1) в структуре сильных секторов региона сектор 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 — сильный, а сектор 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 таковым не является, 2) выполняется условие 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>&gt;</mo><mn>0,5</mn></math>
, — то 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 рекомендуется в качестве потенциально сильного сектора.

76

Однако такой подход обладает следующими недостатками: 1) не учитывается полная информация о структуре региональной экономики; 2) оценки смежности секторов

ϕ (p_{i}, p_{j})

обладают разным статистическим качеством, поскольку для разных

(i, j)

величины

P (p_{i} │ p_{j})

оцениваются с использованием разного числа наблюдений.

Однако такой подход обладает следующими недостатками: 1) не учитывается полная информация о структуре региональной экономики; 2) оценки смежности секторов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 обладают разным статистическим качеством, поскольку для разных 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></mfenced></math>
 величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>│</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mfenced></math>
 оцениваются с использованием разного числа наблюдений.

77

Для преодоления указанных проблем метода далее предлагается авторский подход.

78

3.6. Вероятностная модель для прогноза появления новых сильных секторов

79

Пусть случайные величины

80

A_{c_{i}, p_{k}} = \{\begin{array}{l} 1, с в е р о я т н о с т ь ю π (f_{c_{i}, p_{k}}^{1}, f_{c_{i}, p_{k}}^{2}, \dots); \\ 0, с в е р о я т н о с т ь ю 1 - π (f_{c_{i}, p_{k}}^{1}, f_{c_{i}, p_{k}}^{2}, \dots), \end{array}

(4)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">ь</mi><mi mathvariant="normal">ю</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>π</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo></mrow></mfenced><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">ь</mi><mi mathvariant="normal">ю</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>π</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(4)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">ь</mi><mi mathvariant="normal">ю</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>π</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo></mrow></mfenced><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">ь</mi><mi mathvariant="normal">ю</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>π</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (4)

81

где

f_{c_{i}, p_{k}}^{1}, f_{c_{i}, p_{k}}^{2}, \dots

— факторы, влияющие на возникновение событий

A_{c_{i}, p_{k}} = 1

и

A_{c_{i}, p_{k}} = 0 .

Будем предполагать, что зависимость

π (f_{c_{i}, p_{k}}^{1}, f_{c_{i}, p_{k}}^{2}, \dots)

имеет вид

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo></math>
 — факторы, влияющие на возникновение событий 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>
 Будем предполагать, что зависимость 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>π</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo></mrow></mfenced></math>
 имеет вид

где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo></math> — факторы, влияющие на возникновение событий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> Будем предполагать, что зависимость <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>π</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo></mrow></mfenced></math> имеет вид

82

π (f_{c_{i}, p_{k}}^{1}, . . ., f_{c_{i}, p_{k}}^{h}) = e x p (β_{0} + \sum_{h} β_{h} f_{c_{i}, p_{k}}^{h}) / \{1 + e x p (β_{0} + \sum_{h} β_{h} f_{c_{i}, p_{k}}^{h})\},

(5) где

β_{0}

— константа.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>π</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
(5) где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
 — константа.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>π</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math> (5) где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> — константа.

83

Предположим, что последовательность

a_{c_{1}, p_{1}}, . . ., a_{c_{1}, p_{m}}, . . ., a_{c_{n}, p_{1}}, . . ., a_{c_{n}, p_{m}}

является реализацией случайной последовательности

A_{c_{1}, p_{1}}, . . ., A_{c_{1}, p_{m}}, . . ., A_{c_{n}, p_{1}}, . . ., A_{c_{n}, p_{m}}

, элементы которой независимы при заданных

f_{c_{1}, p_{1}}^{1}, f_{c_{1}, p_{2}}^{1}, \dots .

Будем считать, что распределение

P (A_{c_{i}, p_{k}} | f_{c_{1}, p_{1}}^{1}, f_{c_{1}, p_{2}}^{1}, \dots) = P (A_{c_{i}, p_{k}} | f_{c_{i}, p_{k}}^{1}, . . ., f_{c_{i}, p_{k}}^{h}, \dots)

, т.е. факторы, влияющие на распределение

A_{c_{i}, p_{k}}

, ограничиваются множеством

f_{c_{i}, p_{k}}^{1}, . . ., f_{c_{i}, p_{k}}^{h}, . . .,

у которых нижняя пара индексов

(c_{i}, p_{k})

. Тогда функция правдоподобия имеет вид

Предположим, что последовательность 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub></math>
 является реализацией случайной последовательности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub></math>
, элементы которой независимы при заданных 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo></math>
 Будем считать, что распределение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>|</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>…</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>|</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>…</mo><mo>)</mo></math>
, т.е. факторы, влияющие на распределение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></math>
, ограничиваются множеством 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 у которых нижняя пара индексов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
. Тогда функция правдоподобия имеет вид

Предположим, что последовательность <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> является реализацией случайной последовательности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> , элементы которой независимы при заданных <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo></math> Будем считать, что распределение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>|</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>…</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>|</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>…</mo><mo>)</mo></math> , т.е. факторы, влияющие на распределение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> , ограничиваются множеством <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi></math> у которых нижняя пара индексов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> . Тогда функция правдоподобия имеет вид

