Ilya Lesik

By this author

Dynamic model of investments in research of oligopolia

Issue 2 from 11.06.2020

Предлагается алгоритм определения остатков по кредитной линии, максимизирующих текущую стоимость собственного капитала компании-олигополии за счет инвестиций в научные исследования. Статья основывается на модели олигополии Курно, описанной в работе (Васин, Морозов,2005). В отличие от модели Курно, где исследован статический случай, мы изучаем динамическое расширение модели инвестиций, предложенной в работе (Перевозчиков, Лесик, 2014). Модель является обобщением классической производственной задачи на динамический случай и позволяет учесть ограничения по предельному левериджу, определяющему приемлемый уровень финансовой устойчивости компании, а также сформулировать достаточные условия существования режима устойчивого роста компании и дать оценки темпов роста (Перевозчиков, Лесик, Каримов, 2016). В работе в явном виде получена формула для прибыли олигополии в модели Курно как функции объема инвестиций в научные исследования, направленные на уменьшение удельной себестоимости, откуда следует кусочная дифференцируемость критерия в построенном динамическом расширении модели. Это позволяет применить к полученной задаче дискретного оптимального управления метод проекции стохастического градиента с осреднением из работы (Завриев, Перевозчиков, 1991).

1941 35

DETERMINATION OF THE OPTIMAL PRODUCTION VOLUMES AND SALES PRICES IN THE LINEAR MODEL OF MULTIPRODUCT MONOPOLY

Issue 1 from 01.01.2016

Предлагается алгоритм определения объемов производства и цен реализации, максимизирующих прибыль фирмы в условиях многопродуктового производства и общих ограничений на ресурсы. Данная статья основывается на работе (Мищенко, Артеменко, 2012). Главным отличием рассмотренной в статье модели является предположение о возможности помимо объемов производства устанавливать цены реализации продукции. Как и в модели Мищенко-Артеменко, исследован случай планирования на один период. Доказано, что решение исходной задачи оптимизации недоминируемых по Парето цен и объемов производства сводится к задаче квадратичного программирования по ценам, которая может быть решена с использованием методов квадратичного программирования. Для динамической модели инвестиций, изученной в работе (Перевозчиков, Лесик, 2014 г.), это позволяет определить альтернативную функцию годового дохода для монополий. Статья обобщает модель монополии из работы (Васин, Морозов, 2005) на случай многопродуктового рынка. Для этого вводится функция предложения и определяется равновесие по Вальрасу. Доказана теорема существования и единственности равновесных и монопольных цен, недоминируемых по Парето. Получен геометрический смысл равновесных и монопольных цен, позволяющий оценить, насколько монопольные цены могут быть больше равновесных.

1016 1

Dynamic model of the software development market based on the assignment problem on pain points

Issue 4 from 13.12.2021

 

Предлагается постановка дискретной динамической модели рынка программного обеспечения (РПО) на базе задачи на узкие места о назначении (УМН). Такую постановку можно получить, если отказаться от целочисленности элементов матрицы назначения и обойтись без вариационной постановки внутренней задачи определения равновесных цен, основанной на теореме Дебре. Функции изменения фазовых координат можно взять выпуклыми и не учитывать постоянные затраты при каждом переключении управления. Имея динамическое расширение задачи УМН, можно определить дополнительную прибыль транспортной системы за счет привлечения фьючерсов. В статье получены формулы для компонентов градиента показателя. Это позволяет организовать градиентный метод решения динамической задачи УМН. Приводится приближенный алгоритм и модельный пример его использования для решения динамического расширения задачи УМН. Он основан на решении статической задачи с увеличением на единицу тех элементов матрицы эффективности, которые совпадают с соответствующими элементами матрицы оптимальных назначений, если отказаться от целочисленности матрицы назначений. Это эквивалентно рандомизации задачи о назначении с определенными вероятностями, что позволяет найти погрешность приближенного алгоритма путем сравнения с точным решением, полученным градиентным методом при достаточно больших значениях штрафных констант.

 

956 13

Market’s static model for software development based on a transport problem with non-fixed time additions

