Везде
Гарантированный детерминистский подход к маржированию на срочном рынке
Оглавление
Аннотация Оценить Содержание публикации
Библиография Комментарии
Поделиться
QR
Метрика
Гарантированный детерминистский подход к маржированию на срочном рынке
Аннотация
Код статьи
S042473880014918-8-1
DOI
10.31857/S042473880014918-8
Тип публикации
Статья
Статус публикации
Опубликовано
Авторы
Смирнов Сергей Николаевич 
Аффилиация: Факультет ВМК МГУ
Адрес: Москва, Российская Федерация
Полиматиди Илья Валерьевич
Аффилиация: АО ЮниКредит Банк, Москва
Адрес: Российская Федерация
Выпуск
Том 57 Номер 2
Страницы
96-105
Аннотация

В статье обсуждается современный подход к риск-менеджменту центрального контрагента, в первую очередь вопрос о достаточности его финансовых ресурсов, включая обеспечение участников клиринга, капитал центрального контрагента и фонд солидарной ответственности. Особое внимание уделено системе маржирования, отвечающей за адекватный уровень обеспечения участников клиринга и играющей важную роль в риск-менеджменте. Критически анализируется регулирование, принятое в настоящее время в международной практике. Описывается система маржирования портфеля из опционов и фьючерсов на срочном рынке, с дефолт-менеджментом, основанным на методологии, предложенной рядом авторов изобретения, зарегистрированного в 2004 г. Для этой системы строится математическая модель маржирования, т.е. определения требуемого уровня депозитной маржи (гарантийного обеспечения). Основная идея состоит в том, что измерение риска портфеля для целей маржирования должно учитывать метод дефолт-менеджмента, а вместо простейшей процедуры, состоящей в ликвидации позиций дефолтера, центральному контрагенту целесообразно использовать управление портфелем дефолтера. Новизна данной статьи заключается в использовании идеологии гарантированного детерминистского подхода к суперхеджированию, предложенного одним автором в ряде публикаций и основанного на теоретико-игровой интерпретации. Из экономического смысла задачи непосредственно выводятся уравнения Беллмана–Айзекса для требуемого уровня маржи. Изучаются свойства этих уравнений, в частности доказано свойство субаддитивности маржи портфеля — важное с экономической точки зрения требование к системе маржирования. Полученные уравнения приведены к форме, удобной для вычислений, они позволяют проводить численные эксперименты. Соответствующие результаты анализа работоспособности системы маржирования будут представлены в последующей публикации.

Ключевые слова
центральный контрагент, клиринг, дефолт-менеджмент, капитал, маржирование, опцион, фьючерс, уравнения Беллмана–Айзекса, субаддитивность обеспечения портфеля.
Источник финансирования
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта 19-01-00613а.
Классификатор
Получено
08.06.2021
Дата публикации
25.06.2021
Всего подписок
18
Всего просмотров
1326
Оценка читателей
0.0 (0 голосов)
Цитировать   Скачать pdf
1

Введение
2 После глобального финансового кризиса, начавшегося в 2007 г., сформировалась международная тенденция, заключающаяся в повышения роли клиринга через центрального контрагента (central counterparty, CCP) — унифицированного финансового института, замещающего стороны сделки, с целью снижения риска неисполнения участниками торгов своих обязательств. Подробно тематика клиринга изложена в книге (Майоров, 2015).
3 Клиринговая организация должна рассчитывать требования к депозитной марже1 членов биржи, т.е. уровень средств, который необходимо поддерживать на клиринговом счете для обеспечения обязательств по портфелю участника биржи. Обеспечение может быть внесено как в денежной форме, так и в виде ценных бумаг и других высоколиквидных активов, связанных с соответствующими инструментами. Клиринговая организация осуществляет контроль над соблюдением требований по депозитной марже. При этом клиринговая организация может изменять требования по депозитной марже в течение срока действия контракта, но член биржи — участник торгов – обязан поддерживать количество средств на своем клиринговом счете на требуемом уровне. В случае если участник торгов не удовлетворяет требованиям по депозитной марже, клиринговая организация производит урегулирование ситуации с дефицитом маржи. В мировой практике общепринятым способом урегулирования является ликвидация (полная или частичная) портфеля участника, не удовлетворяющего требованиям по депозитной марже (дефолтера), по текущим рыночным ценам. В особых случаях при недостаточной ликвидности рынка (в частности, при крупных позициях дефолтера) может проводиться аукцион. Однако, по нашему мнению, дизайн аукциона должен быть тщательно продуман и подробно описан в правилах клиринга. При этом возникающие убытки портфеля дефолтера должны в первую очередь покрываться за счет обеспечения (депозитной маржи), внесенного данным участником, — это первый эшелон защиты центрального контрагента. Если этих средств окажется недостаточно, то используют его взнос в фонд солидарной ответственности членов клиринга. Если этого также недостаточно, то используют фонд, формируемый из капитала (собственных средств) центрального контрагента, — это второй эшелон защиты. А если и этого окажется недостаточно, то убытки погашаются за счет фонда солидарной ответственности участников клиринга (в этом случае участникам клиринга предлагают впоследствии пополнить этот фонд). Таким образом, создается несколько эшелонов защиты контрагента, совокупность которых на английском языке принято называть “default waterfall”. На русском языке терминология еще не сформировалась, поэтому мы будем использовать термин «дефолтное эшелонирование». Капитал центрального контрагента, используемый на покрытие убытков, так называемый “skin-in-the-game”2, и фонд солидарной ответственности участников клиринга играют дополняющую роль к депозитной марже участников клиринга. Центральное место в дискуссии о достаточности финансовых ресурсов центрального контрагента, активно ведущейся в настоящее время, занимает вопрос о стимулах, создаваемых структурой дефолтного эшелонирования (см. (Cont, 2015, Capponi, Cheng, Sethuraman, 2017)).
1. Терминология, использовавшаяся на Московской межбанковской валютной бирже (ММВБ). На Московской бирже, образованной в 2011 г. в результате слияния бирж ММВБ и РТС, принят термин «гарантийное обеспечение», использовавшийся на срочном рынке РТС.