84

\begin{matrix} P (A_{c_{1}, p_{1}} = a_{c_{1}, p_{1}}, . . ., A_{c_{1}, p_{m}} = a_{c_{1}, p_{m}}, . . ., A_{c_{n}, p_{1}} = a_{c_{n}, p_{1}}, . . ., A_{c_{n}, p_{m}} = a_{c_{n}, p_{m}} | f_{c_{1}, p_{1}}^{1}, f_{c_{1}, p_{2}}^{1}, \dots), . . . = \\ = P (A_{c_{1}, p_{1}} = a_{c_{1}, p_{1}} | f_{c_{1}, p_{1}}^{1}, . . ., f_{c_{1}, p_{1}}^{h}, \dots) \dots P (A_{c_{n}, p_{m}} = a_{c_{n}, p_{m}} | f_{c_{n}, p_{m}}^{1}, . . ., f_{c_{n}, p_{m}}^{h}, \dots) = \\ = {[\frac{e x p (β_{0} + \sum β_{h} f_{c_{1}, p_{1}}^{h})}{1 + e x p (β_{0} + \sum β_{h} f_{c_{1}, p_{1}}^{h})}]}^{a_{c_{1}, p_{1}}} {[\frac{1}{1 + e x p (β_{0} + \sum β_{h} f_{c_{1}, p_{1}}^{h})}]}^{1 - a_{c_{1}, p_{1}}} \times \\ \times \dots \times {[\frac{e x p (β_{0} + \sum β_{h} f_{c_{n}, p_{m}}^{h})}{1 + e x p (β_{0} + \sum β_{h} f_{c_{n}, p_{m}}^{h})}]}^{a_{c_{n}, p_{m}}} {[\frac{1}{1 + e x p (β_{0} + \sum β_{h} f_{c_{n}, p_{m}}^{h})}]}^{1 - a_{c_{n}, p_{m}}} . \end{matrix}

85

Максимизируя эту функцию, мы получаем оценки параметров

β_{1}, . . ., β_{h}, . . . .

Для оценки качества модели мы будем использовать критерий Акаике, а также величину

G = m n^{- 1} \sum_{i, k} I (I (π (f_{c_{i}, p_{k}}^{1}, f_{c_{i}, p_{k}}^{2}, . . .) > 0,5) = a_{c_{i}, p_{k}})

, где

I (A)

— показатель события

A

. Величина

G

характеризует долю правильно идентифицированных моделью случаев.

Максимизируя эту функцию, мы получаем оценки параметров 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo></math>
 Для оценки качества модели мы будем использовать критерий Акаике, а также величину 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi><mo>=</mo><mi>m</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow></msub><mi>I</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>I</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>π</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mfenced><mo>&gt;</mo><mn>0,5</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
, где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>I</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>A</mi></mrow></mfenced></math>
 — показатель события 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>A</mi></math>
. Величина 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi></math>
 характеризует долю правильно идентифицированных моделью случаев.

Максимизируя эту функцию, мы получаем оценки параметров <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo></math> Для оценки качества модели мы будем использовать критерий Акаике, а также величину <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi><mo>=</mo><mi>m</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow></msub><mi>I</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>I</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>π</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mfenced><mo>></mo><mn>0,5</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced></math> , где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>I</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>A</mi></mrow></mfenced></math> — показатель события <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>A</mi></math> . Величина <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi></math> характеризует долю правильно идентифицированных моделью случаев.

86

Рассмотрим способы формирования объясняющих переменных

f_{c_{i}, p_{k}}^{1}, . . ., f_{c_{i}, p_{k}}^{h}, . . . .

87

Способ 1. Для данного способа

h = 2

. Определим факторы

f_{c_{i}, p_{k}}^{1}, f_{c_{i}, p_{k}}^{2}

для всех

i = 1, \dots, n;

k = 1, \dots, m :

Способ 1. Для данного способа 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math>
. Определим факторы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
 для всех 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>;</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>:</mo></math>

88

f_{c_{i}, p_{k}}^{1} = (\sum_{j = 1, i \neq j}^{n} w_{i, j} a_{c_{j}, p_{k}}) / (1 - w_{i, i});

f_{c_{i}, p_{k}}^{2} = (\sum_{j = 1, i \neq j}^{n} w_{j, i} a_{c_{j}, p_{k}} / w_{j, j}) / (\sum_{j = 1, i \neq j}^{n} w_{j, i} / w_{j, j}) .

89

Оценки параметров модели (4)–(5) при данном способе формирования объясняющих факторов представлены в табл. 3.

90

Таблица 3. Способ 1. Оценка параметров модели идентификации сильных секторов

91

Параметр	Оценка	Стандартное отклонение	t-статистика	p-значение
Константа	–2,94	0,07	–43,42	0,00
$f_{c_{i}, p_{k}}^{1}$	2,91	0,83	3,52	0,00
$f_{c_{i}, p_{k}}^{2}$	18,15	0,91	20,12	0,00
G	0,8
Критерий Акаике	5681

Источник: расчеты авторов.

