Approximation to portfolio liquidation value with calculation of its skewness

Balabushkin, Aleksander

doi:10.31857/S042473880024878-4

1

1. Введение

2

Клиринговые организации с определенной периодичностью проводят контроль обеспеченности портфелей участников клиринга, а те, в свою очередь, проверяют портфели своих клиентов. При использовании меры риска Value-at-Risk (Jorion, 2007) возможные потери оцениваются величиной

V a R (τ, α) = m_{0} - q (τ, α)

, а условием обеспеченности портфеля является

q (τ, α) \geq 0,

где

m_{0}

— текущая стоимость портфеля,

q (τ, α)

— квантиль заданного порядка

α \in (0,1)

распределения стоимости портфеля в момент

τ > 0

. Временнόй горизонт

τ

складывается из:

Клиринговые организации с определенной периодичностью проводят контроль обеспеченности портфелей участников клиринга, а те, в свою очередь, проверяют портфели своих клиентов. При использовании меры риска Value-at-Risk (Jorion, 2007) возможные потери оцениваются величиной 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><mi>R</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>q</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
, а условием обеспеченности портфеля является 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math>
 где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
 — текущая стоимость портфеля, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
 — квантиль заданного порядка 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>∈</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>0,1</mn></mrow></mfenced></math>
 распределения стоимости портфеля в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
. Временнόй горизонт 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi></math>
 складывается из:

Клиринговые организации с определенной периодичностью проводят контроль обеспеченности портфелей участников клиринга, а те, в свою очередь, проверяют портфели своих клиентов. При использовании меры риска Value-at-Risk (Jorion, 2007) возможные потери оцениваются величиной <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><mi>R</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>q</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> , а условием обеспеченности портфеля является <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math> где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> — текущая стоимость портфеля, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> — квантиль заданного порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>∈</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>0,1</mn></mrow></mfenced></math> распределения стоимости портфеля в момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> . Временнόй горизонт <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi></math> складывается из:

3

продолжительности периода между проверками условия обеспеченности;
срока, предоставляемого участнику клиринга для самостоятельных операций по устранению дефицита обеспечения, если таковой выявлен (довнесением активов и/или проведением соответствующих сделок);
интервала, в течение которого клиринговая организация считает возможным ликвидировать портфель в принудительном порядке, т.е. совершить закрывающие сделки и, в случае необходимости, распродать активы портфеля.

4

До недавнего времени общепринятым был стандартизованный подход, в котором все компоненты

τ

устанавливались едиными для всех участников клиринга вне зависимости от состава портфеля. Типично срок

τ

составлял 1 или 2 дня. Данный способ не учитывал особенностей больших позиций, закрытие которых происходит частями и не укладывается в стандартный период. В настоящее время рискам такого рода (рискам концентрации) уделяется значительное внимание в регулировании клиринговой деятельности. Дополнительным фактором, потребовавшим изменения стандартизованного подхода, стало включение в сферу деятельности клиринговых организаций внебиржевых рынков (ОТС), для которых характерны более длительные сроки и специфические процедуры закрытия позиций.

До недавнего времени общепринятым был стандартизованный подход, в котором все компоненты 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi></math>
 устанавливались едиными для всех участников клиринга вне зависимости от состава портфеля. Типично срок 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi></math>
 составлял 1 или 2 дня. Данный способ не учитывал особенностей больших позиций, закрытие которых происходит частями и не укладывается в стандартный период. В настоящее время рискам такого рода (рискам концентрации) уделяется значительное внимание в регулировании клиринговой деятельности. Дополнительным фактором, потребовавшим изменения стандартизованного подхода, стало включение в сферу деятельности клиринговых организаций внебиржевых рынков (ОТС), для которых характерны более длительные сроки и специфические процедуры закрытия позиций.

5

В большинстве случаев учет рисков больших позиций сводится к модификации стандартных алгоритмом оценки риска портфеля для фиксированного временного горизонта. Так, Chicago Mercantile Exchange включила в свою методологию Standard Portfolio Analysis of Risk надбавку за концентрацию (concentration charge), которая возникает в случае превышения размером позиции порога, зависящего от среднедневного объема торгов соответствующим инструментом¹. В методологии SIMM² (Standard Initial Margin Model), разработанной International Swaps and Derivatives Association для ОТС рынка, при превышении позицией i определенного порога вводится множитель (concentration risk factor)

C R_{i} = m a x (1, \sqrt{τ_{i} / τ})

, где

τ_{i}

во столько раз превышает стандартный срок

τ

, во сколько раз размер позиции превышает порог. Далее риск по портфелю рассчитывается с помощью

V a R_{i} (τ_{i}, α) = V a R_{i} (τ, α) C R_{i}

по обычной формуле для дисперсии суммы коррелированных случайных величин (variance-covariance), но с заменой коэффициента корреляции

ρ_{i j}

между ценами инструментов

i, j

на

λ_{i j} ρ_{i j}

, где

λ_{i j} = \sqrt{m i n (τ_{i}, τ_{j}) / m a x (τ_{i}, τ_{j})}

.

1. >>>>

2. www.isda.org

В большинстве случаев учет рисков больших позиций сводится к модификации стандартных алгоритмом оценки риска портфеля для фиксированного временного горизонта. Так, Chicago Mercantile Exchange включила в свою методологию Standard Portfolio Analysis of Risk надбавку за концентрацию (concentration charge), которая возникает в случае превышения размером позиции порога, зависящего от среднедневного объема торгов соответствующим инструментом1. В методологии SIMM2 (Standard Initial Margin Model), разработанной International Swaps and Derivatives Association для ОТС рынка, при превышении позицией i определенного порога вводится множитель (concentration risk factor) 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><msqrt><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>/</mo><mi>τ</mi></msqrt></mrow></mfenced></math>
, где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 во столько раз превышает стандартный срок 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi></math>
, во сколько раз размер позиции превышает порог. Далее риск по портфелю рассчитывается с помощью 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mi>C</mi><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 по обычной формуле для дисперсии суммы коррелированных случайных величин (variance-covariance), но с заменой коэффициента корреляции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 между ценами инструментов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></math>
 на 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msqrt><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></msqrt></math>
.

В большинстве случаев учет рисков больших позиций сводится к модификации стандартных алгоритмом оценки риска портфеля для фиксированного временного горизонта. Так, Chicago Mercantile Exchange включила в свою методологию Standard Portfolio Analysis of Risk надбавку за концентрацию (concentration charge), которая возникает в случае превышения размером позиции порога, зависящего от среднедневного объема торгов соответствующим инструментом1. В методологии SIMM2 (Standard Initial Margin Model), разработанной International Swaps and Derivatives Association для ОТС рынка, при превышении позицией i определенного порога вводится множитель (concentration risk factor) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><msqrt><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>/</mo><mi>τ</mi></msqrt></mrow></mfenced></math> , где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> во столько раз превышает стандартный срок <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>τ</mi></math> , во сколько раз размер позиции превышает порог. Далее риск по портфелю рассчитывается с помощью <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mi>C</mi><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> по обычной формуле для дисперсии суммы коррелированных случайных величин (variance-covariance), но с заменой коэффициента корреляции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> между ценами инструментов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></math> на <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> , где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msqrt><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></msqrt></math> .

6

Наиболее основательно к проблеме больших позиций подошла бразильская биржа B3³, разработав новый подход CORE⁴ (Closeout Risk Evaluation). Процесс ликвидации каждой позиции представляется в виде последовательности

\{u_{k}\}

,

\sum_{k} u_{k} = 1

, элементы которой обозначают доли позиции, закрываемые в дни k=1, 2, … (стратегия ликвидации). Одновременно с оценкой риска определяется наилучшая в некотором смысле стратегия ликвидации портфеля. Данный подход можно назвать минимаксным: каждой стратегии ликвидации сопоставляются потери в наихудшем сценарии поведения риск-факторов (цен, процентных ставок, волатильностей и др.) из заранее определенного множества сценариев, а оптимальная стратегия характеризуется наименьшими такими потерями. При этом возникают особые требования к формированию множества сценариев во избежание чрезмерно больших уклонений риск-факторов.

3. Некоторые указания на способ, применяемый B3, содержатся в (De Genaro, 2016) и B3 Clearinghouse Risk Management Manual (https://www.b3.com.br/data/files/1A/D2/8A/FC/0974D710EEBC50D7AC094EA8/B3%20Clearinghouse%20Risk%20Management%20Manual%20-%2020211122.pdf).

4. Описание базовых принципов методологии CORE содержится в работах (Avellaneda, Cont, 2013; Vicente et al., 2015).

Наиболее основательно к проблеме больших позиций подошла бразильская биржа B33, разработав новый подход CORE4 (Closeout Risk Evaluation). Процесс ликвидации каждой позиции представляется в виде последовательности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
, элементы которой обозначают доли позиции, закрываемые в дни k=1, 2, … (стратегия ликвидации). Одновременно с оценкой риска определяется наилучшая в некотором смысле стратегия ликвидации портфеля. Данный подход можно назвать минимаксным: каждой стратегии ликвидации сопоставляются потери в наихудшем сценарии поведения риск-факторов (цен, процентных ставок, волатильностей и др.) из заранее определенного множества сценариев, а оптимальная стратегия характеризуется наименьшими такими потерями. При этом возникают особые требования к формированию множества сценариев во избежание чрезмерно больших уклонений риск-факторов.

Наиболее основательно к проблеме больших позиций подошла бразильская биржа B33, разработав новый подход CORE4 (Closeout Risk Evaluation). Процесс ликвидации каждой позиции представляется в виде последовательности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math> , элементы которой обозначают доли позиции, закрываемые в дни k=1, 2, … (стратегия ликвидации). Одновременно с оценкой риска определяется наилучшая в некотором смысле стратегия ликвидации портфеля. Данный подход можно назвать минимаксным: каждой стратегии ликвидации сопоставляются потери в наихудшем сценарии поведения риск-факторов (цен, процентных ставок, волатильностей и др.) из заранее определенного множества сценариев, а оптимальная стратегия характеризуется наименьшими такими потерями. При этом возникают особые требования к формированию множества сценариев во избежание чрезмерно больших уклонений риск-факторов.

7

Оптимальная ликвидация портфеля линейных инструментов с более традиционным вероятностным критерием рассмотрена в (Kim, 2014; Avellaneda et al., 2015), где при определенных условиях показано, что оптимальные стратегии являются кусочно-постоянными и могут быть получены как решение задачи квадратичного программирования.

8

Алгоритм CORE вычислительно затратен, так как анализируется большое число сценариев (как правило, не менее 10 тыс.) и решаются соответствующие задачи оптимизации. В настоящее время применение торговых роботов требует непрерывного контроля обеспеченности портфелей. Относительно простые модификации стандартизованных алгоритмов, упомянутые ранее, позволяют получать неоптимизированную оценку риска портфеля (т.е. оценку сверху), что приемлемо с практической точки зрения.

9

В данной работе задача оптимизации не ставится, стратегия ликвидации считается заданной, в частности, это может быть закрытие каждой позиции с постоянной скоростью. Акцент делается на оценке риска портфеля с учетом коэффициента асимметрии распределения финансового результата. Наряду с

V a R

рассматривается мера риска Expected Shortfall или

C V a R

, равная

10

C V a R (α) = m_{0} - Q (α), Q (α) = \frac{1}{α} \overset{q (α)}{\int_{- \infty}} z f (z) d z,

11

где

f (z)

— плотность функции распределения финансового результата (в предположении ее существования), при этом условием обеспеченности является

Q (α) \geq 0

.

12

2. Ликвидация линейных позиций с приблизительно постоянными скоростями

13

Примем следующую модель процесса ликвидации: размер закрываемой позиции в день k равен

u_{k} = u Δ t + ν u η_{k} \sqrt{Δ t},

где

u, ν

— константы,

η_{k}

— независимые нормально распределенные случайные величины со средним 0 и дисперсией 1,

Δ t = 1 / 252

(исходя из 252 торговых дней в году). Первое слагаемое предполагается таким, что ликвидация позиции данного объема не оказывает существенного влияния на цены. Значение устанавливается экспертно, например, это может быть 10% квантиля порядка

α_{v o l u m e} = 0,25

дневных оборотов торгов за последние 3 месяца. Второе слагаемое описывает случайные флуктуации, вызванные колебаниями оборота торгов день ото дня. Отрицательные значения соответствуют обороту ниже квантиля, а в случае повышенного оборота производится компенсация имеющегося отставания от плана (поэтому для

η_{k}

принято симметричное распределение). Строго говоря, в этой модели имеется вероятность получить отрицательную величину

u_{k},

т.е. в некоторые дни вместо закрытия нарастить позицию, однако типично значения параметра

ν

не превышают 0,01–0,02 и эта вероятность пренебрежимо мала.

Примем следующую модель процесса ликвидации: размер закрываемой позиции в день k равен 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>u</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>ν</mi><mi>u</mi><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msqrt><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi></msqrt><mo>,</mo></math>
 где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>u</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">ν</mi></math>
 — константы, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 — независимые нормально распределенные случайные величины со средним 0 и дисперсией 1, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>252</mn></math>
 (исходя из 252 торговых дней в году). Первое слагаемое предполагается таким, что ликвидация позиции данного объема не оказывает существенного влияния на цены. Значение устанавливается экспертно, например, это может быть 10% квантиля порядка 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow><mrow><mi>v</mi><mi>o</mi><mi>l</mi><mi>u</mi><mi>m</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,25</mn></math>
 дневных оборотов торгов за последние 3 месяца. Второе слагаемое описывает случайные флуктуации, вызванные колебаниями оборота торгов день ото дня. Отрицательные значения соответствуют обороту ниже квантиля, а в случае повышенного оборота производится компенсация имеющегося отставания от плана (поэтому для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 принято симметричное распределение). Строго говоря, в этой модели имеется вероятность получить отрицательную величину 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 т.е. в некоторые дни вместо закрытия нарастить позицию, однако типично значения параметра 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ν</mi></math>
 не превышают 0,01–0,02 и эта вероятность пренебрежимо мала.

Примем следующую модель процесса ликвидации: размер закрываемой позиции в день k равен <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>u</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>ν</mi><mi>u</mi><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msqrt><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi></msqrt><mo>,</mo></math> где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>u</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">ν</mi></math> — константы, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> — независимые нормально распределенные случайные величины со средним 0 и дисперсией 1, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>252</mn></math> (исходя из 252 торговых дней в году). Первое слагаемое предполагается таким, что ликвидация позиции данного объема не оказывает существенного влияния на цены. Значение устанавливается экспертно, например, это может быть 10% квантиля порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow><mrow><mi>v</mi><mi>o</mi><mi>l</mi><mi>u</mi><mi>m</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,25</mn></math> дневных оборотов торгов за последние 3 месяца. Второе слагаемое описывает случайные флуктуации, вызванные колебаниями оборота торгов день ото дня. Отрицательные значения соответствуют обороту ниже квантиля, а в случае повышенного оборота производится компенсация имеющегося отставания от плана (поэтому для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> принято симметричное распределение). Строго говоря, в этой модели имеется вероятность получить отрицательную величину <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math> т.е. в некоторые дни вместо закрытия нарастить позицию, однако типично значения параметра <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ν</mi></math> не превышают 0,01–0,02 и эта вероятность пренебрежимо мала.