2. Афоризм на английском языке (дословный перевод — «шкура в игре»), распространен в бизнесе, финансах и азартных играх, а также в политике. В данном контексте — часть капитала центрального контрагента, которая может быть использована для покрытия убытков в случае дефолта участников рынка. В терминологии, принятой на Московской бирже, это выделенный капитал центрального контрагента.
4 Маржирование не только выступает в роли авангарда в дефолтном эшелонировании, но и, являясь наиболее чувствительным к риску эшелоном защиты, играет критическую роль в риск-менеджменте центрального контрагента. Поэтому регуляторы особое внимание уделяют проблеме маржирования. Исторически первый документ, Report on margin (IOSCO, 1996), определявший международные принципы регулирования, был разработан IOSCO еще в 1996 г. Регулирование центральных контрагентов с упором на практику управления рисками было кардинально усовершенствовано после мирового финансового кризиса. Это отражено в документе «Принципы инфраструктуры финансового рынка» (CPSS, IOSCO, 2012), имеющем характер глобального руководства для национальных регуляторов; в Европейском союзе роль такого регулирования играет EMIR3. В частности, EMIR требует, чтобы степень покрытия депозитной маржей была «достаточной для покрытия экспозиции к риску, которая, по оценкам центрального контрагента, может возникать вплоть до ликвидации4 соответствующих позиций»5. Мы же считаем более корректно использовать расширенное толкование критерия качества системы портфельного маржирования из Принципа 6 в «Принципах инфраструктуры финансового рынка». Незначительно перефразируя6, можно сформулировать это следующим образом: требуемый уровень депозитной маржи должен корректно и адекватно отражать риск портфеля участника клиринга, а именно обеспечивать заданную степень7 покрытия потерь, которые могут возникнуть в результате закрытия всех позиций в портфеле. Особо отметим, что закрытие позиций может происходить по определенной центральным контрагентом процедуре дефолт-менеджмента, отличной от простой ликвидации. Подробно современные требования к системе риск-менеджмента центрального контрагента изложены в (CPMI-IOSCO, 2017), а также в документе (ISDA, 2019), касающемся наилучших практик центрального контрагента.
3. The European Market Infrastructure Regulation. Действует с 2012 г.

4. Курсив наш.

5. The EMIR RTS No. 153/2013.

6. В оригинале: “...initial margin models and parameters that are risk-based and generate margin requirements sufficient to cover its potential future exposure to participants in the interval between the last margin collection and the close out of positions following a participant default”.

7. К сожалению, заданная степень, как правило, воспринимается буквально, т.е. как (статистический) доверительный уровень.
5 В данной статье нас будут интересовать системы портфельного маржирования для торговли биржевыми производными финансовыми инструментами, фьючерсами и опционами. Наиболее популярной из систем портфельного маржирования, которые используются в мировой практике, является система SPAN8, разработанная еще в 1988 г. на Чикагской товарной бирже (CME). В настоящее время ею пользуются более чем в 50 биржевых и клиринговых организациях по всему миру9. Подробное изложение особенностей построения системы SPAN можно найти в (Долматов, 2007). С нашей точки зрения, на сегодняшний день наиболее продвинутой является система CORE, разработанная на бразильской бирже BM&FBovespa. Система CORE обобщает классический метод стресс-сценариев SPAN путем явного включения рыночной ликвидности финансовых инструментов посредством моделирования профиля ликвидности инструментов и механизма ликвидации на аукционе. Главным компонентом методологии CORE является определение стратегии закрытия позиций для портфеля дефолтера, ликвидации или урегулирования портфеля — от, возможно, простейшей стратегии закрытия — скорейшей ликвидации всех позиций портфеля (что можно назвать наивной стратегией) — до более сложного формата, основанного на определенных правилах. Идеология системы описана в (Avellaneda, Cont, 2013), ее технические аспекты — в (Vicente, 2012); см. также изобретение (Vicente et al., 2015), оно касается процесса оценки риска при закрытии позиций портфеля.
8. Standard Portfolio. Analysis of risk.

