Dynamic Model of Economic Agents Including Interaction and Delay Effects

Kilmatov, Talgat

doi:10.31857/S042473880026952-6

1

Введение Классические динамические модели макроэкономического роста (Solow R.M. 1956, Romer P. 1990) предназначены для оценки значимых факторов роста и lkz прогнозирования процессов. Варианты развития динамического моделирования в экономике и анализ (Андрианов Д.Л., Арбузов В.О., и др. 2015). Подобные модели непрерывно совершенствуются в сторону учета новых факторов. Современное усложнение, удорожание и ускорение НИОКР изменяет социально-экономические условия. В частности, растет специализация и разделение труда на планетарном уровне, на уровне отдельных государств. В высокотехнологичных конечных продуктах, в частности авиастроение, используются комплектующие детали из десятков разных стран. Одновременно скорость изменения технологических процессов столь велика, что практически непрерывно стоит проблема своевременного освоения и замены технологий, причем не просто процесс усовершенствования старых, а принципиально других. В этом случае выходит на значимый уровень экономический параметр – время реакции на современные воздействия. Математическая теория для моделирования процессов временной реакции на внешние воздействия в приложении к технике разрабатывалась с середины прошлого века (Bellman R., 1949, Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б., 1971), развитие теории (Бекларян Л.А., 2007). Ниже строится динамическая модель роста в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Цель моделирования – рассмотреть совместный рост n экономических агентов с учетом их взаимодействия. Оценить фактор кооперации - индивидуализации, фактор временной задержки - опережения на динамику развития.

Введение Классические динамические модели макроэкономического роста (Solow R.M. 1956, Romer P. 1990) предназначены для оценки значимых факторов роста и lkz прогнозирования процессов. Варианты развития динамического моделирования в экономике и анализ (Андрианов Д.Л., Арбузов В.О., и др. 2015). Подобные модели непрерывно совершенствуются в сторону учета новых факторов. Современное усложнение, удорожание и ускорение НИОКР изменяет социально-экономические условия. В частности, растет специализация и разделение труда на планетарном уровне, на уровне отдельных государств. В высокотехнологичных конечных продуктах, в частности авиастроение, используются комплектующие детали из десятков разных стран. Одновременно скорость изменения технологических процессов столь велика, что практически непрерывно стоит проблема своевременного освоения и замены технологий, причем не просто процесс усовершенствования старых, а принципиально других. В этом случае выходит на значимый уровень экономический параметр – время реакции на современные воздействия. Математическая теория для моделирования процессов временной реакции на внешние воздействия в приложении к технике разрабатывалась с середины прошлого века (Bellman R., 1949, Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б., 1971), развитие теории (Бекларян Л.А., 2007). Ниже строится динамическая модель роста в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Цель моделирования – рассмотреть совместный рост n экономических агентов с учетом их взаимодействия. Оценить фактор кооперации - индивидуализации, фактор временной задержки - опережения на динамику развития.

Введение Классические динамические модели макроэкономического роста (Solow R.M. 1956, Romer P. 1990) предназначены для оценки значимых факторов роста и lkz прогнозирования процессов. Варианты развития динамического моделирования в экономике и анализ (Андрианов Д.Л., Арбузов В.О., и др. 2015). Подобные модели непрерывно совершенствуются в сторону учета новых факторов. Современное усложнение, удорожание и ускорение НИОКР изменяет социально-экономические условия. В частности, растет специализация и разделение труда на планетарном уровне, на уровне отдельных государств. В высокотехнологичных конечных продуктах, в частности авиастроение, используются комплектующие детали из десятков разных стран. Одновременно скорость изменения технологических процессов столь велика, что практически непрерывно стоит проблема своевременного освоения и замены технологий, причем не просто процесс усовершенствования старых, а принципиально других. В этом случае выходит на значимый уровень экономический параметр – время реакции на современные воздействия. Математическая теория для моделирования процессов временной реакции на внешние воздействия в приложении к технике разрабатывалась с середины прошлого века (Bellman R., 1949, Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б., 1971), развитие теории (Бекларян Л.А., 2007). Ниже строится динамическая модель роста в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Цель моделирования – рассмотреть совместный рост n экономических агентов с учетом их взаимодействия. Оценить фактор кооперации - индивидуализации, фактор временной задержки - опережения на динамику развития.