Issue 2 from 18.06.2022

Предлагается постановка дискретно-непрерывной статической модели рынка разработок программного обеспечения на базе транспортной задачи (ТЗ) с нефиксированными добавками (НД) по времени. В отличие от существующей ТЗ с фиксированными доплатами (ФД) по стоимости предлагается минимаксная постановка ТЗ с временами, которые могут содержать часть, пропорциональную объемам назначений. Таким образом, это гибридная постановка ТЗ с ФД по стоимости и классической ТЗ по времени. Такие задачи возникают при ограниченности суммарного объема транспортных средств на каждом маршруте, которые приходится использовать многократно, плюс фиксированная добавка, возникающая с учетом задержки принятия логистических решений. Показано, что такая задача может быть аппроксимирована сверху классической ТЗ по времени, которую можно получить и по схеме, использованной М.Л. Балински. Приводится точный алгоритм метода ветвей и границ, основанный на геометрической интерпретации задачи, распадающейся на подзадачи на непустых гранях многогранного множества допустимых решений, являющиеся  задачами выпуклого программирования, которые можно численно решить субградиентным методом, описанным Б.Т. Поляком. К таким же задачам сводится вычисление нижних оценок критерия. Показано, что функция наилучших значений критерия на гранях не является суб- или супермодулярной, как функция подмножества пар индексов, советующих положительным значениям объемов перевозки, что делает невозможным применение методов супермодулярного программирования. В статье рассматривается ε-оптимальная полиномиальная версия метода ветвей и границ, полученная по аналогии с решением многомерной задачи о назначениях, и дан числовой пример ее использования. Приводится интерпретация ТЗ с НД как обобщенной задачи о назначении с нефиксированными скидками по цене, учитывающими разницу между оптовой и розничной ценой.  Описывается применение ТЗНД для построения цифровых платформ на рынке разработки программного обеспечения для загрузки заданий исполнителям.

 

503 11

Market static model for software development based on a transport problem with quadratic cost additions

Issue 3 from 22.09.2022

Предлагается постановка непрерывной статической модели рынка разработки программного обеспечения (РПО) на базе транспортной задачи (ТЗ) с квадратичными добавками (КД) по стоимости. В отличие от существующей ТЗ с фиксированными доплатами (ФД) по стоимости предлагается постановка по минимизации суммы стоимостей транспортировки, которые могут содержать нефиксированные добавки (НД), пропорциональные квадратам объемов назначений. Таким образом, предлагается квадратичная постановка ТЗ с НД. Показано, что ТЗ с КД может быть сведена к задаче выпуклого программирования, которую можно численно решить субградиентным методом либо методом сопряженных градиентов для двойственной задачи. Приводится интерпретация ТЗ с КД как задачи о назначении (ЗН) с нефиксированными скидками (НС) по цене, учитывающими разницу между оптовой и розничной ценой. Это позволяет применить поставленную задачу для построения цифровых платформ (ЦП) на рынке разработки программного обеспечения (РПО) для загрузки заданий исполнителям.

181 11

Reducing the dynamic model of the software development market to a block problem of convex programming

No. 1 from 29.03.2023

В статье предлагается метод сведения дискретной динамической модели рынка разработки программного обеспечения к блочной задаче выпуклого программирования. Задачу можно решить методом последовательных приближений, основанным на принципе сжимающих отображений, если отказаться от целочисленности элементов матрицы назначения. Равновесные цены можно рассчитать напрямую, и поэтому не требуется вариационной постановки внутренней задачи определения равновесных цен, основанной на теореме Дебре. Функции изменения фазовых координат можно взять выпуклыми, например норма разности в квадрате, и не учитывать постоянных затрат при каждом переключении управления, которое исключается из уравнений динамики системы. Полученная блочная задача выпуклого программирования допускает декомпозицию с помощью замораживания переменных связи с соседними блоками на уровне предыдущей итерации. Показано, что оператор в правой части полученного рекуррентного уравнения является сжимающим при достаточно общих условиях. Это позволяет обосновать метод последовательных приближений для решения полученной задачи, основанный на принципе сжимающих отображений. Приводится модельный пример его использования в динамическом расширении транспортной задачи по стоимости.

202 15

Dynamic model of the software development market based on the problem of performance without interruptions in the scheduling theory

Issue number 1 from 26.07.2025

Предлагается постановка дискретной динамической модели рынка разработки программного обеспечения с последействием на основе задачи о быстродействии без прерываний в теории расписаний. В отличие от существующей задачи о быстродействии в нашей модели прерываний не допускаются. В результате такая задача становится NP-трудной даже в случае двух обслуживающих приборов, что приводит к необходимости использовать метод ветвей и границ в полученной дискретной динамической задаче с последействием в сочетании с точной формулой для наименьшего времени выполнения расписания с прерываниями для определения нижних оценок критерия в промежуточных узлах поискового орграфа. Известна теорема, что в задаче о рюкзаке эпсилон-версия метода ветвей и границ является полиномиальной со степенью полинома, обратно пропорциональной эпсилон. Возникает гипотеза, что это верно и для нашей задачи. Для проверки гипотезы проведен статистический эксперимент, когда параметры выбираются при помощи датчика случайных чисел, а размерность монотонно увеличивается. Кривизна графика числа раскрытых вершин от размерности в логарифмическом масштабе позволяет судить о полиномиальности или экспоненциальности эпсилон-версии метода ветвей и границ в нашей задаче. Показано, что хотя приближенный алгоритм как раз и оказался экспоненциальным, но относительное число раскрываемых вершин убывает очень быстро, что свидетельствует о его практической эффективности.

15 0