14

Пусть портфель состоит из

n

компонент, цены которых в момент

t = 0

равны

S_{i} > 0

, количества равны

X_{i}

,

i = 1, . . ., n

. Количества могут быть как положительными, так и отрицательными. Задается время

t_{0} \geq 0

, в течение которого никаких действий с портфелем не совершается. Для

t > t_{0}

каждая из компонент портфеля изменяется в соответствии с уравнением

Пусть портфель состоит из 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math>
 компонент, цены которых в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 равны 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
, количества равны 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi></math>
. Количества могут быть как положительными, так и отрицательными. Задается время 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>≥</mo><mn>0</mn></math>
, в течение которого никаких действий с портфелем не совершается. Для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
 каждая из компонент портфеля изменяется в соответствии с уравнением

Пусть портфель состоит из <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> компонент, цены которых в момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math> равны <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn></math> , количества равны <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi></math> . Количества могут быть как положительными, так и отрицательными. Задается время <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>≥</mo><mn>0</mn></math> , в течение которого никаких действий с портфелем не совершается. Для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>></mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> каждая из компонент портфеля изменяется в соответствии с уравнением

15

d X_{i}^{ε} (t) = - u_{i} d t + \sqrt{ε} ν_{i} u_{i} d W_{i} (t), X_{i}^{ε} (t_{0}) = X_{i}, i = 1, . . ., n,

(1)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>d</mi><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>,</mo></math>
(1)

16

где

u_{i}

— постоянные величины того же знака, что и начальные количества

X_{i}

,

ν_{i} > 0

— постоянные величины,

W_{i} (t)

— винеровские процессы,

0 \leq ε \leq 1

— вспомогательный параметр. Для применения приведенных далее результатов следует положить

ε = 1

. Уравнение (1) является непрерывным аналогом приведенной выше модели ликвидации.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 — постоянные величины того же знака, что и начальные количества 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 — постоянные величины, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 — винеровские процессы, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><mn>1</mn></math>
 — вспомогательный параметр. Для применения приведенных далее результатов следует положить 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
. Уравнение (1) является непрерывным аналогом приведенной выше модели ликвидации.

17

Изменение цен для

t > 0

описывается многомерным геометрическим броуновским движением с нулевым сносом

18

d S_{i}^{ε} (t) = \sqrt{ε} S_{i}^{ε} (t) \overset{k}{\sum_{j = 1}} B_{i j} d W_{n + j} (t), S_{i}^{ε} (0) = S_{i}, i = 1, . . ., n,

(2)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mover><mrow><munder><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mover><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mi>d</mi><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
(2)

19

где B — матрица размера

n \times k

с постоянными элементами;

δ_{i} = \sqrt{D_{i i}} > 0

,

D = B B^{T};

T — знак транспонирования. Все винеровские процессы

W_{i} (t), i = 1, . . ., n + k,

предполагаются независимыми. Вводя винеровские процессы

W_{i}^{'} ((t) = \frac{1}{δ_{i}} \overset{k}{\sum_{j = 1}} B_{i j} W_{n + j} (t),

уравнение (2) можно представить в виде

где B — матрица размера 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>k</mi></math>
 с постоянными элементами; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msqrt><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>i</mi></mrow></msub></msqrt><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi><mo>=</mo><mi>B</mi><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mo>;</mo></math>
 T — знак транспонирования. Все винеровские процессы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math>
 предполагаются независимыми. Вводя винеровские процессы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mover><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
 уравнение (2) можно представить в виде

где B — матрица размера <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>k</mi></math> с постоянными элементами; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msqrt><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>i</mi></mrow></msub></msqrt><mo>></mo><mn>0</mn></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi><mo>=</mo><mi>B</mi><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mo>;</mo></math> T — знак транспонирования. Все винеровские процессы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math> предполагаются независимыми. Вводя винеровские процессы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mover><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> уравнение (2) можно представить в виде

20

d S_{i}^{ε} (t) = \sqrt{ε} δ_{i} S_{i}^{ε} (t) d {W'}_{i} (t) .

(3)

21

Величины

δ_{i}

являются волатильностями цен

S_{i}^{ε} (t)

,

ρ_{i j} = D_{i j} / δ_{i} δ_{j}

— корреляциями относительных изменений цен. Эти параметры определяются по истории цен статистическими методами, и в этих же терминах формулируется результат.

Величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 являются волатильностями цен 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 — корреляциями относительных изменений цен. Эти параметры определяются по истории цен статистическими методами, и в этих же терминах формулируется результат.

22

Каждое из уравнений (1) описывает процесс ликвидации соответствующей компоненты портфеля до момента

t_{0} + τ_{i}^{ε}

, где

23

τ_{i}^{ε} = i n f (s \geq 0 : X_{i}^{ε} (t_{0} + s) = 0) = \underset{s > 0}{i n f} (W_{i} (t_{0} + s) - W_{i} (t_{0}) = (s - τ_{i}) / \sqrt{ε} ν_{i}),

24

τ_{i} = X_{i} / u_{i}

— период ликвидации позиции i при отсутствии случайных возмущений. Как известно,

P (τ_{i}^{ε} < \infty) = 1

(Липцер, Ширяев, 1974). Обозначим

Y_{i}^{ε} (t)

денежную сумму, которая образуется в процессе ликвидации компоненты

i

к моменту

t

в интервале

t_{0} \leq t \leq t_{0} + τ_{i}^{ε}

. Будем предполагать, что компоненты портфеля могут быть двух типов:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 — период ликвидации позиции i при отсутствии случайных возмущений. Как известно, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 (Липцер, Ширяев, 1974). Обозначим 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 денежную сумму, которая образуется в процессе ликвидации компоненты 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math>
 к моменту 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math>
 в интервале 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
. Будем предполагать, что компоненты портфеля могут быть двух типов:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> — период ликвидации позиции i при отсутствии случайных возмущений. Как известно, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn></math> (Липцер, Ширяев, 1974). Обозначим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> денежную сумму, которая образуется в процессе ликвидации компоненты <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math> к моменту <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> в интервале <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> . Будем предполагать, что компоненты портфеля могут быть двух типов:

25

акция — в этом случае $Y_{i}^{ε} (t)$ определяется уравнением

26

d Y_{i}^{ε} (t) = - S_{i}^{ε} (t) d X_{i}^{ε} (t), Y_{i}^{ε} (t_{0}) = 0;

(4)

27

фьючерс — тогда финансовый результат образуется в результате накопления вариационной маржи

28

d Y_{i}^{ε} (t) = X_{i}^{ε} (t) d S_{i}^{ε} (t), Y_{i}^{ε} (t_{0}) = X_{i} [S_{i}^{ε} (t_{0}) - S_{i}] .

(5)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>-</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>
(5)

29

Начальное условие в (5) описывает вариационную маржу до начала процесса ликвидации. С учетом предположения о независимости винеровских процессов

W_{i}^{'} (t)

,

W_{i} (t)

30

X_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε}) S_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε}) - X_{i} S_{i}^{ε} (t_{0}) = \overset{t_{0} + τ_{i}^{ε}}{\int_{t_{0}}} X_{i}^{ε} (t) d S_{i}^{ε} (t) + \overset{t_{0} + τ_{i}^{ε}}{\int_{t_{0}}} S_{i}^{ε} (t) d X_{i}^{ε} (t),

X_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε}) = 0

,

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>-</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></munder></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mover><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></munder></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mover><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
,

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>-</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></munder></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mover><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></munder></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mover><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math> ,

31

поэтому результат ликвидации для акции

Y_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε})

можно представить в виде решения уравнения (5) с начальным условием

Y_{i}^{ε} (t_{0}) = X_{i} S_{i}^{ε} (t_{0})

, а результат для фьючерса — в виде решения уравнения (4) с начальным условием

Y_{i}^{ε} (t_{0}) = - X_{i} S_{i}^{ε} (t_{0})

.

поэтому результат ликвидации для акции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math>
 можно представить в виде решения уравнения (5) с начальным условием 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math>
, а результат для фьючерса — в виде решения уравнения (4) с начальным условием 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
.

32

Необходимо найти: среднее

m_{}^{ε}

, дисперсию

V_{}^{ε}

, третий центральный момент

M_{}^{ε}

, квантиль

q_{}^{ε} (α)

и ожидаемые потери

Q_{}^{ε} (α)

распределения случайной величины

Y^{ε} = \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε})

.

Необходимо найти: среднее 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, дисперсию 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, третий центральный момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, квантиль 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math>
 и ожидаемые потери 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math>
 распределения случайной величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mrow></math>
.

33

Введем обозначения. Пусть:

34

m_{0} = \sum_{а к ц и и}^{} X_{i} S_{i}, V = \sum_{i, j = 1}^{n} ρ_{i j} λ_{i j} ω_{i} ω_{j}, ω_{i} = X_{i} S_{i} δ_{i} \sqrt{t_{0} + τ_{i} / 3},

35

\begin{matrix} λ_{i j} = {(2 τ_{i j}^{m a x})}^{- 1} [6 t_{0} τ_{i j}^{m a x} + τ_{i j}^{m i n} (3 τ_{i j}^{m a x} - τ_{i j}^{m i n})] / \sqrt{(3 t_{0} + τ_{i}) (3 t_{0} + τ_{j})}, \\ τ_{i j}^{m a x} = m a x (τ_{i}, τ_{j}), τ_{i j}^{m i n} = m i n (τ_{i}, τ_{j}), \end{matrix}

36

M

— величина, определенная в Приложении, п. 1;

σ_{} = \sqrt{V_{}}

,

χ = M σ^{- 3}

;

Φ (r)

,

φ (r)

,

β_{α} = Φ^{- 1} (α)

— функция стандартного нормального распределения, ее плотность и квантиль порядка

α

;

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>M</mi></math>
 — величина, определенная в Приложении, п. 1; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow/></msub><mo>=</mo><msqrt><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow/></msub></msqrt></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>χ</mi><mo>=</mo><mi>M</mi><msup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></msup></math>
; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math>
 — функция стандартного нормального распределения, ее плотность и квантиль порядка 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi></math>
;

37

{\tilde{q}}^{ε} (α) = m_{0} + \sqrt{ε} σ β_{α} + ε χ σ (β_{α}^{2} - 1) / 6,

(6)

38

{\tilde{Q}}^{ε} (α) = m_{0} - \sqrt{ε} σ ϕ (β_{α}) / α - ε χ σ β_{α} ϕ (β_{α}) / 6 α .

(7)

39

Утверждение 1.

40

I.

m^{ε} = m_{0}

.

41

II. Если все моменты

τ_{i}

различны, то

V_{}^{ε} = ε V + ε^{2} Δ_{1}^{ε}

,

M_{}^{ε} = ε^{2} M + ε^{3} Δ_{2}^{ε}

, где

Δ_{1}^{ε}

,

Δ_{2}^{ε}

ограничены для

0 < ε \leq ε_{1}

при некотором

0 < ε_{1} \leq 1

; при условии

V > 0

для любого

α < 0,5

найдется

0 < ε_{1} (α) \leq 1

такое, что

II. Если все моменты 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 различны, то 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>ε</mi><mi>V</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>M</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
 ограничены для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 при некотором 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></math>
; при условии 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 для любого 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>&lt;</mo><mn>0,5</mn></math>
 найдется 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mo>≤</mo><mn>1</mn></math>
 такое, что

II. Если все моменты <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> различны, то <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>ε</mi><mi>V</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>M</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> , где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> ограничены для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> при некотором <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></math> ; при условии <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> для любого <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo><</mo><mn>0,5</mn></math> найдется <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mo>≤</mo><mn>1</mn></math> такое, что

42

q_{}^{ε} (α) = {\tilde{q}}_{}^{ε} (α) + ε^{3 / 2} Δ_{3}^{ε} (α)

,(8)

43

Q_{}^{ε} (α) = {\tilde{Q}}_{}^{ε} (α) + ε^{3 / 2} Δ_{4}^{ε} (α),

(9)

44

где

Δ_{3}^{ε} (α)

,

Δ_{4}^{ε} (α)

ограничены для

0 < ε \leq ε_{1} (α)

.

45

Выражения (6), (7) без последних слагаемых соответствуют нормальному распределению. В этом приближении случайная величина

Y^{ε}

характеризуется средним

m_{0}

и дисперсией

ε V

. Ликвидационные стоимости отдельных компонент

Y_{i}^{ε} (t_{0}^{} + τ_{i}^{ε})

имеют средние

m_{i}^{ε} = X_{i} S_{i}

для акций и

m_{i}^{ε} = 0

для фьючерсов, дисперсии приблизительно равны

ε ω_{i}^{2}

, а корреляции —

ρ_{i j} λ_{i j} .

Коэффициенты

λ_{i j}

обладают свойствами:

λ_{i j} = 1

для любых

t_{0} \geq 0

,

τ_{j} = τ_{i}

; если увеличивать

τ_{j}

, начиная со значения

τ_{i}

, то

λ_{i j}

убывает. При

t_{0} = 0

Выражения (6), (7) без последних слагаемых соответствуют нормальному распределению. В этом приближении случайная величина 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
 характеризуется средним 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
 и дисперсией 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><mi>V</mi></math>
. Ликвидационные стоимости отдельных компонент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 имеют средние 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 для акций и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 для фьючерсов, дисперсии приблизительно равны 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
, а корреляции — 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math>
 Коэффициенты 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 обладают свойствами: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 для любых 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>≥</mo><mn>0</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
; если увеличивать 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, начиная со значения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
, то 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 убывает. При 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math>

Выражения (6), (7) без последних слагаемых соответствуют нормальному распределению. В этом приближении случайная величина <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math> характеризуется средним <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> и дисперсией <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><mi>V</mi></math> . Ликвидационные стоимости отдельных компонент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> имеют средние <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> для акций и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> для фьючерсов, дисперсии приблизительно равны <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> , а корреляции — <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math> Коэффициенты <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> обладают свойствами: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math> для любых <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>≥</mo><mn>0</mn></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> ; если увеличивать <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> , начиная со значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> , то <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> убывает. При <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math>

46

λ_{i j} = (\frac{3}{2} - \frac{τ_{i j}^{m i n}}{2 τ_{i j}^{m a x}}) \sqrt{\frac{τ_{i j}^{m i n}}{τ_{i j}^{m a x}}} \geq \sqrt{\frac{τ_{i j}^{m i n}}{τ_{i j}^{m a x}}},

47

где справа указан упомянутый в разд. 1 аналогичный коэффициент методологии SIMM.

48

Последние слагаемые в (6), (7) являются поправками к гауссовской аппроксимации, обусловленными наличием у рассматриваемого распределения асимметрии

χ_{}^{ε} = M_{}^{ε} {(V_{}^{ε})}^{- 3 / 2} \approx \sqrt{ε} χ

. В (Boudt, Peterson, Croux, 2008) посредством комбинирования отрезков разложений Эджворта для распределений и Корниша–Фишера для квантилей получены уточнения гауссовских аппроксимаций VaR и CVaR, содержащие коэффициенты асимметрии и эксцесса. Здесь критерием обрыва разложений является не количество учитываемых моментов распределения, а малость поправки по

ε

.