2

Математическая модель Рассмотрим n экономических агентов (стран), которые между собой взаимодействуют. Обозначим параметр x_i(t) – характеризует уровень роста i-го агента (например, ВВП) в заданный момент времени. Динамический рост осуществляется вследствие как собственных внутренних ресурсов, так и в результате кооперации, что модельно можно представить в виде следующих динамических уравнений

\dot{x_{i}} = β_{i} x_{i} + \sum_{j}^{n} α_{i j} x_{i} x_{j}

,

α_{i i} = 0

,

(i = 1, \dots n)

(1) Здесь первый член в правой части, положительные эндогенные параметры модели β_i характеризуют рост соответствующего агента за счет собственных ресурсов. Второй член в правой части, параметры α_ij – рост за счет кооперации с другими агентами. Аналогом второго члена могут служить подходы моделей популяции (Смит Д.М. 1974, Макаров В.Л. и др., 2020), где рассматривается специализация и кооперация для совместного сосуществования. В матричной форме уравнения (1) можно переписать в виде

\dot{X} = B X + A X

, где обозначено: матрицы

B = (X_{1} X_{2} \dots . X_{n})

,

X = (\begin{matrix} \begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \end{matrix} \\ \dots \\ X_{n} \end{matrix})

,

A = (\begin{matrix} 0 * X_{1} α_{12} X_{1} \dots α_{1 n} X_{1} \\ α_{21} X_{2} 0 * X_{2} \dots α_{2 n} X_{2} \\ \dots \\ α_{n 1} X_{n} α_{n 2} X_{n} \dots 0 * X_{n} \end{matrix})

. Здесь по диагонали квадратной матрицы A стоят нули. Отметим, что размерность β_iэто величина, обратная времени. Размерность α_ij - это величина, обратная произведению времени t на уровень роста x_i(t). Система (1) с начальными условиями

x_{i} (t_{0}) = x_{i 0}, i = 1, \dots n .

(2) описывает динамическую траекторию роста агентов во времени вследствие собственных ресурсов и кооперации с другими при различных значениях параметров. Если система (1) предполагает задание функций в разные моменты времени, тогда она переходит в уравнения с отклоняющимися переменными и начальные условия надо задавать в окрестности начальной точки, подробности (Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б., 1971, Бекларян Л.А., 2007). В общем случае реализация (1) - (2) возможна в виде численной компьютерной имитации, которая целесообразна, скорее всего, только при адекватном статистическом наполнении модели. Ниже рассмотрим простые частные случаи, допускающие аналитические решения и ясную экономическую интерпретацию.

Математическая модель Рассмотрим n экономических агентов (стран), которые между собой взаимодействуют. Обозначим параметр xi(t) – характеризует уровень роста i-го агента (например, ВВП) в заданный момент времени. Динамический рост осуществляется вследствие как собственных внутренних ресурсов, так и в результате кооперации, что модельно можно представить в виде следующих динамических уравнений <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi> </mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></math>
 (1) Здесь первый член в правой части, положительные эндогенные параметры модели βi характеризуют рост соответствующего агента за счет собственных ресурсов. Второй член в правой части, параметры αij – рост за счет кооперации с другими агентами. Аналогом второго члена могут служить подходы моделей популяции (Смит Д.М. 1974, Макаров В.Л. и др., 2020), где рассматривается специализация и кооперация для совместного сосуществования. В матричной форме уравнения (1) можно переписать в виде <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mi>B</mi><mi>X</mi><mo>+</mo><mi>A</mi><mi>X</mi></math>
, где обозначено: матрицы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>…</mo><mo>.</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>X</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mo>…</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>A</mi><mo>=</mo><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mn>0</mn><mi>*</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>…</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi> </mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>21</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi> </mi><mi> </mi><mn>0</mn><mi>*</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>…</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi> </mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mo>…</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>…</mo><mi> </mi><mn>0</mn><mi>*</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mi> </mi></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
. Здесь по диагонали квадратной матрицы A стоят нули. Отметим, что размерность βi это величина, обратная времени. Размерность αij - это величина, обратная произведению времени t на уровень роста xi(t). Система (1) с начальными условиями <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mi>n</mi><mo>.</mo></math>
 (2) описывает динамическую траекторию роста агентов во времени вследствие собственных ресурсов и кооперации с другими при различных значениях параметров. Если система (1) предполагает задание функций в разные моменты времени, тогда она переходит в уравнения с отклоняющимися переменными и начальные условия надо задавать в окрестности начальной точки, подробности (Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б., 1971, Бекларян Л.А., 2007). В общем случае реализация (1) - (2) возможна в виде численной компьютерной имитации, которая целесообразна, скорее всего, только при адекватном статистическом наполнении модели. Ниже рассмотрим простые частные случаи, допускающие аналитические решения и ясную экономическую интерпретацию.