9. CME Group разработала следующее поколение системы маржирования — CME SPAN 2, внедрение которой началось в 2020 г. Ожидается, что полное развертывание продлится до четырех лет, в течение которых SPAN и SPAN 2 будут параллельно доступны для конечных пользователей. Методология системы не раскрывается.
6 При разработке нами нового подхода к организации торгов срочными инструментами — фьючерсами и опционами на основе правил клиринга с оригинальной процедурой урегулирования ситуации с дефицитом маржи и системой портфельного маржирования – была использована идея детерминистского гарантированного оценивания опционов. Соответствующий способ моделирования неопределенности движения цен был опубликован значительно позже, в статье (Смирнов, 2018; Smirnov, 2021). Близкие идеи стали активно развиваться лет через 10–15 в работах ряда авторов в виде направления интервального оценивания (см. (Bernhard et al., 2013)) и модного сейчас направления робастного суперхеджирования (см., например, (Burzoni et al., 2019; Carassus, Oblόj, Wiesel, 2019)), что стало признаваться альтернативой традиционному вероятностному подходу (современное изложение которого можно найти в книге (Föllmer, Schied, 2016)).
7 Разработанная нами методика10 прошла апробацию в 2002 г. в департаменте риск-менеджмента Чикагской товарной биржи (CME), а в 2004 г. был получен патент РФ на изобретение (Смирнов и др., 2004). Наш подход совместим с методологией CORE — достаточно прочитать Abstract на первой странице изобретения (Vicente et al., 2015), чтобы увидеть сходство идеологии изобретений (Vicente et al., 2015; Смирнов и др., 2004). Можно сделать вывод, что изобретение (Смирнов и др., 2004) опередило время лет на десять — в финансовой индустрии стали внимательно относиться к качеству математических моделей только после (и вследствие) глобального финансового кризиса. Изобретение (Смирнов и др., 2004) – конкретнее и детальнее по сравнению с (Vicente et al., 2015), поскольку относится к более узкой предметной области (срочный рынок).
10. Изначально методика создавалась в начале 2000-х годов с целью внедрения на фондовой бирже «Российская торговая система» — РТС, но в связи с уходом президента биржи И.А. Тырышкина в феврале 2003 г. проект не был реализован.
8

1. Описание системы маржирования, основанной на детерминистском гарантированном подходе
9 Предлагаемая в (Смирнов и др., 2004) методика организации биржевых торгов производными финансовыми инструментами с оригинальной системой портфельного маржирования и процедурой урегулирования разработана с целью обеспечения устойчивой работы не только в случае нормального, но и низколиквидного рынка. Один из простейших вариантов реализации системы основан на урегулировании ситуации при дефиците маржи путем управления портфелем ассигнора11 при помощи фьючерсных сделок, оставляя опционные позиции неизменными. Таким образом, достигается устойчивость работы системы в условиях низкой ликвидности рынка, поскольку опционы обладают значительно меньшей ликвидностью по сравнению с фьючерсами.
11. Данный термин является введенным нами неологизмом (от англ. assignor).
10 Система предназначена для электронной формы организации биржевых торгов. Каждая новая заявка участника торгов проверяется в режиме реального времени на допустимость12: это означает, что с учетом всех активных заявок и текущего портфеля участника торгов исполнение какой-либо части заявок не может привести к возникновению дефицита маржи. Тем самым гарантируется, что дефицит маржи не может возникнуть между клиринговыми сессиями. Перестройка портфеля, связанная с исполнением заявки, приводит к перерасчету требований к депозитной марже и, возможно, к изменению количества средств на клиринговом счете. По окончанию торговой сессии проводится клиринговая сессия, по итогам которой определяется расчетная цена (цена закрытия) основы13, эта цена используется для определения новых требований по депозитной марже. Во время клиринговой сессии могут быть изменены параметры системы, такие как, например, дневные лимиты изменения фьючерсной цены, которые также влияют на требования по депозитной марже участников рынка.
12. В таком режиме в настоящее время работает торговая система на срочном рынке Московской биржи.

