By this author

On the geometric median and other median-like points

Issue 3 from 04.09.2020

Геометрическая медиана и некоторые ее обобщения широко используются в экономической теории, начиная с работ Вильгельма Лаунхардта и Альфреда Вебера по теории размещения производства. Важнейшее свойство медианы числовой выборки заключается в том, что медиана минимизирует суммарное расстояние до всех элементов выборки. Это минимизирующее свойство положено в основу определения геометрической медианы для конечных наборов точек на плоскости. Далее это определение легко переносится на произвольное метрическое пространство, в том числе и на евклидово пространствоRⁿ. А с помощью интегрирования понятие геометрической медианы распространяется на ограниченные подмногообразия любой размерности вRⁿ. Существуют эффективные численные методы отыскания геометрической медианы, но отсутствуют общие аналитические формулы для ее вычисления. В настоящей работе основное внимание уделено геометрическим медианам ограниченных областей, расположенных в евклидовом пространстве Rⁿ. Основной результат настоящей работы — это вывод нового удобного представления градиентной системы для нахождения геометрической медианы. Этот результат распространяется на широкий класс аналогичных оптимизационных задач, где функция расстояния заменяется на функции более общего вида. Именно решения этих задач мы называем медианоподобными точками, они являются ближайшими родственниками геометрической медианы и широко используются в современных экономических исследованиях.

1647 27