Математическая модель Рассмотрим n экономических агентов (стран), которые между собой взаимодействуют. Обозначим параметр xi(t) – характеризует уровень роста i-го агента (например, ВВП) в заданный момент времени. Динамический рост осуществляется вследствие как собственных внутренних ресурсов, так и в результате кооперации, что модельно можно представить в виде следующих динамических уравнений <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi> </mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></math> (1) Здесь первый член в правой части, положительные эндогенные параметры модели βi характеризуют рост соответствующего агента за счет собственных ресурсов. Второй член в правой части, параметры αij – рост за счет кооперации с другими агентами. Аналогом второго члена могут служить подходы моделей популяции (Смит Д.М. 1974, Макаров В.Л. и др., 2020), где рассматривается специализация и кооперация для совместного сосуществования. В матричной форме уравнения (1) можно переписать в виде <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mi>B</mi><mi>X</mi><mo>+</mo><mi>A</mi><mi>X</mi></math> , где обозначено: матрицы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>…</mo><mo>.</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>X</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mo>…</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>A</mi><mo>=</mo><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mn>0</mn><mi>*</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>…</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi> </mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>21</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi> </mi><mi> </mi><mn>0</mn><mi>*</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>…</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi> </mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mo>…</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>…</mo><mi> </mi><mn>0</mn><mi>*</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mi> </mi></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> . Здесь по диагонали квадратной матрицы A стоят нули. Отметим, что размерность βi это величина, обратная времени. Размерность αij - это величина, обратная произведению времени t на уровень роста xi(t). Система (1) с начальными условиями <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mi>n</mi><mo>.</mo></math> (2) описывает динамическую траекторию роста агентов во времени вследствие собственных ресурсов и кооперации с другими при различных значениях параметров. Если система (1) предполагает задание функций в разные моменты времени, тогда она переходит в уравнения с отклоняющимися переменными и начальные условия надо задавать в окрестности начальной точки, подробности (Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б., 1971, Бекларян Л.А., 2007). В общем случае реализация (1) - (2) возможна в виде численной компьютерной имитации, которая целесообразна, скорее всего, только при адекватном статистическом наполнении модели. Ниже рассмотрим простые частные случаи, допускающие аналитические решения и ясную экономическую интерпретацию.

3

Частные аналитические решения Рассмотрим случай, когда агенты имеют одинаковые симметричные экономические параметры, то есть

β_{i} = β, α_{i j} = α п р и i \neq j, {x (t) = x_{i} (t), x}_{i} (0) = x_{0} .

(3) Сначала рассмотрим случай, когда отклонения аргументов нет, все функции в модели зависят от времени в один и тот же момент. В этом случае система (1) сводится к одному уравнению

\dot{x} = β x + α (n - 1) x^{2}

(4) и аналитическое решение системы с начальными условиями (2) имеет вид

\frac{x (t)}{x_{0}} = \frac{β e^{β t}}{β + x_{0} α (n - 1) (1 - e^{β t})}

.(5) Здесь выделим частные случаи. При самостоятельной индивидуальном развитии агента, то есть при n=1 (α=0) решение имеет экспоненциальный вид

\frac{x (t)}{x_{0}} = e^{β t} .