13. На английском языке underlying — базовый актив, или ценовой индекс.
11 Дефицит маржи определяется у участников торгов по результатам клиринговой сессии и подлежит урегулированию, начиная со следующего торгового дня. Предлагаемая процедура урегулирования ситуации дефицита маржи у участника торгов — если участник не смог самостоятельно урегулировать ситуацию путем перестройки портфеля или внесения необходимых средств на клиринговый счет в установленный правилами биржи срок (обычно несколько часов после открытия торгов) — использует переход права на управление портфелем, состоящим из фьючерсов и опционов, к клиринговой организации. При этом управление портфелем заключается в проведении понижающих риск портфеля корректирующих операций с фьючерсами от имени и по поручению участника рынка по алгоритму, заранее и полностью описанному в правилах клиринга центрального контрагента. Ситуация с дефицитом маржи ассигнора может быть урегулирована в результате:
12
  1. исполнения контрактов (возможно, с использованием средств резервного или гарантийного фонда);
  2. полного закрытия позиций участника (возможно, с использованием капитала центрального контрагента и средств фонда солидарной ответственности членов клиринга);
  3. частичного закрытия позиций участника, приводящего к устранению дефицита маржи;
  4. устранения дефицита маржи в результате управления центральным контрагентом портфелем ассигнора или изменения параметров торговой системы, например дневных лимитов изменения цены;
  5. внесения участником необходимых средств на клиринговый счет.
13 В случаях 3, 4 и 5 участнику клиринга, имевшего статус ассигнора, возвращается право на проведение операций со своим портфелем, начиная со следующего торгового дня.
14 Уровень депозитной маржи определяется исходя из оптимального управления портфелем ассигнора при помощи фьючерсной коррекции (заключения центральным контрагентом фьючерсных контрактов от имени и по поручению ассигнора) без изменения его опционных позиций14. Это — одно из существенных отличий от систем типа SPAN, поведение которых можно назвать близоруким, поскольку там учитываются сценарии поведения рынка только на день вперед. Предлагаемая процедура урегулирования ситуации с дефицитом маржи, в отличие от общепринятого способа управления, заключающегося в полной или частичной ликвидации портфеля, приводит к более щадящему, с точки зрения участников рынка, способу — к сохранению опционных позиций и поддержанию сбалансированных портфелей с точки зрения их риска. Для того чтобы осуществить корректирующее управление портфелем ассигнора, необходимо рассчитать число длинных или коротких фьючерсных позиций, которые необходимо открыть за торговый день. При этом заключение этих контрактов целесообразно производить постепенно, небольшими порциями, чтобы минимизировать влияние на формирование рыночных цен.
14. Пример формализации задачи для случая европейских опционов приведен в следующем разделе.
15 Для обеспечения системной устойчивости рынка способ определения уровня депозитной маржи должен удовлетворять принципу децентрализации, что означает выполнение свойства субаддитивности требуемого обеспечения для портфелей из опционов и фьючерсов, а это обеспечивает конструкция предлагаемой системы. При этом к брокерам должно применяться правило, обязывающее их требовать от своих клиентов депозитной маржи в размере не ниже уровня, устанавливаемого системой маржирования клиринговой организации (обычно такое правило устанавливает регулятор рынка15). Члены клиринга, которые имеют клиентов, т.е. выполняют брокерские функции, в случае возникновения дефицита маржи у клиента, когда клиент не урегулирует данную ситуацию в течение времени, отведенного правилами клиринга, обязаны открыть клиенту ассигнорский торговый счет и ассигнорский клиринговый счет, на которые переводятся соответственно его позиции и его средства. Для каждого такого клиента открываются отдельные счета, т.е. соблюдается принцип сегрегации счетов с целью защиты клиентских средств. Далее центральный контрагент производит с этими клиентскими счетами такие же действия, как и со счетами ассигнора, являющегося членом клиринга.
15. См., например, (IOSCO, 1996).
16 При наличии лимитов изменения базового актива возможен гарантированный (безрисковый) вариант системы, который обеспечивает покрытие обязательств участников рынка при всех сценариях поведения рынка, включая полную потерю ликвидности. Разумеется, это подразумевает высокий уровень депозитной маржи, возможно, неприемлемый для участников клиринга. A это означает полное отсутствие рыночных и кредитных рисков для центрального контрагента и участников рынка16. При такой конструкции капитал центрального контрагента и фонд солидарной ответственности членов клиринга покрывают лишь операционный риск.
16. Отметим, что исторически система, действовавшая с ноября 2000 г. на Московской межбанковской валютной бирже (ММВБ), являлась гарантированной, однако обеспечивала торговлю только фьючерсами.
17 Другой вариант предлагаемой системы отвечает случаю, когда центральный контрагент принимает часть рисков на себя. При дефолте участника клиринга покрытие его обязательств может производиться с частичным использованием капитала центрального контрагента и фонда солидарной ответственности членов клиринга. Достоинство предлагаемой в (Смирнов и др., 2004) системы состоит в том, что сценарии неполного покрытия могут быть описаны конструктивно, т.е. центральный контрагент имеет возможность осознанно принимать риски, а также регулировать их путем изменения параметров системы.
18 В зависимости от выбора конкретных спецификаций опционов (американского или европейского типа, расчетные или поставочные, традиционное маржирование опционов или фьючерсный стиль маржирования опционов), а также в зависимости от наличия или отсутствия лимитов на дневное изменение фьючерсных цен возможны различные варианты реализации системы.
19 Хеджирующая (корректирующая) стратегия системы маржирования в (Смирнов и др., 2004) может быть встроена в стандартную процедуру клиринга различными способами. Так, например, для одного такого типа встраивания предлагается выделение этапа корректирующего управления портфелем участника в течение заранее заданного срока, если сам участник не смог вовремя урегулировать ситуацию дефицита маржи. Если в течение этого срока корректирующее управление позволило устранить дефицит, а срок исполнения еще не наступил, портфель возвращается участнику. В противном случае участник меняет статус с ассигнора на дефолтера, а портфель безвозвратно переходит к клиринговой организации. Клиринговая организация проводит процедуру финализации17, которая отличается от корректирующего управления тем, что хеджирование производится всеми имеющимися на рынке средствами (в том числе путем проведения сделок с опционами, снижающими риск портфеля) с целью минимизировать функцию выплат портфеля в течение всего срока, оставшегося до исполнения или полного закрытия позиций портфеля. В случае корректирующего управления используются наиболее ликвидные инструменты — фьючерсы, а целью является устранение дефицита маржи. Процедуру можно упростить, оставив только финализацию, т.е. если участник не смог устранить дефицит самостоятельно в отведенный срок, он сразу становится дефолтером.
17. Терминология наша.
20