Последние слагаемые в (6), (7) являются поправками к гауссовской аппроксимации, обусловленными наличием у рассматриваемого распределения асимметрии 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≈</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><mi>χ</mi></math>
. В (Boudt, Peterson, Croux, 2008) посредством комбинирования отрезков разложений Эджворта для распределений и Корниша–Фишера для квантилей получены уточнения гауссовских аппроксимаций VaR и CVaR, содержащие коэффициенты асимметрии и эксцесса. Здесь критерием обрыва разложений является не количество учитываемых моментов распределения, а малость поправки по 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi></math>
.

49

Величины

ν_{i}

не входят в приближенные выражения, т.е. случайная неравномерность процесса ликвидации вносит эффект более высокого порядка малости по

ε

.

50

Вклад коэффициента асимметрии в результат становится существенным только для больших сроков закрытия позиций и высоких ценовых волатильностей. Более всего это соответствует депрессивному состоянию рынка с пониженными оборотами в условиях кризиса.

51

Пример 1. Пусть портфель состоит из четырех позиций (табл. 1).

52

Таблица 1

53

$X_{i}$	48	–65	–84	–30
$S_{i}$	33	30	10	50
$u_{i} / 252$	4	–5	–6	–2
$δ_{i}$	0,3	0,35	0,4	0,45

54

Первые три являются позициями в акциях, четвертая — во фьючерсе. В третьей строке указаны размеры позиций, которые можно закрыть за 1 день. Корреляционная матрица имеет вид

55

|\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1 & 0,56 \\ 0,56 & 1 \end{array} & \begin{array}{l} 0,81 & 0,69 \\ 0,86 & 0,80 \end{array} \\ \begin{array}{l} 0,81 & 0,86 \\ 0,69 & 0,80 \end{array} & \begin{array}{l} 1 & 0,94 \\ 0,94 & 1 \end{array} \end{array}|

56

Период

t_{0}

принят равным

1 / 252

(т.е. 1 дню),

ν_{i} \equiv 0,02

для всех инструментов.

57

В табл. 2 приведены результаты, полученные методом Монте-Карло для

1 0^{6}

испытаний с шагом

Δ t = 0,1 / 252,

и относительные погрешности аппроксимаций. Величины

V a R^{ε} (α)

и

C V a R^{ε} (α)

рассчитаны для

α = 0,003 .

Точность оценок

{\tilde{V a R}}^{ε} (α) = m_{0} - {\tilde{q}}^{ε} (α)

и

{\tilde{C V a R}}^{ε} (α) = m_{0} - {\tilde{Q}}^{ε} (α)

указана в двух вариантах: в гауссовском приближении (значение слева) и по полным формулам (6), (7) с учетом асимметрии (значение справа).

В табл. 2 приведены результаты, полученные методом Монте-Карло для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></msup></math>
 испытаний с шагом 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>/</mo><mn>252</mn><mo>,</mo></math>
 и относительные погрешности аппроксимаций. Величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow></mfenced></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow></mfenced></math>
 рассчитаны для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>=</mo><mn>0,003</mn><mo>.</mo></math>
 Точность оценок 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>V</mi><mi>a</mi><mi>R</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><mi>R</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>Q</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
 указана в двух вариантах: в гауссовском приближении (значение слева) и по полным формулам (6), (7) с учетом асимметрии (значение справа).

В табл. 2 приведены результаты, полученные методом Монте-Карло для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></msup></math> испытаний с шагом <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>/</mo><mn>252</mn><mo>,</mo></math> и относительные погрешности аппроксимаций. Величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow></mfenced></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow></mfenced></math> рассчитаны для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>=</mo><mn>0,003</mn><mo>.</mo></math> Точность оценок <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>V</mi><mi>a</mi><mi>R</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><mi>R</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>Q</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> указана в двух вариантах: в гауссовском приближении (значение слева) и по полным формулам (6), (7) с учетом асимметрии (значение справа).

58

Таблица 2

59

Метод	$m^{ε}$	$σ^{ε} = \sqrt{V^{ε}}$	$χ^{ε}$	$V a R^{ε} (α)$	$C V a R^{ε} (α)$
Монте-Карло	$- 1205,7$	$201,44$	–0,2069	$600,54$	$678,28$
Аппроксимация	$2,4 \times 1 0^{- 4}$	3,8 $\times 1 0^{- 3}$	1,1%	8,9%	0,5%	10,8%	1,1%

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Метод</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msqrt><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></msqrt></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Монте-Карло</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mn>1205,7</mn></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>201,44</mn></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> –0,2069</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>600,54</mn></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>678,28</mn></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Аппроксимация</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>2,4</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 3,8<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>×</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 1,1%</td><td class="docx-publication-cell"> 8,9%</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5%</td><td class="docx-publication-cell"> 10,8%</td><td class="docx-publication-cell"> 1,1%</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Метод</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msqrt><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></msqrt></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Монте-Карло</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mn>1205,7</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>201,44</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> –0,2069</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>600,54</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>678,28</mn></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Аппроксимация</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>2,4</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 3,8<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>×</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 1,1%</td><td class="docx-publication-cell"> 8,9%</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5%</td><td class="docx-publication-cell"> 10,8%</td><td class="docx-publication-cell"> 1,1%</td></tr></table>

60

В данном примере учет асимметрии приводит к снижению относительной погрешности оценок

{\tilde{V a R}}^{ε} (α)

,

{\tilde{C V a R}}^{ε} (α)

приблизительно в 10 раз.

61

Условие различия моментов

τ_{i}

используется при доказательстве более общего утверждения 3, приведенного в следующем разделе, а утверждение 1 выводится как следствие. По-видимому, в частном случае задачи данного раздела это условие не является необходимым, однако доказательство получено только для первого соотношения утверждения 1, п. I.

62

Утверждение 2.

V_{}^{ε} = ε V + ε^{2} Δ_{1}^{ε}

, где

Δ_{1}^{ε}

ограничена для

0 < ε \leq ε_{1}

при некотором

0 < ε_{1} \leq 1

.

Утверждение 2. 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>ε</mi><mi>V</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Δ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
 ограничена для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 при некотором 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></math>
.

63

С практической точки зрения данный вопрос представляется второстепенным, поскольку расчеты различных модельных примеров не выявляют каких-либо особенностей при совпадении некоторых или всех моментов

τ_{i}

.

64

Пример 2. Заменим в примере 1 первую строку таблицы.

65

X_{i}

48

–60

–90

–30

66

Тогда

τ_{1} = τ_{2} = 12 / 252

и

τ_{3} = τ_{4} = 15 / 252

. Результаты расчетов по формулам утверждения 1 показывают, что погрешности остаются приблизительно на прежних уровнях (табл. 3).

67

Таблица 3

68

Метод	$m^{ε}$	$σ^{ε}$	$χ^{ε}$	$V a R^{ε} (α)$	$C V a R^{ε} (α)$
Монте-Карло	$- 1116,0$	$196,00$	–0,2097	$584,40$	$660,64$
Аппроксимация	$3,8 \times 1 0^{- 5}$	5,1 $\times 1 0^{- 3}$	0,2%	9,0%	0,7%	11,9%	1,3%

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Метод</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Монте-Карло</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mn>1116,0</mn></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>196,00</mn></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> –0,2097</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>584,40</mn></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>660,64</mn></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Аппроксимация</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>3,8</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 5,1<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>×</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2%</td><td class="docx-publication-cell"> 9,0%</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7%</td><td class="docx-publication-cell"> 11,9%</td><td class="docx-publication-cell"> 1,3%</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Метод</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Монте-Карло</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mn>1116,0</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>196,00</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> –0,2097</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>584,40</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>660,64</mn></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Аппроксимация</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>3,8</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 5,1<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>×</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,2%</td><td class="docx-publication-cell"> 9,0%</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7%</td><td class="docx-publication-cell"> 11,9%</td><td class="docx-publication-cell"> 1,3%</td></tr></table>

69

3. Процессы с переключениями на границах

70

Сформулируем задачу разд. 2 следующим образом. Имеется процесс

{(X_{i}^{ε} (t), S_{i}^{ε} (t), Y_{i}^{ε} (t))}_{i = \bar{1, n}}

, описываемый уравнениями (1), (3), (4), (5). В случайные моменты достижения процессом границ в фазовом пространстве

X_{i}^{ε} (t) = 0

уравнения для соответствующих координат процесса изменяются на

d X_{i}^{ε} (t) = 0

,

d S_{i}^{ε} (t) = 0

,

d Y_{i}^{ε} (t) = 0

, что приводит к остановке этих координат. Требуется найти распределение линейной комбинации координат вектора состояния процесса в момент достижения процессом последней из границ.

Сформулируем задачу разд. 2 следующим образом. Имеется процесс 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mover accent="false"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow></msub></math>
, описываемый уравнениями (1), (3), (4), (5). В случайные моменты достижения процессом границ в фазовом пространстве 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 уравнения для соответствующих координат процесса изменяются на 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
, что приводит к остановке этих координат. Требуется найти распределение линейной комбинации координат вектора состояния процесса в момент достижения процессом последней из границ.

Сформулируем задачу разд. 2 следующим образом. Имеется процесс <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mover accent="false"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow></msub></math> , описываемый уравнениями (1), (3), (4), (5). В случайные моменты достижения процессом границ в фазовом пространстве <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math> уравнения для соответствующих координат процесса изменяются на <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math> , что приводит к остановке этих координат. Требуется найти распределение линейной комбинации координат вектора состояния процесса в момент достижения процессом последней из границ.

71

В качестве обобщения предположим, что

n

-мерный случайный процесс, описывается однородным стохастическим уравнением

72

d ζ^{ε} (t) = f_{1} (ζ^{ε} (t)) d s + \sqrt{ε} δ_{1} (ζ^{ε} (t)) d W (t)

,

ζ^{ε} (0) = x

, (10)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">ζ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">ζ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>s</mi><mo>+</mo><msqrt><mi mathvariant="normal">ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi mathvariant="normal">δ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">ζ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>W</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">ζ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>x</mi></math>
, (10)

73

где

x

— известное начальное состояние,

W (t)

— l-мерный винеровский процесс с независимыми компонентами, элементы вектора

f_{1} (ζ)

и матрицы

δ_{1} (ζ)

удовлетворяют следующим условиям.

74

Условие А.

f_{1 i} (ζ), δ_{1 i j} (ζ) \in C^{\infty} (R^{n}), i = 1, . . ., n; j = 1, . . ., l .

Условие А. 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi></mrow></mfenced><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>l</mi><mo>.</mo></math>

75

Условие Б. При некотором

K > 0

для любых

ζ, η \in R^{n}

76

\sum_{i = 1}^{n} f_{1 i}^{2} (ζ) + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{l} δ_{1 i j}^{2} (ζ) \leq K (1 + \sum_{i = 1}^{n} ζ_{i}^{2}),

77

\sum_{i = 1}^{n} {(f_{1 i}^{} (ζ) - f_{1 i}^{} (η))}^{2} + {\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{l} (δ_{1 i j}^{} (ζ) - δ_{1 i j}^{} (η))}^{2} \leq K \sum_{i = 1}^{n} {(ζ_{i} - η_{i})}^{2} .

78

Условие Б обеспечивает существование и единственность решения уравнения (10), траектории процесса

ζ^{ε} (t)

непрерывны (Липцер, Ширяев, 1974).

79

Невозмущенный процесс

ζ (t)

задается уравнением

\dot{ζ} (t) = f_{1} (ζ (t))

,

ζ (0) = x

.

80

Определим случайный процесс с переключениями

ξ^{ε} (t)

следующим образом. Пусть векторы

π_{θ} \in R^{n}

и константы

r_{θ}

задают плоскости

П_{θ} = \{ζ \in R^{n} : π_{θ}^{*} ζ = r_{θ}\},

θ = 1, . . ., Θ .

До случайного момента

τ_{1}^{ε} = i n f (t \geq 0 : ζ^{ε} (t) \in ⋃_{θ = 1}^{Θ} Π_{θ}) (i n f \emptyset = T)

включительно процесс

ξ^{ε} (t)

совпадает с

ζ^{ε} (t)

. После этого состояние

ξ^{ε} (τ_{1}^{ε})

становится начальным для уравнения вида (10), но с другими парами функций

(f_{*} (ξ), δ_{*} (ξ))

, которые зависят от того, какая именно граница была достигнута (или несколько границ одновременно). Достигнутые границы исключаются из определения последующих моментов остановки. После каждого момента остановки функции

(f_{*} (ξ), δ_{*} (ξ))

изменяются в зависимости от того, какие границы и в какой последовательности достигались ранее.

Определим случайный процесс с переключениями 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 следующим образом. Пусть векторы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></math>
 и константы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></math>
 задают плоскости 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">П</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>:</mo><msubsup><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mi>ζ</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>.</mo></math>
 До случайного момента 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>:</mo><msup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>∈</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">⋃</mo><mrow><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">∅</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math>
 включительно процесс 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 совпадает с 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
. После этого состояние 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 становится начальным для уравнения вида (10), но с другими парами функций 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
, которые зависят от того, какая именно граница была достигнута (или несколько границ одновременно). Достигнутые границы исключаются из определения последующих моментов остановки. После каждого момента остановки функции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
 изменяются в зависимости от того, какие границы и в какой последовательности достигались ранее.

Определим случайный процесс с переключениями <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> следующим образом. Пусть векторы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></math> и константы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></math> задают плоскости <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">П</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>:</mo><msubsup><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mi>ζ</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>.</mo></math> До случайного момента <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>:</mo><msup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>∈</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">⋃</mo><mrow><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">∅</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math> включительно процесс <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> совпадает с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> . После этого состояние <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> становится начальным для уравнения вида (10), но с другими парами функций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> , которые зависят от того, какая именно граница была достигнута (или несколько границ одновременно). Достигнутые границы исключаются из определения последующих моментов остановки. После каждого момента остановки функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> изменяются в зависимости от того, какие границы и в какой последовательности достигались ранее.

81

Предполагается, что все пары

(f_{*} (ξ), δ_{*} (ξ))

удовлетворяют условиям, аналогичным А и Б. Если некоторая траектория процесса

ξ^{ε} (t)

до наступления момента

T

достигает всех

Θ

плоскостей, то обозначим через

τ_{Θ}^{ε}

— момент достижения последней границы (номер этой границы не обязательно

Θ

), иначе положим

τ_{Θ}^{ε} = T

;

Y^{ε} = H ξ^{ε} (τ_{Θ}^{ε}),

где

H

— заданная строка размерности

n

. Задача, как и в разд. 2, заключается в нахождении среднего

m_{}^{ε},

дисперсии

V_{}^{ε},

третьего центрального момента

M_{}^{ε}

, квантиля

q_{}^{ε} (α)

и ожидаемых потерь

Q_{}^{ε} (α)

распределения случайной величины

Y^{ε}

. Положим

τ_{0} = τ_{0}^{ε} = 0

,

τ_{Θ + 1} = τ_{Θ + 1}^{ε} = T

и добавим еще одно условие.

Предполагается, что все пары 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
 удовлетворяют условиям, аналогичным А и Б. Если некоторая траектория процесса 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 до наступления момента 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>T</mi></math>
 достигает всех 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Θ</mi></math>
 плоскостей, то обозначим через 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
 — момент достижения последней границы (номер этой границы не обязательно 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Θ</mi></math>
), иначе положим 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>T</mi></math>
; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>H</mi><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo></math>
 где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>H</mi></math>
 — заданная строка размерности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math>
. Задача, как и в разд. 2, заключается в нахождении среднего 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo></math>
 дисперсии 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo></math>
 третьего центрального момента 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, квантиля 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math>
 и ожидаемых потерь 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math>
 распределения случайной величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
. Положим 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>T</mi></math>
 и добавим еще одно условие.