(6) Если агент развивается только как реципиент (аналог островного туристического государства), то есть только за счет партнеров, тогда β=0 и решение (5) имеет гиперболический вид

\frac{x (t)}{x_{0}} = \frac{1}{1 - x_{0} α (n - 1) t}

(7) Ясно, что (6) - (7) являются частными случаями решения (5).

Частные аналитические решения Рассмотрим случай, когда агенты имеют одинаковые симметричные экономические параметры, то есть <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>β</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>α</mi><mi> </mi><mi>п</mi><mi>р</mi><mi>и</mi><mi> </mi><mi>i</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi></math>
 (3) Сначала рассмотрим случай, когда отклонения аргументов нет, все функции в модели зависят от времени в один и тот же момент. В этом случае система (1) сводится к одному уравнению <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mi>β</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
(4) и аналитическое решение системы с начальными условиями (2) имеет вид <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>β</mi><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>t</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>β</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></mfrac></math>
 .(5) Здесь выделим частные случаи. При самостоятельной индивидуальном развитии агента, то есть при n=1 (α=0) решение имеет экспоненциальный вид <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math>
(6) Если агент развивается только как реципиент (аналог островного туристического государства), то есть только за счет партнеров, тогда β=0 и решение (5) имеет гиперболический вид <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>t</mi></mrow></mfrac></math>
 (7) Ясно, что (6) - (7) являются частными случаями решения (5).

Частные аналитические решения Рассмотрим случай, когда агенты имеют одинаковые симметричные экономические параметры, то есть <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>β</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>α</mi><mi> </mi><mi>п</mi><mi>р</mi><mi>и</mi><mi> </mi><mi>i</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi></math> (3) Сначала рассмотрим случай, когда отклонения аргументов нет, все функции в модели зависят от времени в один и тот же момент. В этом случае система (1) сводится к одному уравнению <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mi>β</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> (4) и аналитическое решение системы с начальными условиями (2) имеет вид <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>β</mi><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>t</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>β</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></mfrac></math> .(5) Здесь выделим частные случаи. При самостоятельной индивидуальном развитии агента, то есть при n=1 (α=0) решение имеет экспоненциальный вид <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math> (6) Если агент развивается только как реципиент (аналог островного туристического государства), то есть только за счет партнеров, тогда β=0 и решение (5) имеет гиперболический вид <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>t</mi></mrow></mfrac></math> (7) Ясно, что (6) - (7) являются частными случаями решения (5).

4

Модельный эффект временных задержек при взаимодействии агентов Будем предполагать, что взаимодействие и кооперация для некоторых агентов происходит с некоторой временной задержкой τ, то есть для других соответственно с опережением. Здесь будем проводить аналитические выкладки в приближении модели (4), в которой второй член в правой части уравнения зависит от отклоняющегося аргумента

t - τ

, причем для построения аналитического решения ниже полагаем, что время задержки является малым параметром. Такие приближения предполагают простые аналитические построения (Кильматов Т.Р., 2003, 2013). Разлагая второй член в правой части (4) по малому параметру, получаем обобщение модели с учетом временных задержек при учете кооперативных эффектов,

\dot{x} = β x + α (n - 1) {(x}^{2} - 2 x \dot{x} τ)

.(8) Здесь важно отметить, что уравнение (8) и представленные ниже решения построены и имеют смысл только при ограничении, что безразмерный параметр

τ β ≪ 1

. При значительной величине τ модель теряется устойчивость и однозначность решения (Бекларян Л.А., 2004, 2007). В предположении, что в τ-окрестности точки t₀ функция постоянная и равна

x (0) = x_{0}

, частный интеграл уравнения (8) будет иметь вид

\frac{x}{x_{0}} {(\frac{α (n - 1) x_{0} + β}{α (n - 1) x + β})}^{1 - 2 τ β} - e^{β t} = 0

.(9) Здесь решение (5) в свою очередь является частным случаем (9) при

τ = 0

. Проведем количественный анализ влияния разных факторов на основании представленных выше аналитических решений. Предполагаем, что характерные численные значения входящих экзогенных переменных соответствуют характерным значениям продуктивной мировой экономики.