2. Маржирование на основе математической модели финансового рынка с детерминистской эволюцией цен
21 Предположим, что клиринговая сессия производится один раз в день18 и в системе маржирования предписано проведение фьючерсных корректирующих сделок один раз в каждый торговый день, вплоть до экспирации, одинаковой для всех финансовых инструментов в портфеле, а срок корректирующего управления равен числу дней до экспирации.
18. На самом деле клиринговая сессия может проводиться несколько раз в день, и это особенно оправдано в случае высокой волатильности рынка.
22 Опишем метод расчета маржи на примере рынка европейских опционов на фьючерсы (европейский опцион характеризуется тем, что объем выплат определяется на основе цены закрытия дня исполнения данной серии опционов). На движение фьючерсных цен в модели наложены ограничения: изменение цены внутри дня не должно выводить цену за пределы коридора — интервала I(x)=[x-Δd,x+Δu] , где x — цена закрытия предыдущего торгового дня; Δd>0 и Δu>0 — нижний и верхний лимиты изменения цен фьючерсной цены соответственно. Размеры этих лимитов являются параметрами системы, они, в частности, могут зависеть от конкретного инструмента и от предыстории цен. Как правило, лимиты изменения фьючерсной цены устанавливаются в виде определенного процента от цены закрытия предыдущего торгового дня. Предположим в нашей модели, что фьючерсные цены положительные, Δd=αx, а Δu=βx , где 0<α<1 и 0<β<1 (на практике α и β бывают порядка нескольких процентов, причем, поскольку опасения падения цен обычно сильнее опасений их роста, разумно выбирать α…β ). Случаи потери ликвидности фьючерсного рынка следует относить к крайне маловероятным и экстремальным, так что для покрытия убытков, если они возникают, разумно использовать средства дефолтного эшелонирования, начиная с капитала центрального контрагента. При условии ликвидности фьючерсного рынка строится гарантированная система маржирования, при которой взимаемая с участника клиринга маржа гарантированно покрывает возможные потери центрального контрагента при неисполнении этим участником своих обязательств. Это достигается за счет исполнения центральным контрагентом предписанной процедуры урегулирования ситуации с дефицитом маржи и непосредственной связи требуемого уровня депозитной маржи с этой процедурой.
23 Предположим, что корректирующая фьючерсная сделка, производящаяся один раз в день, происходит по цене, входящей в интервал I(x). Однако точное значение этой цены заранее неизвестно, так что в модели возникают косвенные транзакционные издержки, описывающие наиболее неблагоприятный сценарий при совершении этой сделки. С учетом этого обстоятельства введем целевую функцию Vt(x, k) — неотрицательное количество денежных средств на счете в момент времени t, необходимых для покрытия потенциальных потерь портфеля участника, для которого будут проводиться корректирующие сделки раз в день вплоть до исполнения. Отметим, что целевая функция зависит не только от цены x, но и от числа фьючерсов19 k в корректируемом портфеле по итогам закрытия предыдущего торгового дня.
19. Поскольку от числа корректирующих фьючерсов в портфеле зависят косвенные транзакционные издержки.
24 Рыночный риск портфеля из опционов европейского типа и фьючерсов определяется функцией выплат по портфелю f(x) — размером средств, который получает (в случае положительного значения) или выплачивает (в случае отрицательного значения) владелец данного портфеля (в предположении его неизменности) в момент исполнения через срок T, в зависимости от цены закрытия x основы (фьючерсной цены) в этот момент. Предполагается, что эта функция удовлетворяет условию Липшица20.
20. Что на самом деле вполне естественно, так как в случае комбинации опционов call и put (с одним сроком экспирации и разными ценами исполнения) функция будет кусочно-линейной с конечным числом интервалов линейности.
25 В терминальный момент должно выполняться VT(x,k)≥-f(x) , так что положим
26 VT(x,k)=(-f(x))+=(f(x))-; (1)
27 здесь и далее используются a+=max(0,a) и a-=max(0,-a) , для a∈R .
28 Для получения рекуррентных соотношений для целевой функции предположим, что на шаге t<T после клиринговой сессии на счете имеется (неотрицательная) сумма и открыта позиция в размере k фьючерсов (а это — отрицательное число для коротких позиций и положительное — для длинных). Если корректирующая фьючерсная сделка покупки/продажи фьючерсов происходит по цене y, входящей в интервал — I(x), а цена закрытия следующего дня (t+1) также входит в интервал I(x) и равна z, то вариационная маржа составит величину k(z-x)+m(z-y) . Для покрытия потерь в терминальный момент необходимо, чтобы v+k(z-x)+m(z-y)≥Vt+1(z,k+m) для любых y∈I(x) и z∈I(x) . При этом m, объем сделки (со знаком), можно выбрать оптимальным образом, так что
29 Vt(x,k)=minm∈Zmaxz∈I(x)maxy∈I(x)[Vt+1(z,k+m)+kx-(k+m)z  +my]+; (2)
30 здесь и далее Z обозначает множество всех целых чисел. Нетрудно упростить формулу (2), явно находя максимум по y выражения my, который равен
31 maxy∈I(x)  my=mx+(m-Δd+m+Δu)=mx+(αm-+βm+)x=mx+c(x,m). (3)
32 C экономической точки зрения неотрицательная величина
33 cx,m=m-Δd+m+Δu=αm-+βm+x
34 представляет собой косвенные транзакционные издержки21, максимально возможные за торговый день при сделанных предположениях относительно эволюции фьючерсной цены. Используя (3), рекуррентные соотношения для целевой функции приобретают вид следующих уравнений Беллмана–Айзекса22:
21. Более реалистичная модель определяла бы косвенные транзакционные издержки на основе книги заявок.