Предполагается, что все пары <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> удовлетворяют условиям, аналогичным А и Б. Если некоторая траектория процесса <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> до наступления момента <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>T</mi></math> достигает всех <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Θ</mi></math> плоскостей, то обозначим через <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> — момент достижения последней границы (номер этой границы не обязательно <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Θ</mi></math> ), иначе положим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>T</mi></math> ; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>H</mi><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo></math> где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>H</mi></math> — заданная строка размерности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> . Задача, как и в разд. 2, заключается в нахождении среднего <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo></math> дисперсии <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo></math> третьего центрального момента <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> , квантиля <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math> и ожидаемых потерь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math> распределения случайной величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math> . Положим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>T</mi></math> и добавим еще одно условие.

82

Условие В. Предположим, что невозмущенный процесс

ξ (t)

, определяемый последовательностью уравнений

83

\dot{ξ} (t) = f_{θ} (ξ (t))

,

t \in [τ_{θ - 1}^{}, τ_{θ}^{}]

,

θ = 1, . . ., Θ + 1

,(11)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow/></msubsup></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>
,(11)

84

достигает границ

Π_{1}

, …,

Π_{θ}

в указанной последовательности в моменты

0 < τ_{1} < . . . < τ_{Θ} < T

, причем каждое достижение происходит нетангенциально:

b_{θ} = π_{θ}^{*} {\dot{ξ}}_{θ} \neq 0

, где

{\dot{ξ}}_{θ} = f_{θ} (ξ (τ_{θ}))

,

θ = 1, . . ., Θ

.

достигает границ 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
, …, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></math>
 в указанной последовательности в моменты 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>&lt;</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub><mo>&lt;</mo><mi>T</mi></math>
, причем каждое достижение происходит нетангенциально: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>≠</mo><mn>0</mn></math>
, где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Θ</mi></math>
.

достигает границ <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> , …, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></math> в указанной последовательности в моменты <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo><</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo><</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub><mo><</mo><mi>T</mi></math> , причем каждое достижение происходит нетангенциально: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>≠</mo><mn>0</mn></math> , где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Θ</mi></math> .

85

Пусть функции

δ_{θ} (ξ)

образуют пары с функциями

f_{θ} (ξ)

, т.е. отрезки случайного процесса

ξ^{ε} (t)

при условии последовательного достижения плоскостей

Π_{1}

, …,

Π_{Θ}

в моменты

0 < τ_{1}^{ε} < τ_{2}^{ε} < . . . < τ_{Θ}^{ε} < T

описываются уравнениями:

Пусть функции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></math>
 образуют пары с функциями 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></math>
, т.е. отрезки случайного процесса 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 при условии последовательного достижения плоскостей 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
, …, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub></math>
 в моменты 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><mi>T</mi></math>
 описываются уравнениями:

Пусть функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></math> образуют пары с функциями <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></math> , т.е. отрезки случайного процесса <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> при условии последовательного достижения плоскостей <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> , …, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub></math> в моменты <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><mi>T</mi></math> описываются уравнениями:

86

d ξ^{ε} (t) = f_{θ} (ξ^{ε} (t)) d s + \sqrt{ε} δ_{θ} (ξ^{ε} (t)) d W (t)

,

t \in [τ_{θ - 1}^{ε}, τ_{θ}^{ε}]

,

θ = 1, . . ., Θ + 1 .

(12)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>s</mi><mo>+</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>W</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>
 (12)

87

Как следует из Приложения, п. 2, лемма 1 (Fleming, 1974, лемма 2.1), при малых

ε

траектории

ξ^{ε} (t)

в окрестности невозмущенной траектории

ξ (t)

дают основной вклад в распределение случайной величины

Y^{ε}

, поэтому для формулировки приближенного результата из всех пар

(f_{\cdot} (ξ), δ_{\cdot} (ξ))

достаточно задать

(f_{θ} (ξ), δ_{θ} (ξ)), θ = 1, . . ., Θ .

Как следует из Приложения, п. 2, лемма 1 (Fleming, 1974, лемма 2.1), при малых 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi></math>
 траектории 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 в окрестности невозмущенной траектории 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ξ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 дают основной вклад в распределение случайной величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
, поэтому для формулировки приближенного результата из всех пар 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mo>⋅</mo></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mo>⋅</mo></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
 достаточно задать 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>.</mo><mi> </mi></math>

Как следует из Приложения, п. 2, лемма 1 (Fleming, 1974, лемма 2.1), при малых <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi></math> траектории <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> в окрестности невозмущенной траектории <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ξ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> дают основной вклад в распределение случайной величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math> , поэтому для формулировки приближенного результата из всех пар <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mo>⋅</mo></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mo>⋅</mo></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> достаточно задать <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>.</mo><mi> </mi></math>

88

Условие Г. Предположим, что распределение случайной величины

Y^{ε}

, определяемой уравнением (12) для

θ = Θ

при начальном условии

ξ^{ε} (τ_{Θ - 1}^{ε}) = ξ (τ_{Θ - 1}^{})

, имеет плотность.

Условие Г. Предположим, что распределение случайной величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
, определяемой уравнением (12) для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Θ</mi></math>
 при начальном условии 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>ξ</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo></math>
, имеет плотность.

89

Введем следующие обозначения:

90

A_{θ} (ξ) = {‖A_{θ j}^{i} (ξ)‖}_{i, j = 1}^{n}

,

A_{θ j}^{i} (ξ) = \frac{\partial f_{θ i} (ξ)}{\partial ξ_{j}}

(

i

— номер строки),

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math>
 (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math>
 — номер строки),

91

a_{θ} (ξ) = {‖a_{θ i j} (ξ)‖}_{i, j = 1}^{n} = δ_{θ} (ξ) δ_{θ}^{*} (ξ)

,

c_{θ k}^{i j} (ξ) = \partial a_{θ i j} (ξ) / \partial ξ_{k},

F_{θ i j}^{k} (ξ) = \partial^{2} f_{θ k} (ξ) / \partial ξ_{i} \partial ξ_{j} .

Сначала рассмотрим процесс без переключений

ζ_{}^{ε} (t) .

Определим функции

γ (t) = {‖γ_{i} (t)‖}_{i = 1}^{n}

,

Γ (t) = {‖Γ_{i j} (t)‖}_{i, j = 1}^{n}

,

Μ (t) = {‖Μ_{i j k} (t)‖}_{i, j, k = 1}^{n}

как решения обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке

[0, T]

, где пока полагаем

θ = 1

:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mo>∂</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math>
 Сначала рассмотрим процесс без переключений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></math>
 Определим функции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math>
 как решения обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi></mrow></mfenced></math>
, где пока полагаем 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mo>∂</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math> Сначала рассмотрим процесс без переключений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></math> Определим функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> как решения обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> , где пока полагаем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> :

92

{\dot{γ}}_{i} (t) = \sum_{p = 1}^{n} A_{θ p}^{i} (ζ (t)) γ_{p} (t) + 0,5 \sum_{p, q = 1}^{n} F_{θ p q}^{i} (ζ (t)) Γ_{p q}^{} (t), γ (0) = 0,

(13)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>γ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>0,5</mn><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>q</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>γ</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math>
(13)

93

{\dot{Γ}}_{i j} (t) = \sum_{p = 1}^{n} \{A_{θ p}^{i} (ζ (t)) Γ_{p j}^{} (t) + A_{θ p}^{j} (ζ (t)) Γ_{p i}^{} (t)\} + a_{θ i j} (ζ (t)), Γ (0) = 0,

(14)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>i</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math>
(14)

94

\begin{matrix} {\dot{Μ}}_{i j k} (t) = \sum_{p = 1}^{n} \{A_{θ p}^{i} (ζ (t)) Μ_{p j k}^{} (t) + A_{θ p}^{j} (ζ (t)) Μ_{i p k}^{} (t) + A_{θ p}^{k} (ζ (t)) Μ_{i j p}^{} (t)\} + \\ + \sum_{p, q = 1}^{n} \{F_{θ p q}^{i} (ζ (t)) Γ_{p j} (t) Γ_{q k} (t) + F_{θ p q}^{j} (ζ (t)) Γ_{p i} (t) Γ_{q k} (t) + F_{θ p q}^{k} (ζ (t)) Γ_{p i} (t) Γ_{q j} (t)\} + \\ + \sum_{p = 1}^{n} \{c_{θ p}^{i j} (ζ (t)) Γ_{p k} (t) + c_{θ p}^{i k} (ζ (t)) Γ_{p j} (t) + c_{θ p}^{j k} (ζ (t)) Γ_{p i} (t)\}, Μ (0) = 0 . \end{matrix}

(15)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>p</mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>p</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>+</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mi>q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>q</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mi>q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>q</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mi>q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>q</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math>
 (15)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>p</mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>p</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>+</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mi>q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>q</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mi>q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>q</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mi>q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>q</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> (15)

95

Поскольку

Γ_{i j} (t), Μ_{i j k} (t)

не меняются при перестановке индексов, имеется

0,5 n (n + 1)

уравнений (14) и

n (n + 1) (n + 2) / 6

уравнений (15). Как показано в Приложении, п. 2, для любого

t \in [0, T]

среднее, ковариационная матрица и третьи центральные моменты случайного вектора

ζ_{}^{ε} (t)

могут быть представлены соответственно как

Поскольку 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 не меняются при перестановке индексов, имеется 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0,5</mn><mi>n</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>
 уравнений (14) и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>/</mo><mn>6</mn></math>
 уравнений (15). Как показано в Приложении, п. 2, для любого 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi></mrow></mfenced></math>
 среднее, ковариационная матрица и третьи центральные моменты случайного вектора 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 могут быть представлены соответственно как

Поскольку <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> не меняются при перестановке индексов, имеется <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0,5</mn><mi>n</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> уравнений (14) и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>/</mo><mn>6</mn></math> уравнений (15). Как показано в Приложении, п. 2, для любого <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> среднее, ковариационная матрица и третьи центральные моменты случайного вектора <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> могут быть представлены соответственно как

96

ζ (t) + ε γ (t) + ε^{2} Δ_{5}^{ε} (t)

,

ε Γ_{} (t) + ε^{2} Δ_{6}^{ε} (t)

,

ε^{2} Μ (t) + ε^{3} Δ_{7}^{ε} (t)

, (16)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>ε</mi><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mrow/></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>7</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, (16)

97

где для каждого

t

найдется

ε_{1} > 0

такое, что функции

Δ_{5}^{ε} (t)

,

Δ_{6}^{ε} (t)

,

Δ_{7}^{ε} (t)

ограничены для

0 < ε \leq ε_{1}

.

где для каждого 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math>
 найдется 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 такое, что функции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>7</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 ограничены для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
.

98

Переходя к процессу

ξ_{}^{ε} (t)

, сохраним данное определение функций

γ (t)

,

Γ (t)

,

Μ (t)

на полуотрезке

t \in [0, τ_{1}^{})

, переопределив для момента

τ_{1}

. Смысл этого преобразования в том, чтобы от распределения сечения процесса

ζ_{}^{ε} (t)

в фиксированный момент времени

t = τ_{1}

перейти к распределению на границе

Π_{1}

(проецирование на границу). Пусть по-прежнему

θ = 1,

I_{n \times n}

— единичная матрица,

Γ (τ_{θ}^{-})

— предел

Γ (t)

слева в точке

τ_{θ}

,

A_{θ} = A (ξ (τ_{θ}))

,

\ddot{ξ} = A_{θ} \dot{ξ}

,

{\dot{Γ}}_{θ} = A_{θ} Γ (τ_{θ}^{-}) + Γ (τ_{θ}^{-}) A_{θ}^{T} + a_{θ} (ξ (τ_{θ}))

,

L_{θ} = I_{n \times n} - {\dot{ξ}}_{θ} π_{θ}^{T} / b_{θ}

,

μ = L \ddot{ξ} / b^{2}

,

Z_{θ} = L_{θ} {\dot{Γ}}_{θ} L_{θ}^{T}

,

z_{θ} = L_{θ} Γ (τ_{θ}^{-}) π_{θ}

.

Переходя к процессу 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, сохраним данное определение функций 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 на полуотрезке 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow></mfenced></math>
, переопределив для момента 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
. Смысл этого преобразования в том, чтобы от распределения сечения процесса 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 в фиксированный момент времени 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 перейти к распределению на границе 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 (проецирование на границу). Пусть по-прежнему 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mrow></msub></math>
 — единичная матрица, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math>
 — предел 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 слева в точке 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>A</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>¨</mo></mover><mo>=</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mo>/</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>μ</mi><mo>=</mo><mi>L</mi><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>¨</mo></mover><mo>/</mo><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></math>
.

Переходя к процессу <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> , сохраним данное определение функций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> на полуотрезке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow></mfenced></math> , переопределив для момента <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> . Смысл этого преобразования в том, чтобы от распределения сечения процесса <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> в фиксированный момент времени <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> перейти к распределению на границе <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> (проецирование на границу). Пусть по-прежнему <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mrow></msub></math> — единичная матрица, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math> — предел <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> слева в точке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>A</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>¨</mo></mover><mo>=</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>ξ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mo>/</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>μ</mi><mo>=</mo><mi>L</mi><mover accent="true"><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mo>¨</mo></mover><mo>/</mo><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></math> .

99

Преобразование имеет вид:

100

γ (τ_{θ}) = - \frac{1}{b_{θ}} L_{θ} A_{θ} Γ (τ_{θ}^{-}) π_{θ} + 0,5 π_{θ}^{T} Γ (τ_{θ}^{-}) π_{θ} μ_{θ} + L_{θ} γ (τ_{θ}^{-}),

(17)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mn>0,5</mn><msubsup><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mi>γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
(17)

101

Γ (τ_{θ}) = L_{θ} Γ (τ_{θ}^{-}) L_{θ}^{T}

,(18)

102

\begin{matrix} Μ_{i j k}^{} (τ_{θ}) = μ_{θ}^{i} z_{θ j}^{} z_{θ k}^{} + μ_{θ}^{j} z_{θ i}^{} z_{θ k}^{} + μ_{θ}^{k} z_{θ i}^{} z_{θ j}^{} - (z_{θ i}^{} Z_{θ j k}^{} + z_{θ j}^{} Z_{θ i k}^{} + z_{θ k}^{} Z_{θ i j}^{}) / b_{θ} + \\ + \sum_{p, q, r = 1}^{n} L_{θ p}^{i} L_{θ q}^{j} L_{θ r}^{k} Μ_{p q r}^{} (τ_{θ}^{-}), i, j, k = 1, . . ., n . \end{matrix}

(19)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow><mrow/></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow><mrow/></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>/</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>q</mi><mi>r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math>
(19)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow><mrow/></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow><mrow/></msubsup><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>/</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>q</mi><mi>r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> (19)

103

Далее

γ (τ_{1})

,

Γ (τ_{1})

,

Μ (τ_{1})

становятся начальными для уравнений (13)–(15) на полуотрезке

[τ_{1}, τ_{2}^{})

с заменой

θ = 1

на

θ = 2

и невозмущенного процесса

ζ (t)

на

ξ (t)

. Затем по формулам (17)–(19) делается преобразование для

θ = 2

:

Далее 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>γ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math>
 становятся начальными для уравнений (13)–(15) на полуотрезке 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow></mfenced></math>
 с заменой 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 на 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math>
 и невозмущенного процесса 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 на 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ξ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
. Затем по формулам (17)–(19) делается преобразование для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math>
:

Далее <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>γ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> становятся начальными для уравнений (13)–(15) на полуотрезке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow></mfenced></math> с заменой <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> на <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math> и невозмущенного процесса <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> на <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ξ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> . Затем по формулам (17)–(19) делается преобразование для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math> :

104

\{γ (τ_{θ}^{-}), Γ (τ_{θ}^{-}), Μ (τ_{θ}^{-})\} \to \{γ (τ_{θ}), Γ (τ_{θ}), Μ (τ_{θ})\} .