Модельный эффект временных задержек при взаимодействии агентов Будем предполагать, что взаимодействие и кооперация для некоторых агентов происходит с некоторой временной задержкой τ, то есть для других соответственно с опережением. Здесь будем проводить аналитические выкладки в приближении модели (4), в которой второй член в правой части уравнения зависит от отклоняющегося аргумента <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi></math>
, причем для построения аналитического решения ниже полагаем, что время задержки является малым параметром. Такие приближения предполагают простые аналитические построения (Кильматов Т.Р., 2003, 2013). Разлагая второй член в правой части (4) по малому параметру, получаем обобщение модели с учетом временных задержек при учете кооперативных эффектов, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mi>β</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>˙</mo></mover><mi>τ</mi><mo>)</mo></math>
 .(8) Здесь важно отметить, что уравнение (8) и представленные ниже решения построены и имеют смысл только при ограничении, что безразмерный параметр <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mi>β</mi><mo>≪</mo><mn>1</mn></math>
. При значительной величине τ модель теряется устойчивость и однозначность решения (Бекларян Л.А., 2004, 2007). В предположении, что в τ-окрестности точки t0 функция постоянная и равна <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
 , частный интеграл уравнения (8) будет иметь вид <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>τ</mi><mi>β</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 .(9) Здесь решение (5) в свою очередь является частным случаем (9) при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 . Проведем количественный анализ влияния разных факторов на основании представленных выше аналитических решений. Предполагаем, что характерные численные значения входящих экзогенных переменных соответствуют характерным значениям продуктивной мировой экономики.

Модельный эффект временных задержек при взаимодействии агентов Будем предполагать, что взаимодействие и кооперация для некоторых агентов происходит с некоторой временной задержкой τ, то есть для других соответственно с опережением. Здесь будем проводить аналитические выкладки в приближении модели (4), в которой второй член в правой части уравнения зависит от отклоняющегося аргумента <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>-</mo><mi>τ</mi></math> , причем для построения аналитического решения ниже полагаем, что время задержки является малым параметром. Такие приближения предполагают простые аналитические построения (Кильматов Т.Р., 2003, 2013). Разлагая второй член в правой части (4) по малому параметру, получаем обобщение модели с учетом временных задержек при учете кооперативных эффектов, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mi>β</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>˙</mo></mover><mi>τ</mi><mo>)</mo></math> .(8) Здесь важно отметить, что уравнение (8) и представленные ниже решения построены и имеют смысл только при ограничении, что безразмерный параметр <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mi>β</mi><mo>≪</mo><mn>1</mn></math> . При значительной величине τ модель теряется устойчивость и однозначность решения (Бекларян Л.А., 2004, 2007). В предположении, что в τ-окрестности точки t0 функция постоянная и равна <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> , частный интеграл уравнения (8) будет иметь вид <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>τ</mi><mi>β</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> .(9) Здесь решение (5) в свою очередь является частным случаем (9) при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math> . Проведем количественный анализ влияния разных факторов на основании представленных выше аналитических решений. Предполагаем, что характерные численные значения входящих экзогенных переменных соответствуют характерным значениям продуктивной мировой экономики.

5

Численные сценарии динамического роста с учетом взаимодействия агентов Проведем модельные сценарные оценки динамики роста агента вследствие влияния различных факторов в рамках приведенной аналитической модели. Зададим правдоподобные экзогенные переменные для временного масштаба один год. Предполагаем, что продуктивная экономика развивается за счет собственных ресурсов с темпом 3% в год. В этом модельном случае

β = 0,03 {г о д}^{- 1}

. Для более простого модельных сценариев роста будем считать, что в начальный момент времени

t_{0} = 0

x_{0} = 1

и динамика x(t) ниже приводится в долях относительно начального состояния

x (t) / x_{0}

. За базовый сценарий примем значение безразмерной величины

x_{0} α (n - 1) β^{- 1} = 1

, то есть на начальном этапе внутренний фактор роста и внешнее воздействие равновелики по воздействию. В частности, если порядок взаимодействующих агентов 10,

(n = 11)