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Параметр</td><td class="docx-publication-cell"> Оценка</td><td class="docx-publication-cell"> Стандартное отклонение </td><td class="docx-publication-cell"> t-статистика</td><td class="docx-publication-cell"> p-значение</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Константа</td><td class="docx-publication-cell"> –2,94</td><td class="docx-publication-cell"> 0,07</td><td class="docx-publication-cell"> –43,42</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 2,91</td><td class="docx-publication-cell"> 0,83</td><td class="docx-publication-cell"> 3,52</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 18,15</td><td class="docx-publication-cell"> 0,91</td><td class="docx-publication-cell"> 20,12</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> G </td><td class="docx-publication-cell"> 0,8</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Критерий Акаике</td><td class="docx-publication-cell"> 5681</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr></table> Источник: расчеты авторов.

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Параметр</td><td class="docx-publication-cell"> Оценка</td><td class="docx-publication-cell"> Стандартное отклонение </td><td class="docx-publication-cell"> t-статистика</td><td class="docx-publication-cell"> p-значение</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Константа</td><td class="docx-publication-cell"> –2,94</td><td class="docx-publication-cell"> 0,07</td><td class="docx-publication-cell"> –43,42</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 2,91</td><td class="docx-publication-cell"> 0,83</td><td class="docx-publication-cell"> 3,52</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 18,15</td><td class="docx-publication-cell"> 0,91</td><td class="docx-publication-cell"> 20,12</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> G </td><td class="docx-publication-cell"> 0,8</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Критерий Акаике</td><td class="docx-publication-cell"> 5681</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr></table> Источник: расчеты авторов.

92

Как видно из данных в табл. 3, коэффициенты при

f_{c_{i}, p_{k}}^{1}

и

f_{c_{i}, p_{k}}^{2}

являются значимыми и положительными. Для этого способа выбора объясняющих переменных доля правильно идентифицированных моделью случаев составляет 80%.

93

Методом имитации проверены гипотезы равенства нулю показателя вложенности структуры сильных секторов региона

c_{i}, i = 1, \dots, n,

в структуру сильных секторов региона

c_{j}, j = 1, \dots, n, j \neq i,

а именно

H_{0}

:

w_{i, j} / w_{i, i} = 0

против

H_{1} : w_{i, j} / w_{i, i} \neq 0 .

Показано, что 95%-ный квантиль для функции распределения

w_{i, j} / w_{i, i}

в условиях справедливости нулевой гипотезы равен 0,47 при заданном уровне значимости

α = 0,95 .

Методом имитации проверены гипотезы равенства нулю показателя вложенности структуры сильных секторов региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo></math>
 в структуру сильных секторов региона 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>≠</mo><mi>i</mi><mo>,</mo></math>
 а именно 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 против 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>:</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>
 Показано, что 95%-ный квантиль для функции распределения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 в условиях справедливости нулевой гипотезы равен 0,47 при заданном уровне значимости 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0,95</mn><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math>

Методом имитации проверены гипотезы равенства нулю показателя вложенности структуры сильных секторов региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo></math> в структуру сильных секторов региона <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>≠</mo><mi>i</mi><mo>,</mo></math> а именно <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> : <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math> против <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>:</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> Показано, что 95%-ный квантиль для функции распределения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></math> в условиях справедливости нулевой гипотезы равен 0,47 при заданном уровне значимости <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0,95</mn><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math>

94

Способ 2. Для данного способа

h = 2

. Определим факторы

f_{c_{i}, p_{k}}^{1}, f_{c_{i}, p_{k}}^{2}

для всех

i = 1, \dots, n;

k = 1, \dots, m :

Способ 2. Для данного способа 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math>
. Определим факторы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
 для всех 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>;</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>:</mo></math>

95

f_{c_{i}, p_{k}}^{1} = \sum_{j = 1, i \neq j}^{n} w_{i, j} I (w_{i, j} / w_{i, i} > 0,47) a_{c_{j}, p_{k}} / \sum_{j = 1, i \neq j}^{n} w_{i, j} I (w_{i, j} / w_{i, i} > 0,47);

96

f_{c_{i}, p_{k}}^{2} = \sum_{j = 1, i \neq j}^{n} \frac{w_{j, i}}{w_{j, j}} I (w_{j, i} / w_{j, j} > 0,47) a_{c_{j}, p_{k}} / \sum_{j = 1, i \neq j}^{n} (w_{j, i} / w_{j, j}) I (w_{j, i} / w_{j, j} > 0,47) .

97

Оценки параметров модели (4)–(5) при данном способе формирования объясняющих факторов представлены в табл. 4.

98

Таблица 4. Способ 2. Оценка параметров модели идентификации сильных секторов

99

Параметр	Оценка	Стандартное отклонение	t-статистика	p-значение
Константа	–3,11	0,07	–41,70	0,00
$f_{c_{i}, p_{k}}^{1}$	4,74	0,26	18,46	0,00
$f_{c_{i}, p_{k}}^{2}$	5,81	0,27	21,95	0,00
G	0,83
Критерий Акаике	4554

Источник: расчеты авторов.