(20)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>γ</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>→</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>γ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>
(20)

105

Эта процедура повторяется для последующих отрезков

[τ_{θ - 1}, τ_{θ}]

до получения финальных значений

γ (τ_{Θ})

,

Γ (τ_{Θ})

,

Μ (τ_{Θ})

.

Эта процедура повторяется для последующих отрезков 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 до получения финальных значений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>γ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Μ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
.

106

Определим

{\tilde{q}}_{}^{ε} (α)

,

{\tilde{Q}}_{}^{ε} (α)

выражениями:

107

{\tilde{q}}^{ε} (α) = m + \sqrt{ε} σ β_{α} + ε [Δ m + χ σ (β_{α}^{2} - 1) / 6],

(21)

108

{\tilde{Q}}^{ε} (α) = m - \sqrt{ε} σ ϕ (β_{α}) / α + ε [Δ m - χ σ β_{α} ϕ (β_{α}) / 6 α],

(22)

109

где

m = H ξ (τ_{θ})

,

Δ m = H γ (τ_{Θ})

,

V = H Γ (τ_{Θ}) H^{T}

,

M = \sum_{i, j, k = 1}^{n} H_{i} H_{j} H_{k} Μ_{i j k}^{} (τ_{Θ})

,

σ = \sqrt{V}

,

χ = M σ^{- 3} .

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi><mo>=</mo><mi>H</mi><mi>ξ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mo>=</mo><mi>H</mi><mi>γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>H</mi><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>M</mi><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>σ</mi><mo>=</mo><msqrt><mi>V</mi></msqrt></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>χ</mi><mo>=</mo><mi>M</mi><msup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math>

где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi><mo>=</mo><mi>H</mi><mi>ξ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mo>=</mo><mi>H</mi><mi>γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>H</mi><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>M</mi><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Μ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>σ</mi><mo>=</mo><msqrt><mi>V</mi></msqrt></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>χ</mi><mo>=</mo><mi>M</mi><msup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math>

110

Утверждение 3.

111

При условиях А–В для некоторого $0 < ε_{1} \leq 1$ : $m^{ε} = m + ε Δ m + ε^{2} Δ_{8}^{ε}$ , $V_{}^{ε} = ε V + ε^{2} Δ_{9}^{ε},$ $M_{}^{ε} = ε^{2} M + ε^{3} Δ_{10}^{ε}$ , где $Δ_{8}^{ε}$ , $Δ_{9}^{ε}$ , $Δ_{10}^{ε}$ ограничены для $0 < ε \leq ε_{1}$ ;

<ol> <li>При условиях А–В для некоторого 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></math>
: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>ε</mi><mi>V</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>M</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
 ограничены для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
;</li></ol>

<ol> <li>При условиях А–В для некоторого <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></math> : <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>ε</mi><mi>V</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>M</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> , где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> ограничены для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> ;</li></ol>

112

2. При дополнительных условиях Г и

V > 0

для любого

α < 0,5

найдется

0 < ε_{1} (α) \leq 1

такое, что

113

q_{}^{ε} (α) = {\tilde{q}}_{}^{ε} (α) + ε^{3 / 2} Δ_{11}^{ε} (α)

, (23)

114

Q_{}^{ε} (α) = {\tilde{Q}}_{}^{ε} (α) + ε^{3 / 2} Δ_{12}^{ε} (α)

, (24)

115

где

Δ_{11}^{ε} (α)

,

Δ_{12}^{ε} (α)

ограничены для

0 < ε \leq ε_{1} (α)

.

116

Пример 3. Пусть портфель состоит из короткой позиции по опциону колл, количество

X (0) = - 90

, страйк

E = 100

, срок до экспирации

T e x p = 12 / 252

. Базовым активом опциона является фьючерсный контракт, цена опциона определяется формулой Блэка

C (F, Ω, t)

, в которой процентную ставку положим равной нулю. Цена базового фьючерса

F (t)

и подразумеваемая волатильность

Ω (t)

описываются геометрическими броуновскими движениями:

Пример 3. Пусть портфель состоит из короткой позиции по опциону колл, количество 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>90</mn></math>
, страйк 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>E</mi><mo>=</mo><mn>100</mn></math>
, срок до экспирации 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>T</mi><mi>e</mi><mi>x</mi><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>12</mn><mo>/</mo><mn>252</mn></math>
. Базовым активом опциона является фьючерсный контракт, цена опциона определяется формулой Блэка 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
, в которой процентную ставку положим равной нулю. Цена базового фьючерса 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 и подразумеваемая волатильность 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 описываются геометрическими броуновскими движениями:

Пример 3. Пусть портфель состоит из короткой позиции по опциону колл, количество <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>90</mn></math> , страйк <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>E</mi><mo>=</mo><mn>100</mn></math> , срок до экспирации <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>T</mi><mi>e</mi><mi>x</mi><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>12</mn><mo>/</mo><mn>252</mn></math> . Базовым активом опциона является фьючерсный контракт, цена опциона определяется формулой Блэка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> , в которой процентную ставку положим равной нулю. Цена базового фьючерса <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> и подразумеваемая волатильность <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> описываются геометрическими броуновскими движениями:

117

d F (t) = δ F (t) d W_{1} (t), F (0) = 100, d Ω (t) = ν Ω (t) d W_{2} (t), Ω (0) = 0,4,

δ = 0,4

,

ν = 2,0

. Винеровские процессы

W_{1} (t)

,

W_{2} (t)

являются независимыми. Ликвидация позиции начинается в момент

t_{0} = 0

и происходит в соответствии с

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>δ</mi><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>100</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>d</mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0,4</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>δ</mi><mo>=</mo><mn>0,4</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ν</mi><mo>=</mo><mn>2,0</mn></math>
. Винеровские процессы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 являются независимыми. Ликвидация позиции начинается в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 и происходит в соответствии с

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>δ</mi><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>100</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>d</mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0,4</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>δ</mi><mo>=</mo><mn>0,4</mn></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ν</mi><mo>=</mo><mn>2,0</mn></math> . Винеровские процессы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> являются независимыми. Ликвидация позиции начинается в момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math> и происходит в соответствии с

118

d X (t) = - u (F (t)) d t, u (F) = u_{0} [0,7 e x p \{- q {(F / E - 1)}^{2}\} + 0,3], q = 100 l n (2), u_{0} / 252 = 30 .

119

Минимальная скорость закрытия

0,3 u_{0}

гарантирует ликвидацию позиции за 10 дней, т.е. в пределах срока действия опциона. Если бы цена базового актива сохранялась на уровне страйка, закрытие заняло бы 3 дня. Коэффициент

q

выбран так, что при смещении

F

от начального значения на 10% экспонента снижается до 0,5. Данная формула для скорости закрытия выбрана произвольно, но качественно соответствует наблюдаемому на торгах снижению ликвидности серии опционов при удалении цены базового актива от страйка.

120

Рассмотрим опцион в двух вариантах: а) традиционный (up front); б) маржируемый (futures-style). В первом случае финансовый результат дается уравнением вида (4), во втором — вида (5), с заменой цены акции на цену опциона. Как и в разд. 2, применение формулы Ито к процессу

X (t) C (t)

показывает, что распределение финансового результата в вариантах а) и б) отличается только сдвигом на начальную стоимость опционов

m_{0} = X (0) C (0) = - 313,30

.

Рассмотрим опцион в двух вариантах: а) традиционный (up front); б) маржируемый (futures-style). В первом случае финансовый результат дается уравнением вида (4), во втором — вида (5), с заменой цены акции на цену опциона. Как и в разд. 2, применение формулы Ито к процессу 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 показывает, что распределение финансового результата в вариантах а) и б) отличается только сдвигом на начальную стоимость опционов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>313,30</mn></math>
.

121

Предположим, что закрытие опционной позиции осуществляется владельцем портфеля, который в процессе ликвидации непрерывно поддерживает дельта-нейтральную позицию для уменьшения неопределенности финансового результат (базовый фьючерс считаем значительно более ликвидным, чем опцион). Поскольку в вариантах а) и б) фьючерсная позиция изменяется одинаково, вывод о сдвиге распределений на величину

m_{0}

сохраняется.

122

В уравнении (10) вектор состояния имеет размерность 5. Функция

f_{1} (ζ)

и матрица

δ_{1} (ζ)

в вариантах а) и б) имеют вид (опуская индекс 1):

123

традиционный вариант — $f = {(- u (F), 0,0, C (F, Ω, t), 1)}^{T}$ ; $δ$ — нулевая матрица размера $5 \times 2$ , за исключением $δ (2,1) = δ F, δ (3,2) = ν Ω, δ (4,1) = - X Δ δ F;$
маржируемый вариант — $f = {(- u (F), 0, 0, X (θ + 0,5 Γ δ^{2} F^{2} + 0,5 V o l g a ν^{2} Ω^{2}), 1)}^{T};$ $δ$ — нулевая матрица размера $5 \times 2$ , за исключением $δ (2,1) = δ F, δ (3,2) = ν Ω, δ (4,2) = X V e g a ν Ω .$

<ul class="docx-publication-list"> <li> традиционный вариант — 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mi>u</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>F</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mn>0,0</mn><mo>,</mo><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math>
; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>δ</mi></math>
 — нулевая матрица размера 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>2</mn></math>
, за исключением 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>2,1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mi>F</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>3,2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>4,1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>-</mo><mi>X</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>δ</mi><mi>F</mi><mo>;</mo></math>
</li> <li> маржируемый вариант — 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mi>u</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>F</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>0,5</mn><mi mathvariant="normal">Γ</mi><msup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>0,5</mn><mi>V</mi><mi>o</mi><mi>l</mi><mi>g</mi><mi>a</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msup><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Ω</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mo>;</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">δ</mi></math>
 — нулевая матрица размера 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>2</mn></math>
, за исключением 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>2,1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mi>F</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>3,2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>4,2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>X</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>V</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>a</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo>.</mo></math>
</li></ul>

<ul class="docx-publication-list"> <li> традиционный вариант — <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mi>u</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>F</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mn>0,0</mn><mo>,</mo><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> ; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>δ</mi></math> — нулевая матрица размера <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>2</mn></math> , за исключением <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>2,1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mi>F</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>3,2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>4,1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>-</mo><mi>X</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>δ</mi><mi>F</mi><mo>;</mo></math> </li> <li> маржируемый вариант — <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mi>u</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>F</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>0,5</mn><mi mathvariant="normal">Γ</mi><msup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>0,5</mn><mi>V</mi><mi>o</mi><mi>l</mi><mi>g</mi><mi>a</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msup><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Ω</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mo>;</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">δ</mi></math> — нулевая матрица размера <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>2</mn></math> , за исключением <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>2,1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mi>F</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>3,2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>4,2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>X</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>V</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>a</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>ν</mi><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo>.</mo></math> </li></ul>

124

В данном примере

θ, Δ, Γ, V e g a, V o l g a

— частные производные стоимости опциона («греки»).

125

Частные производные в уравнениях (13)–(15) определялись численным методом. Параметры финансового результата получены методом Монте-Карло по

1 0^{6}

испытаний с шагом

Δ t = 0,01 / 252

. Для сопоставимости результатов в первой колонке для Монте-Карло (вариант а) указана величина

m^{ε} - m_{0}

, а для аппроксимация (вариант а) — величина

m + Δ m - m_{0}

(табл. 4).

Частные производные в уравнениях (13)–(15) определялись численным методом. Параметры финансового результата получены методом Монте-Карло по 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></msup></math>
 испытаний с шагом 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0,01</mn><mo>/</mo><mn>252</mn></math>
. Для сопоставимости результатов в первой колонке для Монте-Карло (вариант а) указана величина 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, а для аппроксимация (вариант а) — величина 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
 (табл. 4).

126

Таблица 4

127

Метод	$m^{ε}$	$σ^{ε}$	$χ^{ε}$	$V a R^{ε} (α)$	$C V a R^{ε} (α)$
Монте-Карло	Вариант а	–0,47	33,73	–0,52	113,40	130,42
	Вариант б	-0,52	33,71	–0,52	113,48	130,41
Аппроксимация	Вариант а	–1,38	35,26	–0,40	98,25	113,74	108,90	128,71
	Вариант б	–0,66	34,34	–0,50	95,03	113,73	105,40	129,32

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Метод</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Монте-Карло </td><td class="docx-publication-cell"> Вариант а</td><td class="docx-publication-cell"> –0,47</td><td class="docx-publication-cell"> 33,73</td><td class="docx-publication-cell"> –0,52</td><td class="docx-publication-cell"> 113,40</td><td class="docx-publication-cell"> 130,42</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Вариант б </td><td class="docx-publication-cell"> -0,52</td><td class="docx-publication-cell"> 33,71</td><td class="docx-publication-cell"> –0,52</td><td class="docx-publication-cell"> 113,48</td><td class="docx-publication-cell"> 130,41</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Аппроксимация </td><td class="docx-publication-cell"> Вариант а</td><td class="docx-publication-cell"> –1,38</td><td class="docx-publication-cell"> 35,26</td><td class="docx-publication-cell"> –0,40</td><td class="docx-publication-cell"> 98,25</td><td class="docx-publication-cell"> 113,74</td><td class="docx-publication-cell"> 108,90</td><td class="docx-publication-cell"> 128,71</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Вариант б</td><td class="docx-publication-cell"> –0,66</td><td class="docx-publication-cell"> 34,34</td><td class="docx-publication-cell"> –0,50</td><td class="docx-publication-cell"> 95,03</td><td class="docx-publication-cell"> 113,73</td><td class="docx-publication-cell"> 105,40</td><td class="docx-publication-cell"> 129,32</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Метод</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Монте-Карло </td><td class="docx-publication-cell"> Вариант а</td><td class="docx-publication-cell"> –0,47</td><td class="docx-publication-cell"> 33,73</td><td class="docx-publication-cell"> –0,52</td><td class="docx-publication-cell"> 113,40</td><td class="docx-publication-cell"> 130,42</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Вариант б </td><td class="docx-publication-cell"> -0,52</td><td class="docx-publication-cell"> 33,71</td><td class="docx-publication-cell"> –0,52</td><td class="docx-publication-cell"> 113,48</td><td class="docx-publication-cell"> 130,41</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Аппроксимация </td><td class="docx-publication-cell"> Вариант а</td><td class="docx-publication-cell"> –1,38</td><td class="docx-publication-cell"> 35,26</td><td class="docx-publication-cell"> –0,40</td><td class="docx-publication-cell"> 98,25</td><td class="docx-publication-cell"> 113,74</td><td class="docx-publication-cell"> 108,90</td><td class="docx-publication-cell"> 128,71</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Вариант б</td><td class="docx-publication-cell"> –0,66</td><td class="docx-publication-cell"> 34,34</td><td class="docx-publication-cell"> –0,50</td><td class="docx-publication-cell"> 95,03</td><td class="docx-publication-cell"> 113,73</td><td class="docx-publication-cell"> 105,40</td><td class="docx-publication-cell"> 129,32</td></tr></table>

128

В данном примере аппроксимация при варианте б) оказывается несколько более точной. В обоих вариантах гауссовские приближения

V a R^{ε} (α)

,

C V a R^{ε} (α)

получаются заниженными (значения слева), учет асимметрии значительно улучшает оценки.