, то

x_{0} α = 0,003 {г о д}^{- 1}

. Здесь следует отметить временную прогностическую ограниченность приложения представленных аналитических решений. Ограничение соответствует случаю, когда знаменатель принимает нулевое значение. В частности, для (5) этот момент времени

t_{*} β = \ln (1 + \frac{β}{x_{0} α (n - 1)}) ~ 0,7

. Для представленного численного примера глубина прогноза не более 20 лет. Влияние различных факторов будем рассматривать относительно базового сценария, это формуле (5) за временной прогноз 12 лет. Обозначим этот сценарий через С0. Остальные сценарии рассматриваются, когда один параметр отклоняется от базового. Сценарий, когда агент действует индивидуально и не пользуется достижениями партнеров,

n = 1

, рост агента только за счет собственных ресурсов, формула (6), обозначим С1. Сценарий, когда агент является реципиентом, растет только за счет внешних партнеров,

β = 0

, формула (7), обозначим через С2. В сценариях С1, С2 эффект временных задержек не учитывается. Этот эффект рассмотрен в сценарии С3, когда агент опережает остальных при взаимодействии на 2 год, формула (8). Здесь

τ = - 2

. Таким образом, базовый сценарий C0 отстает в этом сценарии от агента, который имеет преимущество вследствие опережающего на два года использования потенциала партнеров.

Численные сценарии динамического роста с учетом взаимодействия агентов Проведем модельные сценарные оценки динамики роста агента вследствие влияния различных факторов в рамках приведенной аналитической модели. Зададим правдоподобные экзогенные переменные для временного масштаба один год. Предполагаем, что продуктивная экономика развивается за счет собственных ресурсов с темпом 3% в год. В этом модельном случае <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>0,03</mn><mi> </mi><msup><mrow><mi>г</mi><mi>о</mi><mi>д</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math>
. Для более простого модельных сценариев роста будем считать, что в начальный момент времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mi> </mi></math>
 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi> </mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 и динамика x(t) ниже приводится в долях относительно начального состояния <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><mrow><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>/</mo><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mrow></math>
. За базовый сценарий примем значение безразмерной величины <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
, то есть на начальном этапе внутренний фактор роста и внешнее воздействие равновелики по воздействию. В частности, если порядок взаимодействующих агентов 10, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>11</mn><mo>)</mo></math>
, то <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0,003</mn><mi> </mi><msup><mrow><mi>г</mi><mi>о</mi><mi>д</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math>
. Здесь следует отметить временную прогностическую ограниченность приложения представленных аналитических решений. Ограничение соответствует случаю, когда знаменатель принимает нулевое значение. В частности, для (5) этот момент времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msub><mi>β</mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">ln</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>~</mo><mn>0,7</mn></mrow></mrow></math>
. Для представленного численного примера глубина прогноза не более 20 лет. Влияние различных факторов будем рассматривать относительно базового сценария, это формуле (5) за временной прогноз 12 лет. Обозначим этот сценарий через С0. Остальные сценарии рассматриваются, когда один параметр отклоняется от базового. Сценарий, когда агент действует индивидуально и не пользуется достижениями партнеров, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
, рост агента только за счет собственных ресурсов, формула (6), обозначим С1. Сценарий, когда агент является реципиентом, растет только за счет внешних партнеров, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
, формула (7), обозначим через С2. В сценариях С1, С2 эффект временных задержек не учитывается. Этот эффект рассмотрен в сценарии С3, когда агент опережает остальных при взаимодействии на 2 год, формула (8). Здесь <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>2</mn></math>
. Таким образом, базовый сценарий C0 отстает в этом сценарии от агента, который имеет преимущество вследствие опережающего на два года использования потенциала партнеров.