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Параметр</td><td class="docx-publication-cell"> Оценка</td><td class="docx-publication-cell"> Стандартное отклонение</td><td class="docx-publication-cell"> t-статистика</td><td class="docx-publication-cell"> p-значение</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Константа</td><td class="docx-publication-cell"> –3,11</td><td class="docx-publication-cell"> 0,07</td><td class="docx-publication-cell"> –41,70</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 4,74</td><td class="docx-publication-cell"> 0,26</td><td class="docx-publication-cell"> 18,46</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 5,81</td><td class="docx-publication-cell"> 0,27</td><td class="docx-publication-cell"> 21,95</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> G </td><td class="docx-publication-cell"> 0,83</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Критерий Акаике</td><td class="docx-publication-cell"> 4554</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr></table> Источник: расчеты авторов.

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Параметр</td><td class="docx-publication-cell"> Оценка</td><td class="docx-publication-cell"> Стандартное отклонение</td><td class="docx-publication-cell"> t-статистика</td><td class="docx-publication-cell"> p-значение</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Константа</td><td class="docx-publication-cell"> –3,11</td><td class="docx-publication-cell"> 0,07</td><td class="docx-publication-cell"> –41,70</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 4,74</td><td class="docx-publication-cell"> 0,26</td><td class="docx-publication-cell"> 18,46</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 5,81</td><td class="docx-publication-cell"> 0,27</td><td class="docx-publication-cell"> 21,95</td><td class="docx-publication-cell"> 0,00</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> G </td><td class="docx-publication-cell"> 0,83</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Критерий Акаике</td><td class="docx-publication-cell"> 4554</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr></table> Источник: расчеты авторов.

100

Как видно из данных в табл. 4, коэффициенты при

f_{c_{i}, p_{k}}^{1}

и

f_{c_{i}, p_{k}}^{2}

являются значимыми и положительными. Для этого способа выбора объясняющих переменных доля правильно идентифицированных моделью случаев незначительно отличается от доли для случая 1 и равна 83% общего числа случаев, но значение критерия Акаике меньше, чем для способа 1. Таким образом, способ 2 предпочтительнее.

Как видно из данных в табл. 4, коэффициенты при 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
 являются значимыми и положительными. Для этого способа выбора объясняющих переменных доля правильно идентифицированных моделью случаев незначительно отличается от доли для случая 1 и равна 83% общего числа случаев, но значение критерия Акаике меньше, чем для способа 1. Таким образом, способ 2 предпочтительнее.

101

4. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

102

Согласно данной модели были сформированы списки потенциально сильных секторов в регионах. В частности, для некоторых регионов, специализирующихся в сельском хозяйстве, требуется развитие сектора «Транспортировка и хранение», что дает возможность большего территориального охвата в снабжении производимой продукцией. Вследствие инфраструктурных проблем рекомендации для развития сельского хозяйства включают развитие сектора «Забор, очистка и распределение воды» (необходим для функционирования поливочных систем), сектора «Обеспечение электрической энергией, газом и паром; кондиционирование воздуха» (для развития тепличных комплексов, требующих больших энергозатрат при создании микроклимата). Кроме того, в некоторых регионах со специализацией в сельском хозяйстве недостаточно хорошо развиты сектора обрабатывающей промышленности для производимой сельхозпродукции. (Подробнее см. в Приложении, табл. П1: производство напитков (Владимирская, Псковская, Воронежская, Костромская области и др. регионы), переработка и консервирование мяса и мясной пищевой продукции (Оренбургская, Пензенская области и др.), производство пищевых продуктов (Тульская, Ярославская области), производство молочной продукции (Саратовская область, Республика Северная Осетия — Алания и др.)). Следует заметить, что развитие сельского хозяйства способствует формированию спроса на развитие сектора сельхозмашиностроения и других секторов, в том числе секторов, которые предлагают решения, способствующие автоматизации процессов на уровнях сельскохозяйственных работ и функционирования обрабатывающей промышленности. Сектора, связанные с сельским хозяйством, приведены здесь в качестве примера. Спектр выявленных потенциальных сильных секторов в структурах региональных экономик по результатам использования модели является более широким.

Согласно данной модели были сформированы списки потенциально сильных секторов в регионах. В частности, для некоторых регионов, специализирующихся в сельском хозяйстве, требуется развитие сектора «Транспортировка и хранение», что дает возможность большего территориального охвата в снабжении производимой продукцией. Вследствие инфраструктурных проблем рекомендации для развития сельского хозяйства включают развитие сектора «Забор, очистка и распределение воды» (необходим для функционирования поливочных систем), сектора «Обеспечение электрической энергией, газом и паром; кондиционирование воздуха» (для развития тепличных комплексов, требующих больших энергозатрат при создании микроклимата). Кроме того, в некоторых регионах со специализацией в сельском хозяйстве недостаточно хорошо развиты сектора обрабатывающей промышленности для производимой сельхозпродукции. (Подробнее см. в Приложении, табл. П1: производство напитков (Владимирская, Псковская, Воронежская, Костромская области и др. регионы), переработка и консервирование мяса и мясной пищевой продукции (Оренбургская, Пензенская области и др.), производство пищевых продуктов (Тульская, Ярославская области), производство молочной продукции (Саратовская область, Республика Северная Осетия — Алания и др.)). Следует заметить, что развитие сельского хозяйства способствует формированию спроса на развитие сектора сельхозмашиностроения и других секторов, в том числе секторов, которые предлагают решения, способствующие автоматизации процессов на уровнях сельскохозяйственных работ и функционирования обрабатывающей промышленности. Сектора, связанные с сельским хозяйством, приведены здесь в качестве примера. Спектр выявленных потенциальных сильных секторов в структурах региональных экономик по результатам использования модели является более широким.