129

Закрытие крупной биржевой позиции может быть осуществлено одномоментно, если на рынке присутствуют участники, готовые по запросу дать котировки на большие объемы (в частности, список таких участников предоставляет Московская биржа). Приведенные выше соотношения позволяют выразить котировку в вероятностных терминах. Текущая цена опциона составляет

C (0) = 3,48 .

Предположим, что имеется возможность закрыть позицию по цене

C = 3,65,

потери по всему портфелю составят 15,20. Такое значение

{\tilde{V a R}}^{ε} (α)

получается при

α = 0,307

(метод Монте-Карло дает 0,305), т.е. при растянутом во времени закрытии на биржевом рынке можно ожидать худшего результата, чем при одномоментном, с вероятностью около 30%.

Закрытие крупной биржевой позиции может быть осуществлено одномоментно, если на рынке присутствуют участники, готовые по запросу дать котировки на большие объемы (в частности, список таких участников предоставляет Московская биржа). Приведенные выше соотношения позволяют выразить котировку в вероятностных терминах. Текущая цена опциона составляет 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>3,48</mn><mo>.</mo></math>
 Предположим, что имеется возможность закрыть позицию по цене 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mo>=</mo><mn>3,65</mn><mo>,</mo></math>
 потери по всему портфелю составят 15,20. Такое значение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>V</mi><mi>a</mi><mi>R</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
 получается при 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0,307</mn></math>
 (метод Монте-Карло дает 0,305), т.е. при растянутом во времени закрытии на биржевом рынке можно ожидать худшего результата, чем при одномоментном, с вероятностью около 30%.

Закрытие крупной биржевой позиции может быть осуществлено одномоментно, если на рынке присутствуют участники, готовые по запросу дать котировки на большие объемы (в частности, список таких участников предоставляет Московская биржа). Приведенные выше соотношения позволяют выразить котировку в вероятностных терминах. Текущая цена опциона составляет <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>3,48</mn><mo>.</mo></math> Предположим, что имеется возможность закрыть позицию по цене <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mo>=</mo><mn>3,65</mn><mo>,</mo></math> потери по всему портфелю составят 15,20. Такое значение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>V</mi><mi>a</mi><mi>R</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> получается при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0,307</mn></math> (метод Монте-Карло дает 0,305), т.е. при растянутом во времени закрытии на биржевом рынке можно ожидать худшего результата, чем при одномоментном, с вероятностью около 30%.

130

Вместо формулы Блэка можно использовать какую-либо модель стохастической волатильности, например SABR. Для опционов вне денег аппроксимации становятся все менее удовлетворительными по мере отклонения

F (0)

от страйка, поскольку зависимость цены опциона от

F

в окрестности

F (0)

все заметнее отличается от параболы, а приближения используют частные производные до второго порядка. В этом случае можно в некоторой окрестности

F (0)

заменить цену опциона на верхнюю параболическую границу (для короткой позиции) или на нижнюю границу (для длинной позиции) и получить оценки сверху для

V a R^{ε} (α)

,

C V a R^{ε} (α)

.

Вместо формулы Блэка можно использовать какую-либо модель стохастической волатильности, например SABR. Для опционов вне денег аппроксимации становятся все менее удовлетворительными по мере отклонения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced></math>
 от страйка, поскольку зависимость цены опциона от 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi></math>
 в окрестности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced></math>
 все заметнее отличается от параболы, а приближения используют частные производные до второго порядка. В этом случае можно в некоторой окрестности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced></math>
 заменить цену опциона на верхнюю параболическую границу (для короткой позиции) или на нижнюю границу (для длинной позиции) и получить оценки сверху для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math>
.

Вместо формулы Блэка можно использовать какую-либо модель стохастической волатильности, например SABR. Для опционов вне денег аппроксимации становятся все менее удовлетворительными по мере отклонения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced></math> от страйка, поскольку зависимость цены опциона от <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi></math> в окрестности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced></math> все заметнее отличается от параболы, а приближения используют частные производные до второго порядка. В этом случае можно в некоторой окрестности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced></math> заменить цену опциона на верхнюю параболическую границу (для короткой позиции) или на нижнюю границу (для длинной позиции) и получить оценки сверху для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mi>V</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> .

131

Приложение

132

1. Пусть компоненты портфеля пронумерованы в порядке неубывания

τ_{i}

, т.е.

τ_{1} \leq \dots \leq τ_{n}

. Для совпадающих

τ_{i}

порядок следования значения не имеет. Обозначим

133

M = t_{0}^{2} \overset{n}{\sum_{i, j, k = 1}} X_{i} X_{j} X_{k} S_{i} S_{j} S_{k} δ_{i} δ_{j} δ_{k} (δ_{i} ρ_{i j} ρ_{i k} + δ_{j} ρ_{j i} ρ_{j k} + δ_{k} ρ_{k i} ρ_{k j}) + \overset{n}{\sum_{i = 1}} \overset{n}{\sum_{j = i}} \overset{n}{\sum_{k = j}} (t_{0} {M'}_{i j k} + {M''}_{i j k}),

134

где

{M'}_{i j k}

,

{M''}_{i j k}

равны:

135

– если

i = j = k,

то

M_{i i i}^{'} = 2 τ_{i} S_{i}^{3} X_{i}^{3} δ_{i}^{4},

M_{i i i}^{"} = \frac{2}{5} τ_{i}^{2} S_{i}^{3} X_{i}^{3} δ_{i}^{4};

– если 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math>
 то 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>i</mi><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>2</mn><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>i</mi><mi>i</mi></mrow><mrow><mo>"</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msubsup><mo>;</mo></math>

136

– если

i = j < k,

то

M_{i i k}^{'} = τ_{i} S_{i}^{2} S_{k} δ_{i}^{2} δ_{k} ρ_{i k} [2 X_{i}^{2} X_{k} δ_{i} + (3 τ_{k} - τ_{i}) X_{i}^{2} u_{k} (δ_{i} + δ_{k} ρ_{i k})],

– если 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mi>j</mi><mo>&lt;</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math>
 то 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>2</mn><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>3</mn><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>

137

M_{i i k}^{"} = \frac{1}{20} S_{i}^{2} S_{k} X_{i}^{2} u_{k} δ_{i}^{2} δ_{k} ρ_{i k} τ_{i}^{2} [(25 τ_{k} - 9 τ_{i}) δ_{i} + (15 τ_{k} - 7 τ_{i}) δ_{k} ρ_{i k}];

138

– если

i < j = k,

то

{M'}_{i k k} = S_{i} S_{k}^{2} δ_{i} δ_{k}^{2} ρ_{i k} [2 X_{i}^{2} X_{k} δ_{k} τ_{k} + (3 τ_{k} - τ_{i}) τ_{i} u_{k} X_{k} X_{i} (δ_{k} + δ_{i} ρ_{i k})],

– если 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>&lt;</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>,</mo></math>
 то 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>M</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>2</mn><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>3</mn><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>

139

{M''}_{i k k} = 0,5 S_{i} S_{k}^{2} X_{i} u_{k}^{2} δ_{i} δ_{k}^{2} ρ_{i k} τ_{i} [(20 τ_{k}^{3} - 5 τ_{k} τ_{i}^{2} + τ_{i}^{3}) δ_{k} + τ_{i} (20 τ_{k}^{2} - 15 τ_{i} τ_{k} + 3 τ_{i}^{2}) δ_{i} ρ_{i k}];

140

– если

i < j < k,

то

141

{M'}_{i j k} = S_{i} S_{j} S_{k} δ_{i} δ_{j} δ_{k} [(3 τ_{j} - τ_{i}) τ_{i} X_{k} X_{i} u_{j} ρ_{i j} (δ_{i} ρ_{i k} + δ_{j} ρ_{j k}) + (3 τ_{k} - τ_{j}) τ_{j} X_{i} X_{j} u_{k} ρ_{j k} (δ_{j} ρ_{i j} + δ_{k} ρ_{k i})],

142

{M''}_{i j k} = 0,05 τ_{i}^{2} S_{i} u_{i} S_{j} u_{j} S_{k} u_{k} δ_{i} δ_{j} δ_{k} (p δ_{i} ρ_{i j} ρ_{i k} + q δ_{j} ρ_{j i} ρ_{j k} + r δ_{k} ρ_{k i} ρ_{k j})

,

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>M</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,05</mn><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>p</mi><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>q</mi><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
,

143

p = 40 τ_{i} τ_{j} τ_{k} - 15 τ_{k} τ_{i}^{2} - 15 τ_{j} τ_{i}^{2} + 6 τ_{i}^{3}

,

q = 30 τ_{j}^{2} τ_{k} - 10 τ_{j}^{3} - 5 τ_{i}^{2} τ_{k} + τ_{i}^{3}

,

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>40</mn><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn>15</mn><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><mn>15</mn><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mn>6</mn><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mo>=</mo><mn>30</mn><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn>10</mn><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><mn>5</mn><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></math>
,

144

r = 30 τ_{j}^{2} τ_{k} - 10 τ_{j}^{3} - 5 τ_{i}^{2} τ_{j} + τ_{i}^{3} .

145

2. В случае

Θ = 1

имеем обычную граничную задачу при малых возмущениях. Введем следующие обозначения:

m (x) = H ζ_{x} (τ_{x}),

где

τ_{x}

является моментом достижения невозмущенной траекторией поверхности

Π_{1}

при начальном условии

ζ_{x} (0) = x

,

2. В случае 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 имеем обычную граничную задачу при малых возмущениях. Введем следующие обозначения: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>H</mi><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
 где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">τ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></math>
 является моментом достижения невозмущенной траекторией поверхности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 при начальном условии 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>x</mi></math>
,

146

Δ m (x) = 0,5 \int_{0}^{τ_{x}} \sum_{i, j = 1}^{n} {\frac{\partial^{2} m (ζ)}{\partial ζ_{i} \partial ζ_{j}} a_{i j} (ζ)|}_{ζ = ζ_{x} (t)} d t, V (x) = \int_{0}^{τ_{x}} \sum_{i, j = 1}^{n} {\frac{\partial m (ζ)}{\partial ζ_{i}} \frac{\partial m (ζ)}{\partial ζ_{j}} a_{i j} (ζ)|}_{ζ = ζ_{x} (t)} d t,

147

M (x) = 3 \overset{τ_{x}}{\int_{0}} \overset{n}{\sum_{i, j = 1}} {\frac{\partial m (ζ)}{\partial ζ_{i}} \frac{\partial V (ζ)}{\partial ζ_{j}} a_{i j} (ζ)|}_{ζ = ζ_{x} (t)} d t .

148

Эти функции могут быть представлены как решение задачи Коши (13)–(15) с преобразованием (17)–(19). Соответствующие выкладки содержатся в (Балабушкин, 1991), где доказан п. 1 из утверждения 3. Ниже приведено доказательство п. 2.

149

Введем трубку радиуса

ρ > 0

вокруг невозмущенной траектории

ζ_{x} (t)

:

U^{ρ} (x) = \overset{}{\underset{0 \leq t \leq T}{\cup}} \{ζ \in R^{n} : |ζ - ζ_{x} (t)| < ρ\}

, где

|\cdot|

— евклидова норма в

R^{n}

.

Введем трубку радиуса 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ρ</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 вокруг невозмущенной траектории 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mover><mrow><munder><mrow><mo>∪</mo></mrow><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>T</mi></mrow></munder></mrow><mrow/></mover><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>:</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>ζ</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>&lt;</mo><mi>ρ</mi></mrow></mfenced></math>
, где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>⋅</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mfenced></math>
 — евклидова норма в 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></math>
.

150

Лемма 1 (Fleming, 1974, lemma 2.1). Для любых

ρ > 0

и компактного множества

K \subset R^{n}

найдутся

λ > 0

и

ε_{1} > 0

такие, что

151

P [\exists t \in [0, T] : ζ_{x}^{ε} (t) \notin U^{ρ} (x)] \leq 2 n e x p [- ρ λ / \sqrt{ε}]

152

для всех

x \in K

,

0 < ε \leq ε_{1}

.

153

При

Θ = 1

τ_{1}^{ε} = i n f (t \geq 0 : ζ_{}^{ε} (t) \in Π_{1}) (i n f \emptyset = T)

. Обозначим

U_{1}^{ρ}

часть трубки

U^{ρ}

, которая содержит точку

x

и лежит по одну сторону от плоскости

Π_{1}

. Пусть

{\tilde{τ}}_{1}^{ε} = i n f (t \geq 0 : ζ_{}^{ε} (t) \notin U_{1}^{ρ})

, тогда по определению

{\tilde{τ}}_{1}^{ε} \leq τ_{1}^{ε}

. По условию В можно выбрать достаточно малое

ρ > 0

так, что

{\tilde{τ}}_{1}^{ε} < T

. Разобьем границу

\partial U_{1}^{ρ}

на

\partial U_{11}^{ρ} = \partial U_{1}^{ρ} \cap Π_{1}

и

\partial U_{12}^{ρ} = \partial U_{1}^{ρ} \ \partial U_{11}^{ρ}

. Из леммы 1 следует, что

p^{ε} = P ({\tilde{τ}}_{1}^{ε} < τ_{1}^{ε}) \to 0

при

ε \to 0

быстрее любой степени

ε

.

При 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>:</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>∈</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">∅</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math>
. Обозначим 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math>
 часть трубки 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msup></math>
, которая содержит точку 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi></math>
 и лежит по одну сторону от плоскости 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
. Пусть 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>:</mo><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>∉</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math>
, тогда по определению 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>≤</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
. По условию В можно выбрать достаточно малое 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ρ</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 так, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><mi>T</mi></math>
. Разобьем границу 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math>
 на 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>11</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup><mo>∩</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup><mo>\</mo><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>11</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math>
. Из леммы 1 следует, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>→</mo><mn>0</mn></math>
 при 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></math>
 быстрее любой степени 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi></math>
.

При <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>:</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>∈</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">∅</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math> . Обозначим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math> часть трубки <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msup></math> , которая содержит точку <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi></math> и лежит по одну сторону от плоскости <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> . Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>:</mo><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>∉</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math> , тогда по определению <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>≤</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> . По условию В можно выбрать достаточно малое <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ρ</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> так, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><mi>T</mi></math> . Разобьем границу <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math> на <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>11</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup><mo>∩</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup><mo>\</mo><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>11</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math> . Из леммы 1 следует, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>→</mo><mn>0</mn></math> при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></math> быстрее любой степени <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi></math> .