22. Использование максимума, а не точной верхней грани, оправдано благодаря предположению о липшицевости функции f, так как в этом случае функции x→Vt(x,k) также удовлетворяют условию Липшица; оценки констант Липшица для целевой функции получаются методом, сходным с опубликованным в статье (Smirnov, 2019), и будут приведены в последующей публикации.
35 Vt(x,k)=minm∈Zmaxz∈I(x)[Vt+1(z,k+m)-(k+m)(z-x)+c(x,m)]+,    t=T-1,…,0. (4)
36 В действительности нет необходимости брать положительную часть от квадратных скобок в (4), т.е. для целевой функции имеют место уравнения
37 VT(x,k)=(f(x))-,Vt(x,k)=minm∈Zmaxz∈I(x)[Vt+1(z,k+m)-(k+m)(z-x)+c(x,m)],    t=T-1,…,0. (5)
38 В самом деле, VT(x,k)=(f(x))-≥0 , а для t<T , предполагая, что в (5) выполняется Vt+1(x,k)≥0 , и, учитывая неравенство
39 maxz∈I(x)[Vt+1(z,k+m)-(k+m)(z-x)+c(x,m)]≥≥maxz∈I(x)[-(k+m)(z-x)+c(x,m)]=c(x,-(k+m))+c(x,m), (6)
40 получаем, что для целевой функции Vt(x; k) выполняется неравенство
41 Vt(x,k)=minm∈Zmaxz∈I(x)[Vt+1(z,k+m)-  (k+m)(z-x)  +c(x,m)    ]≥0 (7)
42 C учетом (7), для целевой функции, определяемой уравнениями (5), имеют место рекуррентные уравнения (4), равносильные уравнениям (5). Уравнения (5) позволяют дать интерпретацию задаче фьючерсной коррекции как специальной задаче суперхеджирования23 для европейского опциона с функцией выплат (f(x))- , с транзакционными издержками c(x;m) и дискретной (целочисленной) стратегией хеджирования фьючерсами с нулевым числом фьючерсов в начальный момент, рассматривая количество средств на счете как безрисковый актив с торговым ограничением — запретом овердрафта. Имея решения уравнений (5) с терминальным условием (1), в качестве требуемого уровня депозитной маржи в текущий момент при фьючерсной цене для портфеля с функцией выплат f(x) через срок T можно выбрать величину
23. Для обусловленного обязательства (contingent claim), возникающего у продавца опциона, выплаты по которому определяются на основании эволюции цен определенных торгуемых активов, фьючерсов или рыночных индексов, суперхеджирующая (суперреплицирующая) стратегия проведения операций на соответствующем финансовом рынке (допустимая с учетом возможных торговых ограничений) позволяет полностью покрыть обязательства (в отличие от других видов хеджирования) при минимальном начальном капитале (премии, взимаемой с покупателя опциона), см., например, главу 7 в книге (Föllmer, Schied, 2016).
43 M(f,T,x0)=V0(x0,0). (8)
44 При этом очевидно, что
45 M(f,T-s,x)=Vs(x,0). (9)
46 В работе (Artzner et al., 1999), где впервые были введены аксиомы показателя риска портфеля24, фигурирует аксиома субаддитивности, которую мы считаем основной, а с практической точки зрения — существенным требованием к системе маржирования, обеспечивающим корректность при маржировании нескольких клиентских портфелей, а также переносимость позиций несегрегированных портфелей (portability) в случае дефолта члена клиринга. Если обозначить через ñ(V) неотрицательный показатель риска для текущей стоимости портфеля V, то принцип децентрализации, т.е. свойство субаддитивности, означает неравенство ñ(V1+V2)≤ñ(V1)+ñ(V2) .