Согласно данной модели были сформированы списки потенциально сильных секторов в регионах. В частности, для некоторых регионов, специализирующихся в сельском хозяйстве, требуется развитие сектора «Транспортировка и хранение», что дает возможность большего территориального охвата в снабжении производимой продукцией. Вследствие инфраструктурных проблем рекомендации для развития сельского хозяйства включают развитие сектора «Забор, очистка и распределение воды» (необходим для функционирования поливочных систем), сектора «Обеспечение электрической энергией, газом и паром; кондиционирование воздуха» (для развития тепличных комплексов, требующих больших энергозатрат при создании микроклимата). Кроме того, в некоторых регионах со специализацией в сельском хозяйстве недостаточно хорошо развиты сектора обрабатывающей промышленности для производимой сельхозпродукции. (Подробнее см. в Приложении, табл. П1: производство напитков (Владимирская, Псковская, Воронежская, Костромская области и др. регионы), переработка и консервирование мяса и мясной пищевой продукции (Оренбургская, Пензенская области и др.), производство пищевых продуктов (Тульская, Ярославская области), производство молочной продукции (Саратовская область, Республика Северная Осетия — Алания и др.)). Следует заметить, что развитие сельского хозяйства способствует формированию спроса на развитие сектора сельхозмашиностроения и других секторов, в том числе секторов, которые предлагают решения, способствующие автоматизации процессов на уровнях сельскохозяйственных работ и функционирования обрабатывающей промышленности. Сектора, связанные с сельским хозяйством, приведены здесь в качестве примера. Спектр выявленных потенциальных сильных секторов в структурах региональных экономик по результатам использования модели является более широким.

103

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

104

Существуют две основные теории, описывающие механизм создания и распространения знаний: локализированная специализация и диверсификация экономики. Теория локализированной специализации впервые была подробно представлена в работе (Marshall, 1890). Она утверждает, что компании, находящиеся в окружении других представителей той же отрасли, будут расти быстрее в силу циркуляции знаний внутри отрасли. Эта теория была развита в работах (Arrow, 1962; Romer, 1986).

105

Противоположная теория и эмпирические оценки представлены в работах (Blien, Wolf, 2006; Fuchs, 2011; Illy, Schwartz et al., 2011). Согласно этой теории компании выигрывают от того, что сталкиваются с неоднородной средой, состоящей из различных отраслей, поскольку новые идеи приходят из внешней среды. Механизмы, с помощью которых разнообразие приводит к экономическому росту, обычно называют диверсификацией. Исследования по теориям локализации и диверсификации предполагают, что необходимо делать выбор в пользу либо одной, либо другой теории.

106

Полученные в данной статье результаты не противоречат предположению, что эффекты от локализации и диверсификации могут дополнять друг друга и не являются взаимоисключающими. Оценки вероятности возникновения в структуре региона конкретного сектора в качестве сильного указывают на то, что появление и развитие секторов в значительной степени обусловлено эволюцией прошлой экономической деятельности. Эти результаты согласуются с выводами в работе (Neffke, Henning, Boschma, 2011), где показано, что регионам легче разви вать новые отрасли промышленности, если они связаны с уже имеющимися в регионе.