154

Рассмотрим в качестве аппроксимации характеристической функции

ψ_{λ}^{ε} (x) = E e x p (i λ Y_{x}^{ε})

выражение

155

{\tilde{ψ}}_{λ}^{ε} (x) = (1 + (i λ)^{3} ε^{2} M (x) / 6) e x p (i λ (m (x) + ε Δ m (x)) - 0,5 ε λ^{2} V (x)) .

156

Применяя к

{\tilde{ψ}}_{λ}^{ε} (ζ_{x}^{ε} (t))

формулу Ито, получаем

157

ψ_{λ}^{ε} (x) = {\tilde{ψ}}_{λ}^{ε} (x) + Δ ψ_{2} + Δ ψ_{3}

,(П1)

158

где

159

Δ ψ_{2} = E [e x p (i λ Y_{}^{ε}) - {\tilde{ψ}}_{λ}^{ε} (ζ_{}^{ε} ({\tilde{τ}}_{1}^{ε}))]

,

Δ ψ_{3} = E \int_{0}^{{\tilde{τ}}_{1}^{ε}} L_{1}^{ε} {\tilde{ψ}}_{λ}^{ε} (ζ_{}^{ε} (t)) d t

,

L_{1}^{ε} ψ (ζ) \overset{d e f}{=} \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial ψ (ζ)}{\partial ζ_{i}} f_{1 i} (ζ) + 0,5 ε \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{\partial^{2} ψ (ζ)}{\partial ζ_{i} \partial ζ_{j}} a_{1 i j} (ζ)

.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>E</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mi>λ</mi><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>E</mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mi>ψ</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo><mover><mrow><mo>=</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>f</mi></mrow></mover><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>ψ</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>0,5</mn><mi>ε</mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>∂</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>ψ</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math>
.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>E</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mi>λ</mi><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>E</mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mi>ψ</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo><mover><mrow><mo>=</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>f</mi></mrow></mover><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>ψ</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>0,5</mn><mi>ε</mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>∂</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>ψ</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math> .

160

Обозначим

F^{ε} (r)

функцию распределения случайной величины

ε^{- 0,5} [Y^{ε} - m - ε Δ m]

,

F^{ε, ϑ} (r)

— функцию распределения суммы этой случайной величины и гауссовской случайной величины

η

с нулевым средним и дисперсией

ϑ^{2} > 0

, не зависящей от

Y^{ε}

. По условию Г функция

F^{ε} (r)

абсолютно непрерывна. Для любых

a < b

Обозначим 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></math>
 функцию распределения случайной величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><mo>,</mo><mi>ϑ</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></math>
 — функцию распределения суммы этой случайной величины и гауссовской случайной величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>η</mi></math>
 с нулевым средним и дисперсией 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ϑ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
, не зависящей от 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow></msup></math>
. По условию Г функция 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></math>
 абсолютно непрерывна. Для любых 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>&lt;</mo><mi>b</mi></math>

Обозначим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></math> функцию распределения случайной величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><mo>,</mo><mi>ϑ</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></math> — функцию распределения суммы этой случайной величины и гауссовской случайной величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>η</mi></math> с нулевым средним и дисперсией <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ϑ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>></mo><mn>0</mn></math> , не зависящей от <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow></msup></math> . По условию Г функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></math> абсолютно непрерывна. Для любых <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo><</mo><mi>b</mi></math>

161

F^{ε, ϑ} (b) - F^{ε, ϑ} (a) = {(2 π)}^{- 1} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{- i λ a} - e^{- i λ b}}{i λ} ψ_{λ / \sqrt{ε}}^{ε} e x p (- \frac{i λ}{\sqrt{ε}} (m + ε Δ m) - 0,5 λ^{2} ϑ^{2}) d λ .

(П2)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><mo>,</mo><mi>ϑ</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><mo>,</mo><mi>ϑ</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>a</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>b</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>λ</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>λ</mi><mo>/</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>i</mi><mi>λ</mi></mrow><mrow><msqrt><mi>ε</mi></msqrt></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mn>0,5</mn><msup><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>ϑ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>λ</mi><mo>.</mo></math>
 (П2)

162

Наличие вспомогательного множителя

e x p (- 0,5 λ^{2} ϑ^{2})

позволяет в дальнейшем применять теорему Фубини о замене порядка интегрирования в повторных интегралах. Подставляя (П1) в (П2), рассмотрим отдельно каждое слагаемое:

163

1) подстановка

{\tilde{ψ}}_{λ / \sqrt{ε}}^{ε}

, замена

(e^{- i λ a} - e^{- i λ b}) / i λ = \int_{a}^{b} e^{- i λ r} d r

и изменение порядка интегрирования приводят к выражению

{F_{1}}^{ε, ϑ} (b) - {F_{1}}^{ε, ϑ} (a)

, где

1) подстановка 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>λ</mi><mo>/</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, замена 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>a</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>r</mi></mrow></msup><mi>d</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></math>
 и изменение порядка интегрирования приводят к выражению 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>ε</mi><mo>,</mo><mi>ϑ</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>ε</mi><mo>,</mo><mi>ϑ</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></math>
, где

164

{F_{1}}^{ε, ϑ} (r) = Φ (\frac{r}{\sqrt{V + ϑ^{2}}}) - \sqrt{ε} \frac{M}{6 {[V + ϑ^{2}]}^{3 / 2}} (\frac{r^{2}}{V + ϑ^{2}} - 1) φ (\frac{r}{\sqrt{V + ϑ^{2}}});

(П3)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>ε</mi><mo>,</mo><mi>ϑ</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><msqrt><mi>V</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ϑ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>-</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><mfrac><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn>6</mn><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>V</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ϑ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>V</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ϑ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><msqrt><mi>V</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>ϑ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>;</mo></math>
(П3)

165

2) выражение под знаком математического ожидания в

Δ ψ_{2}

равно нулю на множестве

\{{\tilde{τ}}_{1}^{ε} = τ_{1}^{ε}\}

, поэтому

166

Δ ψ_{2} = E [e x p (i λ Y^{ε}) I ({\tilde{τ}}_{1}^{ε} < τ_{1}^{ε})] - E [{\tilde{ψ}}_{λ}^{ε} (ζ_{}^{ε} ({\tilde{τ}}_{1}^{ε})) I ({\tilde{τ}}_{1}^{ε} < τ_{1}^{ε})],

(П4)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">E</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mi>λ</mi><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mi>I</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>E</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi>I</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
(П4)

167

где

I (\cdot)

— индикатор множества. Подставляя в (П2) первое слагаемое из (П4) и меняя местами интегрирование по

λ

и математическое ожидание, получаем

168

E [I ({\tilde{τ}}_{1}^{ε} < τ_{1}^{ε}) I (a \leq ε^{- 1 / 2} [Y^{ε} - m - ε Δ m] + η \leq b)],

169

что не превышает

p^{ε}

. Подстановка второго слагаемого приводит по аналогии с (П3) к выражению

{F_{2}}^{ε, ϑ} (b) - {F_{2}}^{ε, ϑ} (a)

, где

170

F_{2}^{ε, ϑ} (r) = E \{I ({\tilde{τ}}_{1}^{ε} < τ_{1}^{ε}) [Φ (\frac{\tilde{r}}{\sqrt{V_{η}^{}}}) - \sqrt{ε} \frac{M (ζ_{}^{ε} ({\tilde{τ}}_{1}^{ε}))}{6 {(V_{η}^{})}^{3 / 2}} (\frac{{\tilde{r}}^{2}}{V_{η}^{}} - 1) φ (\frac{\tilde{r}}{\sqrt{V_{η}^{}}})]\},

(П5)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi><mo>,</mo><mi>ϑ</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>E</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>I</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msqrt><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow/></msubsup></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>-</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><mfrac><mrow><mi>M</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>6</mn><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow/></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow/></msubsup></mrow></mfrac><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msqrt><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow/></msubsup></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
(П5)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi><mo>,</mo><mi>ϑ</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>E</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>I</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msqrt><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow/></msubsup></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>-</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><mfrac><mrow><mi>M</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>6</mn><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow/></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow/></msubsup></mrow></mfrac><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msqrt><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow/></msubsup></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> (П5)

171

и для краткости обозначено

V_{η}^{} = V (ζ_{}^{ε} ({\tilde{τ}}_{1}^{ε})) + ϑ^{2}

,

172

\tilde{r} = {\tilde{r}}^{ε} (r, ζ_{}^{ε} ({\tilde{τ}}_{1}^{ε})) = r - m (ζ_{}^{ε} ({\tilde{τ}}_{1}^{ε})) + m - ε Δ m (ζ_{}^{ε} ({\tilde{τ}}_{1}^{ε})) + ε Δ m .

(П6)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>r</mi><mo>-</mo><mi>m</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mo>.</mo></math>
(П6)

173

Вдоль траектории невозмущенного движения

m (ζ_{} (t)) \equiv m

,

t \in [0, τ_{1}^{})

, и по условиям А, Б

m (ζ)

имеет ограниченные частные производные в

U_{1}^{ρ}

, поэтому в

{\bar{U}}_{1}^{ρ}

(замыкании

U_{1}^{ρ}

)

|m (ζ) - m| \leq C_{1}

, где

C_{1}

сколь угодно мало при выборе соответствующего

ρ

. Функция

Δ m (ζ)

непрерывна и ограничена в

{\bar{U}}_{1}^{ρ}

. Пусть

r_{0} > 0

, тогда выбором достаточно малых

ρ > 0

и

ε_{1} > 0

можно обеспечить отделенность

{\tilde{r}}^{ε} (r, ζ)

от нуля:

|{\tilde{r}}^{ε} (r, ζ)| \geq C {}_{3} (r_{0}) > 0

для всех

|r| \geq r_{0}

,

ζ \in {\bar{U}}_{1}^{ρ},

0 < ε \leq ε_{1}

. Поскольку при этом функция

M (ζ)

ограничена в

{\bar{U}}_{1}^{ρ}

, выражение в квадратных скобках в (П5) ограничено по модулю некоторой константой

C {}_{4} (r_{0}) > 0

, не зависящей от

ϑ > 0 .

Суммарно подстановка

Δ ψ_{2}

в (П2) дает вклад, не превышающий

(2 C_{4} + 1) p^{ε};

Вдоль траектории невозмущенного движения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>≡</mo><mi>m</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow></mfenced></math>
, и по условиям А, Б 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">ζ</mi></mrow></mfenced></math>
 имеет ограниченные частные производные в 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math>
, поэтому в 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math>
 (замыкании 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math>
) 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>m</mi></mrow></mfenced><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
, где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 сколь угодно мало при выборе соответствующего 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ρ</mi></math>
. Функция 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi></mrow></mfenced></math>
 непрерывна и ограничена в 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math>
. Пусть 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
, тогда выбором достаточно малых 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ρ</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 можно обеспечить отделенность 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>ζ</mi></mrow></mfenced></math>
 от нуля: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>ζ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>≥</mo><mi>C</mi><mmultiscripts><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow><mprescripts/><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mmultiscripts><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 для всех 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>≥</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ζ</mi><mo>∈</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
. Поскольку при этом функция 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>M</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></math>
 ограничена в 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math>
, выражение в квадратных скобках в (П5) ограничено по модулю некоторой константой 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mmultiscripts><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow><mprescripts/><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mmultiscripts><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
, не зависящей от 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϑ</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>
 Суммарно подстановка 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
 в (П2) дает вклад, не превышающий 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mn>2</mn><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>;</mo></math>

Вдоль траектории невозмущенного движения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>≡</mo><mi>m</mi></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow></mfenced></math> , и по условиям А, Б <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">ζ</mi></mrow></mfenced></math> имеет ограниченные частные производные в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math> , поэтому в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math> (замыкании <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math> ) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>m</mi></mrow></mfenced><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> , где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> сколь угодно мало при выборе соответствующего <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ρ</mi></math> . Функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi></mrow></mfenced></math> непрерывна и ограничена в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math> . Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn></math> , тогда выбором достаточно малых <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ρ</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn></math> можно обеспечить отделенность <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>ζ</mi></mrow></mfenced></math> от нуля: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>ζ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>≥</mo><mi>C</mi><mmultiscripts><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow><mprescripts/><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mmultiscripts><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn></math> для всех <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>≥</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ζ</mi><mo>∈</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> . Поскольку при этом функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>M</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></math> ограничена в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math> , выражение в квадратных скобках в (П5) ограничено по модулю некоторой константой <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mmultiscripts><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow><mprescripts/><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mmultiscripts><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn></math> , не зависящей от <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϑ</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> Суммарно подстановка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> в (П2) дает вклад, не превышающий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mn>2</mn><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>;</mo></math>

174

3) из определения функций

m (x), Δ m (x), V (x), M (x)

следует, что в области

U_{1}^{ρ}

имеют место уравнения:

175

\overset{n}{\sum_{i = 1}} \frac{\partial m (ζ)}{\partial ζ_{i}} f_{1 i} (ζ) = 0, \overset{n}{\sum_{i = 1}} \frac{\partial Δ m (ζ)}{\partial ζ_{i}} f_{1 i} (ζ) + 0,5 \overset{n}{\sum_{i, j = 1}} \frac{\partial^{2} m (ζ)}{\partial ζ_{i} \partial ζ_{j}} a_{i j} (ζ) = 0,

176

\overset{n}{\sum_{i = 1}} \frac{\partial V (ζ)}{\partial ζ_{i}} f_{1 i} (ζ) + \overset{n}{\sum_{i, j = 1}} \frac{\partial m (ζ)}{\partial ζ_{i}} \frac{\partial m (ζ)}{\partial ζ_{j}} a_{i j} (ζ) = 0, \overset{n}{\sum_{i = 1}} \frac{\partial M (ζ)}{\partial ζ_{i}} f_{1 i} (ζ) + 3 \overset{n}{\sum_{i, j = 1}} \frac{\partial m (ζ)}{\partial ζ_{i}} \frac{\partial V (ζ)}{\partial ζ_{j}} a_{i j} (ζ) = 0 .

177

С использованием этих соотношений проверяется, что

L_{1}^{ε} {\tilde{ψ}}_{λ}^{ε} (ζ)

равно сумме конечного числа слагаемых вида

ε^{p} (i λ)^{q} h (ζ) e x p (i λ m (ζ) + i λ ε Δ m (ζ) - 0,5 ε λ^{2} V (ζ))

, где

h (ζ)

— ограниченные в

{\bar{U}}_{1}^{ρ}

функции,

q \geq 1

,

p - 0,5 q \geq 1

. Подставляя в (П2), получаем сумму конечного числа слагаемых

С использованием этих соотношений проверяется, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></math>
 равно сумме конечного числа слагаемых вида 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msup><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mi>ε</mi><msup><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>V</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></math>
, где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi></mrow></mfenced></math>
 — ограниченные в 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math>
 функции, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mi>q</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math>
. Подставляя в (П2), получаем сумму конечного числа слагаемых

С использованием этих соотношений проверяется, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></math> равно сумме конечного числа слагаемых вида <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msup><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mi>ε</mi><msup><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>V</mi><mo>(</mo><mi>ζ</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></math> , где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>ζ</mi></mrow></mfenced></math> — ограниченные в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math> функции, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mi>q</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math> . Подставляя в (П2), получаем сумму конечного числа слагаемых

178

(ε^{p - q / 2} / 2 π) \int_{- \infty}^{\infty} (e^{- i λ a} - e^{- i λ b}) {(i λ)}^{- 1} (i λ)^{q} G_{}^{ε} (λ) d λ

,

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mi>q</mi><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfenced><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>a</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>b</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mi>λ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msup><msubsup><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>λ</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>λ</mi></math>
,

179

Где

180

G_{}^{ε} (λ) = E \int_{0}^{{\tilde{τ}}_{1}^{ε}} h (ζ_{}^{ε} (t)) e x p (i λ (m (ζ_{}^{ε} (t)) - m + ε Δ m (ζ_{}^{ε} (t)) - ε Δ m) / \sqrt{ε} - 0,5 λ^{2} V_{η}^{} (ζ^{ε} (t))) d t .