Численные сценарии динамического роста с учетом взаимодействия агентов Проведем модельные сценарные оценки динамики роста агента вследствие влияния различных факторов в рамках приведенной аналитической модели. Зададим правдоподобные экзогенные переменные для временного масштаба один год. Предполагаем, что продуктивная экономика развивается за счет собственных ресурсов с темпом 3% в год. В этом модельном случае <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>0,03</mn><mi> </mi><msup><mrow><mi>г</mi><mi>о</mi><mi>д</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math> . Для более простого модельных сценариев роста будем считать, что в начальный момент времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mi> </mi></math> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi> </mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math> и динамика x(t) ниже приводится в долях относительно начального состояния <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><mrow><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>/</mo><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mrow></math> . За базовый сценарий примем значение безразмерной величины <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn></math> , то есть на начальном этапе внутренний фактор роста и внешнее воздействие равновелики по воздействию. В частности, если порядок взаимодействующих агентов 10, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>11</mn><mo>)</mo></math> , то <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0,003</mn><mi> </mi><msup><mrow><mi>г</mi><mi>о</mi><mi>д</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math> . Здесь следует отметить временную прогностическую ограниченность приложения представленных аналитических решений. Ограничение соответствует случаю, когда знаменатель принимает нулевое значение. В частности, для (5) этот момент времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msub><mi>β</mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">ln</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>~</mo><mn>0,7</mn></mrow></mrow></math> . Для представленного численного примера глубина прогноза не более 20 лет. Влияние различных факторов будем рассматривать относительно базового сценария, это формуле (5) за временной прогноз 12 лет. Обозначим этот сценарий через С0. Остальные сценарии рассматриваются, когда один параметр отклоняется от базового. Сценарий, когда агент действует индивидуально и не пользуется достижениями партнеров, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> , рост агента только за счет собственных ресурсов, формула (6), обозначим С1. Сценарий, когда агент является реципиентом, растет только за счет внешних партнеров, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math> , формула (7), обозначим через С2. В сценариях С1, С2 эффект временных задержек не учитывается. Этот эффект рассмотрен в сценарии С3, когда агент опережает остальных при взаимодействии на 2 год, формула (8). Здесь <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>2</mn></math> . Таким образом, базовый сценарий C0 отстает в этом сценарии от агента, который имеет преимущество вследствие опережающего на два года использования потенциала партнеров.

6

Результаты расчета представлены в табл.1. Табл. 1. Сценарии динамики роста экономического агента при значениях параметров

7

t - год	С0	С1	С2	С3
0	1,00	1,00	1,00	1,00
3	1,21	1,09	1,10	1,25
6	1,49	1,20	1,22	1,65
9	1,90	1,31	1,37	2,25
12	2,53	1,43	1,56	4,00

8

Из табл. 1 видно, что динамический рост агента чувствителен к временным задержкам при использовании современных достижений. Легко оценить, что даже при опережении в один год при

τ = - 1

для нашего численного примера получим

x (12) / x_{0} \approx 3

, что также существенно опережает базовый сценарий. Таким образом, временной фактор задержек - опережения при взаимодействии агентов является важным фактором динамического развития.

9

Заключение Представленная динамическая модель роста в виде системы дифференциальных уравнений с отклоняющимися переменными позволяет выделить влияние факторов совместного кооперативного развития и влияние временной реакции на внешние изменения. Количественные сценарии показывают, что эффект временного опережения на внешние вызовы выводит экономического агента на предпочтительные позиции преимущества перед другими. Появляется эффект мультипликативного накопления выгоды, то есть «более ранний старт» во времени увеличивает преимущество лидера. В исторической ретроспективе этот эффект можно интерпретировать, в том числе, как одну из причин бурного экономического роста послевоенной Японии, начавшей стартовать с опережением при внедрении передовых технологий.

GOST	Kilmatov T. Dynamic Model of Economic Agents Including Interaction and Delay Effects // Economics and the Mathematical Methods. – 2023. – V. 59. – No. 3 C. 132-136 . URL: https://emmras.ru/model-rosta-ekonomicheskih-agentov-s-uchetom-vzaimodeystviya-i-zapazdyvaniya-na-vzaimnye-vozdeystviya/?version_id=102395. DOI: 10.31857/S042473880026952-6
MLA	Kilmatov, Talgat "Dynamic Model of Economic Agents Including Interaction and Delay Effects." Economics and the Mathematical Methods. 59.3 (2023).:132-136. DOI: 10.31857/S042473880026952-6
APA	Kilmatov T. (2023). Dynamic Model of Economic Agents Including Interaction and Delay Effects. Economics and the Mathematical Methods. vol. 59, no. 3, pp.132-136 DOI: 10.31857/S042473880026952-6

Comments

Via social network