107

Приложение

108

Таблица П1

109

Рекомендации модели, построенной по способу 1	Рекомендации модели, построенной по способу 2
Регион	Вероятность возникновения сектора в качестве сильного	Регион	Вероятность возникновения сектора в качестве сильного
Сектор: транспортировка и хранение	Сектор: транспортировка и хранение
Белгородская область	0,86	Белгородская область	0,89
Воронежская область	0,61	Воронежская область	0,63
Курская область	0,73	Курская область	0,57
Московская область	0,66	Московская область	0,67
г. Санкт-Петербург	0,95	г. Санкт-Петербург	0,92
Республика Адыгея	0,94	Республика Адыгея	0,91
Сектор: водоснабжение, водоотведение, организация сбора и утилизации отходов, деятельность и ликвидация загрязнений	Сектор: водоснабжение, водоотведение, организация сбора и утилизации отходов, деятельность и ликвидация загрязнений
Орловская область	0,97	Орловская область	0,91
Рязанская область	0,98	Рязанская область	0,94
Смоленская область	0,98	Смоленская область	0,93
Тамбовская область	0,78	Тамбовская область	0,57
Республика Карелия	0,67	Республика Карелия	0,54
Республика Калмыкия	0,67	Республика Калмыкия	0,75
Краснодарский край	0,61	Краснодарский край	0,77
Астраханская область	0,83	Астраханская область	0,90
Ростовская область	0,64	Ростовская область	0,67
Карачаево-Черкесская Республика	0,60	Кабардино-Балкарская Республика	0,65
Удмуртская Республика	0,75	Карачаево-Черкесская Республика	0,87
Челябинская область	0,62	Республика Марий Эл	0,64
Красноярский край	0,82	Республика Татарстан	0,65
Иркутская область	0,71	Удмуртская Республика	0,82
Кемеровская область	0,87	Ульяновская область	0,57
Приморский край	0,59	Свердловская область	0,63
Хабаровский край	0,74	Тюменская область	0,72
Амурская область	0,50	Челябинская область	0,88
Магаданская область	0,50	Республика Бурятия	0,64
Сектор: обеспечение электрической энергией, газом и паром; кондиционирование воздуха — всего	Алтайский край	0,57
	Красноярский край	0,89
Республика Алтай	0,52	Иркутская область	0,77
Сектор: производство напитков	Кемеровская область	0,89
Владимирская область	0,69	Приморский край	0,57
Воронежская область	0,94	Хабаровский край	0,69
Костромская область	0,83	Сектор: обеспечение электрической энергией, газом и паром; кондиционирование воздуха — всего
Калининградская область	0,99
Ленинградская область	0,99	Архангельская область	0,69
Мурманская область	0,99	Республика Калмыкия	0,81
Псковская область	0,64	Республика Татарстан	0,81
Краснодарский край	0,89	Новосибирская область	0,75
Астраханская область	0,62	Сектор: производство напитков
Республика Марий Эл	0,87	Владимирская область	0,70
Пермский край	0,61	Воронежская область	0,88
Свердловская область	0,69	Калининградская область	0,79
Тюменская область	0,92	Ленинградская область	0,90
Челябинская область	0,57	Мурманская область	0,89
Иркутская область	0,67	Псковская область	0,56
Томская область	0,75	Краснодарский край	0,88
Камчатский край	0,51	Республика Марий Эл	0,87
Амурская область	0,59	Пермский край	0,75
Магаданская область	0,68	Свердловская область	0,80
Сахалинская область	0,95	Тюменская область	0,87
Еврейская автономная область	0,93	Челябинская область	0,52
Сектор: переработка и консервирование мяса и мясной пищевой продукции	Иркутская область	0,64
	Томская область	0,72
Республика Карелия	0,54	Амурская область	0,51
Мурманская область	0,84	Еврейская автономная область	0,87
Республика Ингушетия	0,85	Сектор: переработка и консервирование мяса и мясной пищевой продукции
Кабардино-Балкарская Республика	0,80
Чеченская Республика	0,76	Мурманская область	0,88
Республика Башкортостан	0,52	Республика Ингушетия	0,90
Оренбургская область	0,60	Кабардино-Балкарская Республика	0,89
Пензенская область	0,88	Чеченская Республика	0,71
Забайкальский край	0,71	Республика Башкортостан	0,75
Томская область	0,64	Удмуртская Республика	0,53
Республика Саха (Якутия)	0,93	Оренбургская область	0,70
Амурская область	0,61	Пензенская область	0,86
Сахалинская область	0,55	Забайкальский край	0,72
Сектор: производство пищевых продуктов	Иркутская область	0,70
Тульская область	0,96	Республика Саха (Якутия)	0,93
Ярославская область	0,96	Амурская область	0,61
г. Москва	0,67	Сахалинская область	0,71
Республика Ингушетия	0,56	Сектор: производство пищевых продуктов
Омская область	0,52	Тульская область	0,95
Республика Саха (Якутия)	0,59	Ярославская область	0,95
Сектор: производство молочной продукции	г. Москва	0,62
Республика Коми	0,97	Сектор: производство молочной продукции
Республика Северная Осетия — Алания	0,78	Республика Северная Осетия — Алания	0,95
Чеченская Республика	0,92	Республика Коми	0,73
Самарская область	0,55	Чеченская Республика	0,92
Саратовская область	0,88	Саратовская область	0,91
Забайкальский край	0,51	Забайкальский край	0,62
Красноярский край	0,56	Красноярский край	0,54
Иркутская область	0,64	Иркутская область	0,66
Приморский край	0,91	Приморский край	0,92
Хабаровский край	0,87	Хабаровский край	0,84