24. Также называемого мерой риска (risk measure).
47 Предложение 1. Требуемый уровень депозитной маржи удовлетворяет свойству субаддитивности, т.е.
48 M(f1+f2,T,x0)≤M(f1,T,x0)+M(f2,T,x0). (10)
49 Доказательство. Установим более общее неравенство, из которого (10) вытекает по определению (8). Пусть Vti(x,k) — целевые функции, отвечающие портфелям с функциями выплат fi,i=1,  2,  3, , где f3=f1+f2 , тогда
50 Vt3(x,k1+k2)≤Vt1(x,k1)+Vt2(x,k2). (11)
51 Покажем справедливость (11) по индукции. Для t=T это вытекает из (1) и неравенства (a+b)-≤(a)-+(b)- . Пусть (11) выполняется для t=T,...,s+1 , где s∈{0,...,T-1} . Далее справедливо неравенство c(x,m1+m2)≤c(x,m1)+c(x,m2) ; с использованием этого неравенства и индуктивного предположения имеем
52 Vs3(x,k1+k2)=minm1,m2∈Zmaxz∈I(x)[Vs+13(x,k1+k2+m1+m2)--(k1+k2+m1+m2)(z-x)+c(x,m1+m2)]≤minm1,m2∈Z{maxz∈I(x)[Vs+11(x,k1+m1)--(k1+k2+m1+m2)(z-x)+c(x,m1+m2)]≤minm1,m2∈Z{maxz∈I(x)[Vs+11(x,k1+m1)--(k1+m1)(z-x)+c(x,m1)]+maxz∈I(x)[Vs+12(x,k2+m2)-(k2+m2)(z-x)+c(x,m2)]}==minm1∈Zmaxz∈I(x)[Vs+11(x,k1+m1)-(k1+m1)(z-x)+c(x,m1)]++minm2∈Zmaxz∈I(x)[Vs+12(x,k2+m2)-(k2+m2)(z-x)+c(x,m2)]=Vs1(x,k1)+Vs2(x,k2).    ▄
53 Отметим, что свойство (11) имеет интересную экономическую интерпретацию, заключающуюся в возможности у центрального контрагента в его процедуре дефолт-менеджмента в случае нескольких ассигноров (с одинаковым сроком до исполнения опционов в их портфелях) использовать оптимальную стратегию коррекции совокупного портфеля всех таких ассигноров. Эта особенность системы маржирования будет продемонстрирована на модельном примере в последующей публикации.
54 Аксиома монотонности, означающая, что неравенство V1≤V2 влечет ñ(V1)≥ñ(V2) , также представляется разумным требованием к системе маржирования и выполняется в нашем случае. Пусть Vti(x,k) — целевые функции, отвечающие портфелям с функциями выплат fi,    i=1,  2 и f1≤f2 . Поскольку функция u↦(u)- является монотонно невозрастающей, то VT1(x,k)≥VT2(x,k) . По индукции, непосредственно из соотношений (5), получаем неравенства Vt1(x,k)≥Vt2(x,k) для t=T-1,…,0 , откуда M(f1,T,x0)≥M(f2,T,x0) .
55 Что касается свойства положительной однородности, т.е. ñ(λV)=λñ(V) , λ≥0 , то, по нашему мнению, оно не является естественным с экономической точки зрения и вполне может не выполняться для малых портфелей25. В нашем случае это связано с целочисленными позициями по фьючерсам. Если показатель риска ñ удовлетворяет свойству субаддитивности, то последовательность ñ(nV)/n,    n=1,  2,... сходится по лемме Фекете (Fekete, 1923) к пределу ñ*(V)=inf{ñ(nV)/n,    n=1,  2,...} ; для ñ*(⋅) , очевидно, выполняется свойство субаддитивности. Если, кроме того, функция λ↦ñ(λV),    λ≥0 является монотонно неубывающей26, то ñ(λV)/λ→ρ*(V) при λ→∞ , причем ñ*(λV)=λñ*(V) для всех λ≥0 , т.е. свойство положительной однородности для ñ*(⋅) выполняется. Таким образом, для больших портфелей можно говорить об асимптотической положительной однородности ñ(⋅) ; при этом ñ(⋅)≥ñ*(⋅) .
25. При этом на типичном срочном (биржевом) рынке преобладают малые или средние портфели.