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Рекомендации модели, построенной по способу 1</td><td class="docx-publication-cell"> Рекомендации модели, построенной по способу 2</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Регион</td><td class="docx-publication-cell"> Вероятность возникновения сектора в качестве сильного</td><td class="docx-publication-cell"> Регион</td><td class="docx-publication-cell"> Вероятность возникновения сектора в качестве сильного</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Сектор: транспортировка и хранение</td><td class="docx-publication-cell"> Сектор: транспортировка и хранение</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Белгородская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,86</td><td class="docx-publication-cell"> Белгородская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,89</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Воронежская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,61</td><td class="docx-publication-cell"> Воронежская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,63</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Курская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,73</td><td class="docx-publication-cell"> Курская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,57</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Московская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,66</td><td class="docx-publication-cell"> Московская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,67</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> г. Санкт-Петербург</td><td class="docx-publication-cell"> 0,95</td><td class="docx-publication-cell"> г. Санкт-Петербург</td><td class="docx-publication-cell"> 0,92</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Адыгея</td><td class="docx-publication-cell"> 0,94</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Адыгея</td><td class="docx-publication-cell"> 0,91</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Сектор: водоснабжение, водоотведение, организация сбора и утилизации отходов, деятельность и ликвидация загрязнений</td><td class="docx-publication-cell"> Сектор: водоснабжение, водоотведение, организация сбора и утилизации отходов, деятельность и ликвидация загрязнений</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Орловская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,97</td><td class="docx-publication-cell"> Орловская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,91</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Рязанская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,98</td><td class="docx-publication-cell"> Рязанская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,94</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Смоленская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,98</td><td class="docx-publication-cell"> Смоленская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,93</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Тамбовская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,78</td><td class="docx-publication-cell"> Тамбовская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,57</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Карелия</td><td class="docx-publication-cell"> 0,67</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Карелия</td><td class="docx-publication-cell"> 0,54</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Калмыкия</td><td class="docx-publication-cell"> 0,67</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Калмыкия</td><td class="docx-publication-cell"> 0,75</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Краснодарский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,61</td><td class="docx-publication-cell"> Краснодарский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,77</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Астраханская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,83</td><td class="docx-publication-cell"> Астраханская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,90</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Ростовская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,64</td><td class="docx-publication-cell"> Ростовская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,67</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Карачаево-Черкесская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,60</td><td class="docx-publication-cell"> Кабардино-Балкарская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,65</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Удмуртская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,75</td><td class="docx-publication-cell"> Карачаево-Черкесская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,87</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Челябинская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,62</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Марий Эл</td><td class="docx-publication-cell"> 0,64</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Красноярский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,82</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Татарстан</td><td class="docx-publication-cell"> 0,65</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Иркутская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,71</td><td class="docx-publication-cell"> Удмуртская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,82</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Кемеровская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,87</td><td class="docx-publication-cell"> Ульяновская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,57</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Приморский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,59</td><td class="docx-publication-cell"> Свердловская область </td><td class="docx-publication-cell"> 0,63</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Хабаровский край </td><td class="docx-publication-cell"> 0,74</td><td class="docx-publication-cell"> Тюменская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,72</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Амурская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,50</td><td class="docx-publication-cell"> Челябинская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,88</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Магаданская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,50</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Бурятия</td><td class="docx-publication-cell"> 0,64</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Сектор: обеспечение электрической энергией, газом и паром; кондиционирование воздуха — всего</td><td class="docx-publication-cell"> Алтайский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,57</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Красноярский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,89</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Алтай</td><td class="docx-publication-cell"> 0,52</td><td class="docx-publication-cell"> Иркутская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,77</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Сектор: производство напитков</td><td class="docx-publication-cell"> Кемеровская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,89</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Владимирская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,69</td><td class="docx-publication-cell"> Приморский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,57</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Воронежская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,94</td><td class="docx-publication-cell"> Хабаровский край </td><td class="docx-publication-cell"> 0,69</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Костромская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,83</td><td class="docx-publication-cell"> Сектор: обеспечение электрической энергией, газом и паром; кондиционирование воздуха — всего</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Калининградская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,99</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Ленинградская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,99</td><td class="docx-publication-cell"> Архангельская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,69</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Мурманская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,99</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Калмыкия</td><td class="docx-publication-cell"> 0,81</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Псковская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,64</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Татарстан</td><td class="docx-publication-cell"> 0,81</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Краснодарский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,89</td><td class="docx-publication-cell"> Новосибирская область </td><td class="docx-publication-cell"> 0,75</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Астраханская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,62</td><td class="docx-publication-cell"> Сектор: производство напитков</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Марий Эл</td><td class="docx-publication-cell"> 0,87</td><td class="docx-publication-cell"> Владимирская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,70</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Пермский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,61</td><td class="docx-publication-cell"> Воронежская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,88</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Свердловская область </td><td class="docx-publication-cell"> 0,69</td><td class="docx-publication-cell"> Калининградская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,79</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Тюменская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,92</td><td class="docx-publication-cell"> Ленинградская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,90</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Челябинская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,57</td><td class="docx-publication-cell"> Мурманская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,89</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Иркутская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,67</td><td class="docx-publication-cell"> Псковская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,56</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Томская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,75</td><td class="docx-publication-cell"> Краснодарский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,88</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Камчатский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,51</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Марий Эл</td><td class="docx-publication-cell"> 0,87</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Амурская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,59</td><td class="docx-publication-cell"> Пермский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,75</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Магаданская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,68</td><td class="docx-publication-cell"> Свердловская область </td><td class="docx-publication-cell"> 0,80</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Сахалинская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,95</td><td class="docx-publication-cell"> Тюменская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,87</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Еврейская автономная область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,93</td><td class="docx-publication-cell"> Челябинская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,52</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Сектор: переработка и консервирование мяса и мясной пищевой продукции</td><td class="docx-publication-cell"> Иркутская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,64</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Томская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,72</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Карелия</td><td class="docx-publication-cell"> 0,54</td><td class="docx-publication-cell"> Амурская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,51</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Мурманская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,84</td><td class="docx-publication-cell"> Еврейская автономная область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,87</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Ингушетия</td><td class="docx-publication-cell"> 0,85</td><td class="docx-publication-cell"> Сектор: переработка и консервирование мяса и мясной пищевой продукции</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Кабардино-Балкарская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,80</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Чеченская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,76</td><td class="docx-publication-cell"> Мурманская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,88</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Башкортостан</td><td class="docx-publication-cell"> 0,52</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Ингушетия</td><td class="docx-publication-cell"> 0,90</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Оренбургская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,60</td><td class="docx-publication-cell"> Кабардино-Балкарская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,89</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Пензенская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,88</td><td class="docx-publication-cell"> Чеченская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,71</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Забайкальский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,71</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Башкортостан</td><td class="docx-publication-cell"> 0,75</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Томская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,64</td><td class="docx-publication-cell"> Удмуртская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,53</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Саха (Якутия)</td><td class="docx-publication-cell"> 0,93</td><td class="docx-publication-cell"> Оренбургская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,70</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Амурская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,61</td><td class="docx-publication-cell"> Пензенская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,86</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Сахалинская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,55</td><td class="docx-publication-cell"> Забайкальский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,72</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Сектор: производство пищевых продуктов</td><td class="docx-publication-cell"> Иркутская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,70</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Тульская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,96</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Саха (Якутия)</td><td class="docx-publication-cell"> 0,93</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Ярославская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,96</td><td class="docx-publication-cell"> Амурская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,61</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> г. Москва</td><td class="docx-publication-cell"> 0,67</td><td class="docx-publication-cell"> Сахалинская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,71</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Ингушетия</td><td class="docx-publication-cell"> 0,56</td><td class="docx-publication-cell"> Сектор: производство пищевых продуктов</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Омская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,52</td><td class="docx-publication-cell"> Тульская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,95</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Саха (Якутия)</td><td class="docx-publication-cell"> 0,59</td><td class="docx-publication-cell"> Ярославская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,95</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Сектор: производство молочной продукции</td><td class="docx-publication-cell"> г. Москва</td><td class="docx-publication-cell"> 0,62</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Коми</td><td class="docx-publication-cell"> 0,97</td><td class="docx-publication-cell"> Сектор: производство молочной продукции</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Республика Северная Осетия — Алания</td><td class="docx-publication-cell"> 0,78</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Северная Осетия — Алания</td><td class="docx-publication-cell"> 0,95</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Чеченская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,92</td><td class="docx-publication-cell"> Республика Коми</td><td class="docx-publication-cell"> 0,73</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Самарская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,55</td><td class="docx-publication-cell"> Чеченская Республика</td><td class="docx-publication-cell"> 0,92</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Саратовская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,88</td><td class="docx-publication-cell"> Саратовская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,91</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Забайкальский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,51</td><td class="docx-publication-cell"> Забайкальский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,62</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Красноярский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,56</td><td class="docx-publication-cell"> Красноярский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,54</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Иркутская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,64</td><td class="docx-publication-cell"> Иркутская область</td><td class="docx-publication-cell"> 0,66</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Приморский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,91</td><td class="docx-publication-cell"> Приморский край</td><td class="docx-publication-cell"> 0,92</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Хабаровский край </td><td class="docx-publication-cell"> 0,87</td><td class="docx-publication-cell"> Хабаровский край </td><td class="docx-publication-cell"> 0,84</td></tr></table>

GOST	Afanasiev M., Kudrov A. Economic complexity and embedding of regional economies’ structures // Economics and the Mathematical Methods. – 2021. – V. 57. – Issue 3 C. 67-78 . URL: https://emmras.ru/ekonomicheskaya-slozhnost-i-vlozhennost-struktur-regionalnyh-ekonomik/?version_id=90380. DOI: 10.31857/S042473880016410-0
MLA	Afanasiev, Mikhail, Kudrov, Alexander "Economic complexity and embedding of regional economies’ structures." Economics and the Mathematical Methods. 57.3 (2021).:67-78. DOI: 10.31857/S042473880016410-0
APA	Afanasiev M., Kudrov A. (2021). Economic complexity and embedding of regional economies’ structures. Economics and the Mathematical Methods. vol. 57, no. 3, pp.67-78 DOI: 10.31857/S042473880016410-0

1. ВВЕДЕНИЕ

2. МЕТОДОЛОГИЯ

3. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СЛОЖНОСТЬ

4. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

References

Comments

1. ВВЕДЕНИЕ

2. МЕТОДОЛОГИЯ

3. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СЛОЖНОСТЬ

4. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

References

Comments

Via social network