26. Доказательство асимптотической линейности субаддитивной монотонно невозрастающей функции см., например, в (Смирнов, 2018, п. 6, замечание 14.1, с. 275, 276), включая комментарий в сноске 16.
56 В нашем случае в силу неотрицательности и положительной однородности функции u↦(u)- функция λ↦M(λf,T,x0),    λ≥0 является монотонно неубывающей, что проверяется по индукции аналогично приведенным выше рассуждениям, касающимся свойства монотонности. При этом, если бы параметры m и k принимали не целочисленные, а вещественные значения, то свойство положительной однородности, как нетрудно видеть, было бы выполнено. Поэтому в рамках нашей модели эффект асимптотической положительной однородности можно интерпретировать как снижение роли гранулированности для большого портфеля.
57

3. Заключение
58 Идея изобретения (Смирнов и др., 2004), описывающая способ определения уровня обеспечения и способ урегулирования ситуации с дефицитом маржи, основанного на фьючерсной коррекции, проиллюстрирована на конкретной реализации. Математическая модель определения требуемого уровня депозитной маржи строится по аналогии с идеологией гарантированного детерминистского подхода к суперхеджированию, описанной в работе (Смирнов, 2018): из экономического смысла задачи выводятся уравнения Беллмана–Айзекса. Доказан ряд свойств модели, естественных с экономической точки зрения, в частности субаддитивность маржи.
59 В следующей публикации будут представлены результаты численного эксперимента, подтверждающие эффективность предлагаемого подхода к маржированию.

Библиография

1. Долматов А.С. (2007). Математические методы риск-менеджмента. М.: Экзамен.

2. Майоров С. (2015). Клиринг на финансовых рынках. М.: Статистика России.

3. Смирнов С.Н. (2018). Гарантированный детерминистский подход к суперхеджированию: модель рынка, торговые ограничения и уравнения Беллмана–Айзекса // Математиче-ская теория игр и ее приложения. Т. 10. № 4. С. 59–99.

4. Смирнов С.Н., Захаров А.В., Полиматиди И.В., Балабушкин А.Н. (2004). Способ элек-тронной биржевой торговли производными финансовыми инструментами, способы оп-ределения уровня депозитной маржи, способы урегулирования ситуации с дефицитом маржи. Патент РФ № 2226714.

5. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. (1999). Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance, 9, 3, 203–228.

6. Avellaneda M., Cont R. (2013). Close-out risk evaluation (CORE): A new risk management ap-proach for central counterparties. SSRN Electronic Journal.

7. Bernhard P., Engwerda J.C., Roorda B. et al. (2013). The interval market model in mathematical finance: Game-theoretic methods. N.Y.: Springer.

8. Burzoni M., Frittelli M., Hou Z., Maggis M., Obloj J. (2019). Pointwise arbitrage pricing theory in discrete time. Mathematics of Operations Research, 44, 3, 1034–1057.

9. Capponi A., Cheng W.A., Sethuraman J. (2017). Clearinghouse default waterfalls: Risk-sharing, incentives, and systemic risk. Available at: https://ssrn.com/abstract=2930099

10. Carassus L., Obl?j J., Wiesel J. (2019). The robust superreplication problem: A dynamic approach. SIAM Journal on Financial Mathematics, 10, 4, 907–941.

11. Cont R. (2015). The end of the waterfall: Default resources of central counterparties. Journal of Risk Management in Financial Institutions, 8, 4, 365–389.

12. CPMI-IOSCO (2017). Resilience of central counterparties (CCPs): Further guidance on the PFMI. Available at: https://www.bis.org/cpmi/publ/d163.pdf

13. CPSS, IOSCO (2012). Principles for financial market infrastructures. Available at: https://www.iosco.org/library/pubdocs/pdf/IOSCOPD396.pdf

14. Fekete M. (1923). Uber die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Mathematische Zeitschrift, 17, 1, 228–249.

15. Follmer H., Schied A. (2016). Stochastic finance. An introduction in discrete time. 4th edition. N.Y.: Walter de Gruyter.

16. IOSCO (1996). Report on margin. Available at: https://www.iosco.org/library/pubdocs/pdf/IOSCOPD50.pdf

17. ISDA (2019). CCP best practices. Available at: https://www.isda.org/2019/01/24/ccp- best- practices/

18. Smirnov S.N. (2019). Guaranteed deterministic approach to superhedging: Lipschitz properties of solutions of the Bellman–Isaacs equations. In: L.A. Petrosyan, V.V. Mazalov, N.A. Zenkevich “Frontiers of Dynamic Games”. Berlin: Springer, 267–288.

19. Smirnov S.N. (2021). A guaranteed deterministic approach to superhedging: Financial market model, trading constraints and Bellman–Isaacs equations. Automation and Remote Control, 82, 4, 722–743.

20. Vicente L.A.B.G. (2012). Risk assessment processes for closeout of a portfolio. Google patents, US Patent App. 13/462,091.

21. Vicente L.A.B.G., Cerezetti F., Faria S. de, Iwashita T., Pereira O. (2015). Managing risk in multi-asset class, multimarket central counterparties: The CORE approach. Journal of Banking & Finance, 51, 119–130.

Комментарии

Сообщения не найдены

Написать отзыв
Перевести