181

Каждое из этих слагаемых равно

{F_{3}}^{ε, ϑ} (b) - {F_{3}}^{ε, ϑ} (a)

, где

182

{F_{3}}^{ε, ϑ} (r) = ε^{p - q / 2} E \int_{0}^{{\tilde{τ}}_{1}^{ε}} \frac{h (ζ^{ε} (t))}{{(V_{η}^{})}^{q / 2}} g (\frac{\tilde{r}}{\sqrt{V_{η}^{}}}) φ (\frac{\tilde{r}}{\sqrt{V_{η}^{}}}) d t,

183

g (\cdot)

— полином,

\tilde{r} = {\tilde{r}}^{ε} (r, ζ_{}^{ε} (t))

определяется выражением (П6) при замене

{\tilde{τ}}_{1}^{ε}

на

t

. Аналогично (П5)

|{F_{3}}^{ε, ϑ} (r)| \leq ε C_{5}

для

0 < ε \leq ε_{1}

при некоторой константе

C_{5} (r_{0}) > 0

.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>⋅</mo></mrow></mfenced></math>
 — полином, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
 определяется выражением (П6) при замене 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
 на 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math>
. Аналогично (П5) 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msup><mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>ε</mi><mo>,</mo><mi>ϑ</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msub></math>
 для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 при некоторой константе 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>⋅</mo></mrow></mfenced></math> — полином, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> определяется выражением (П6) при замене <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>τ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math> на <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> . Аналогично (П5) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msup><mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>ε</mi><mo>,</mo><mi>ϑ</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msub></math> для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> при некоторой константе <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn></math> .

184

Суммируя результаты подстановки (П2) в (П3): для любого

r_{0} > 0

найдутся

ρ > 0

,

ε_{1} > 0

такие, что для всех

0 < ε \leq ε_{1}

,

a < b

,

|a|, |b| \geq r_{0}

и произвольного

ϑ > 0

:

Суммируя результаты подстановки (П2) в (П3): для любого 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 найдутся 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ρ</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 такие, что для всех 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>&lt;</mo><mi>b</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>a</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>b</mi></mrow></mfenced><mo>≥</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
 и произвольного 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϑ</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
:

185

|F^{ε, ϑ} (b) - F^{ε, ϑ} (a) - ({F_{1}}^{ε, ϑ} (b) - {F_{1}}^{ε, ϑ} (a))| \leq (2 C_{4} + 1) p^{ε} + ε C_{5} .

186

Полагая

a \to - \infty

,

ϑ \to 0

и учитывая непрерывность

F^{ε} (r)

, получаем для

|r| \geq r_{0}

:

187

|F^{ε} (r) - {F_{1}}^{ε} (r)| \leq ε C_{6} .

(П7)

188

Пусть

α < 0,5

,

β_{α} < 0

,

r_{0} = - 0,5 β_{α}

. Можно найти достаточно малое

ε_{1}

такое, что для всех

0 < ε \leq ε_{1}

,

r \leq r_{0}

выполнено (П7) и при этом уравнения

F_{1}^{ε} (r) \pm ε C_{6} = α

имеют единственные решения, не превышающие

r_{0}

. В этом случае квантиль порядка

α

распределения

F_{}^{ε} (r)

лежит между этими решениями. Отсюда следует, что для случайной величины

ε^{- 1 / 2} [Y^{ε} - m - ε Δ m]

квантиль порядка

α

представляется в виде

Пусть 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>&lt;</mo><mn>0,5</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>&lt;</mo><mn>0</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>0,5</mn><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></math>
. Можно найти достаточно малое 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 такое, что для всех 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
 выполнено (П7) и при этом уравнения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>±</mo><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>α</mi></math>
 имеют единственные решения, не превышающие 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
. В этом случае квантиль порядка 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi></math>
 распределения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></math>
 лежит между этими решениями. Отсюда следует, что для случайной величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi></mrow></mfenced></math>
 квантиль порядка 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi></math>
 представляется в виде

Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo><</mo><mn>0,5</mn></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo><</mo><mn>0</mn></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>0,5</mn><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></math> . Можно найти достаточно малое <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> такое, что для всех <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo><</mo><mi>ε</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> выполнено (П7) и при этом уравнения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>±</mo><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>α</mi></math> имеют единственные решения, не превышающие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> . В этом случае квантиль порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi></math> распределения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow/><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></math> лежит между этими решениями. Отсюда следует, что для случайной величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi></mrow></mfenced></math> квантиль порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi></math> представляется в виде

189

σ β_{α} + \sqrt{ε} χ σ (β_{α}^{2} - 1) / 6 + ε Δ_{11}^{ε} (α),

(П8)

190

что эквивалентно (23).

191

Для доказательства (24) в случае

Θ = 1

по аналогии с (П2) рассмотрим при произвольном

q

выражение

192

\frac{1}{α} \int_{- \infty}^{q} r [\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i λ r} ψ_{λ / \sqrt{ε}}^{ε} e x p (- i λ (m + ε Δ m) / \sqrt{ε} - 0,5 λ^{2} ϑ^{2}) d λ] d r,

(П9)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></munderover><mrow><mi>r</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>λ</mi><mo>/</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mi>i</mi><mi>λ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><mo>-</mo><mn>0,5</mn><msup><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>ϑ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>λ</mi></mrow></mfenced></mrow></mrow><mi>d</mi><mi>r</mi><mo>,</mo></math>
(П9)

193

где функция в квадратных скобках является плотностью распределения

F^{ε, ϑ} (r)

. Подстановка в (П9) первого слагаемого из (П2) приводит к

194

- \frac{\sqrt{V + ϑ^{2}}}{α \sqrt{2 π}} (1 + \sqrt{ε} \frac{M q^{3}}{6 {(V + ϑ^{2})}^{5 / 2}}) e x p (- \frac{q^{2}}{2 (V + ϑ^{2})}) .

195

Полагая

ϑ = 0

и подставляя в качестве

q

выражение (П8), получаем первые члены разложения по степеням

\sqrt{ε}

ожидаемых потерь случайной величины

ε^{- 1 / 2} [Y^{ε} - m - ε Δ m]

в виде

- (1 + \sqrt{ε} β_{α} χ / 6) σ φ (β_{α}) / α

. Аналогично доказательству (23), подстановка двух других слагаемых из (П3) в (П9) дает выражения порядка

ε Δ_{12}^{ε} (α)

.

Полагая 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϑ</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 и подставляя в качестве 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi></math>
 выражение (П8), получаем первые члены разложения по степеням 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msqrt><mi>ε</mi></msqrt></math>
 ожидаемых потерь случайной величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi></mrow></mfenced></math>
 в виде 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mi>χ</mi><mo>/</mo><mn>6</mn></mrow></mfenced><mi>σ</mi><mi>φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>α</mi></math>
. Аналогично доказательству (23), подстановка двух других слагаемых из (П3) в (П9) дает выражения порядка 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math>
.

Полагая <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϑ</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math> и подставляя в качестве <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi></math> выражение (П8), получаем первые члены разложения по степеням <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msqrt><mi>ε</mi></msqrt></math> ожидаемых потерь случайной величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi></mrow></mfenced></math> в виде <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mi>χ</mi><mo>/</mo><mn>6</mn></mrow></mfenced><mi>σ</mi><mi>φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>α</mi></math> . Аналогично доказательству (23), подстановка двух других слагаемых из (П3) в (П9) дает выражения порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math> .

196

В случае

Θ = 2

предварительно заметим, что для процесса без переключений

ζ^{ε} (t)

имеет место свойство: если остановить данный процесс в фиксированный момент

s \in (0, T)

и взять решения уравнений (13)–(15) как начальные для тех же уравнений на отрезке

[s, t]

, то получим аппроксимацию параметров распределения процесса для момента

t

. Необходимо доказать, что это свойство сохраняется при дополнительном преобразовании (20). Повторное применение леммы 1 с

K = \partial U_{11}^{ρ}

показывает, что достаточно рассмотреть траектории процесса

ξ (t)

в окрестности невозмущенной траектории, когда вначале достигается

Π_{1}

и затем

Π_{2}

. Для доказательства части а) определяем условное распределение

Y^{ε} = H ξ^{ε} (τ_{2}^{ε})

при условии известного состояния

ξ^{ε} (τ_{1}^{ε}) \in \partial U_{11}^{ρ}

на основании уже установленных аппроксимаций для случая одной границы, затем осуществляем усреднение по распределению

ξ^{ε} (τ_{1}^{ε})

, первые три момента которого также приближенно известны из случая одной границы. При этом учитываем однородность процесса

ξ^{ε} (t)

. Для доказательства (23), (24) дополнительно используется условие Г. Доказательство для

Θ > 2

проводится по индукции.

В случае 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math>
 предварительно заметим, что для процесса без переключений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 имеет место свойство: если остановить данный процесс в фиксированный момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>∈</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi></mrow></mfenced></math>
 и взять решения уравнений (13)–(15) как начальные для тех же уравнений на отрезке 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
, то получим аппроксимацию параметров распределения процесса для момента 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math>
. Необходимо доказать, что это свойство сохраняется при дополнительном преобразовании (20). Повторное применение леммы 1 с 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>=</mo><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>11</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math>
 показывает, что достаточно рассмотреть траектории процесса 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ξ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 в окрестности невозмущенной траектории, когда вначале достигается 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 и затем 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
. Для доказательства части а) определяем условное распределение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>H</mi><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 при условии известного состояния 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>∈</mo><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>11</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math>
 на основании уже установленных аппроксимаций для случая одной границы, затем осуществляем усреднение по распределению 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
, первые три момента которого также приближенно известны из случая одной границы. При этом учитываем однородность процесса 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
. Для доказательства (23), (24) дополнительно используется условие Г. Доказательство для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>&gt;</mo><mn>2</mn></math>
 проводится по индукции.

В случае <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math> предварительно заметим, что для процесса без переключений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> имеет место свойство: если остановить данный процесс в фиксированный момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>∈</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> и взять решения уравнений (13)–(15) как начальные для тех же уравнений на отрезке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> , то получим аппроксимацию параметров распределения процесса для момента <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math> . Необходимо доказать, что это свойство сохраняется при дополнительном преобразовании (20). Повторное применение леммы 1 с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>=</mo><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>11</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math> показывает, что достаточно рассмотреть траектории процесса <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ξ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> в окрестности невозмущенной траектории, когда вначале достигается <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> и затем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Π</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> . Для доказательства части а) определяем условное распределение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>H</mi><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> при условии известного состояния <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>∈</mo><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mn>11</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></msubsup></math> на основании уже установленных аппроксимаций для случая одной границы, затем осуществляем усреднение по распределению <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> , первые три момента которого также приближенно известны из случая одной границы. При этом учитываем однородность процесса <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> . Для доказательства (23), (24) дополнительно используется условие Г. Доказательство для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Θ</mi><mo>></mo><mn>2</mn></math> проводится по индукции.

197

Доказательство утверждения 1.

198

А. Решение уравнения (4) имеет вид

199

Y_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε}) = S_{i} \overset{t_{0} + τ_{i}^{ε}}{\int_{t_{0}}} e x p (- 0,5 ε δ_{i}^{2} t + \sqrt{ε} δ_{i} {W'}_{i} (t)) (u_{i} d t - \sqrt{ε} ν_{i} u_{i} d W_{i} (t)) .

(П10)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></munder></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mover><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mi>ε</mi><msubsup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mi>t</mi><mo>+</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>W</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>-</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>d</mi><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>
 (П10)

200

Поскольку

E S_{i}^{ε} (t) = S_{i}

для любого

t

, то

201

m_{i} = E Y_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε}) = E [E (Y_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε}) | F_{\infty}^{W})] = S_{i} E \overset{t_{0} + τ_{i}^{ε}}{\int_{t_{0}}} (u_{i} d t - \sqrt{ε} ν_{i} u_{i} d W_{i} (t)) = S_{i} X_{i} .

202

Для фьючерса в (П10) имеется дополнительное слагаемое

- X_{i} S_{i}^{ε} (t_{0})

, поэтому в этом случае

m_{i} = 0

.

203

Б. Эта часть является следствием более общего утверждения 3. Уравнение (13) в данном случае вырождено:

γ (t) \equiv 0

, а решения уравнений (14), (15) являются однородными многочленами относительно

S_{i} u_{i}

степени 2 и 3 соответственно. Преобразование (20) сохраняет эти свойства, поэтому достаточно найти решение уравнений (14), (15) для трехкомпонентного портфеля и экстраполировать его на общий случай.

204

Доказательство утверждения 2 дано схематично.

205

Обозначим

τ_{m i n}^{ε} = m i n (τ_{i}^{ε}, τ_{j}^{ε})

.

206

Лемма 2. Пусть

τ_{i} = τ_{j} = τ

, Тогда

207

E {(τ_{m i n}^{ε})}^{k} = τ^{k} - k τ^{k - 0,5} \sqrt{0,5 ε (ν_{i}^{2} + ν_{j}^{2}) / π} + ε Δ_{k}^{ε}, k = 1, . . ., 4,

(П11)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">E</mi><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mi>k</mi><msup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></msup><msqrt><mn>0,5</mn><mi>ε</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>π</mi></msqrt><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>+</mo><mi>ε</mi><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>4</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
(П11)

208

где

Δ_{k}^{ε}

ограничены для

0 < ε \leq ε_{1}

при некотором

0 < ε_{1} \leq 1

(Е — символ математического ожидания).

209

Доказательство. Известно (Липцер, Ширяев, 1974), что плотность распределения момента первого достижения винеровским процессом прямой

a - b t

, где

a, t > 0

, равна

210

p (t) = a t^{- 3 / 2} ϕ ((b t - a) / \sqrt{t})

(П12)

211

и выполнены соотношения:

212

\overset{t}{\int_{0}} p (s) d s = Φ ((b t - a) t^{- 1 / 2}) + e^{2 a b} Φ (- (b t + a) t^{- 1 / 2}),

(П13)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></mover><mi>p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>s</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>b</mi><mi>t</mi><mo>-</mo><mi>a</mi></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>+</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msup><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>b</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>,</mo></math>
(П13)

213

\overset{t}{\int_{0}} s^{k + 1} p (s) d s = (\frac{a}{b} - \frac{1}{b} \frac{\partial}{\partial b}) \overset{t}{\int_{0}} s^{k} p (s) d s, k \geq 0 .

(П14)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></mover><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>s</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mo>∂</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>b</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></mover><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mi>p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>s</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>
(П14)

214

Обозначим

p_{i} (t)

плотность распределения

τ_{i}^{ε}

, тогда в (П12)

a = τ / \sqrt{ε} ν_{i}, b = 1 / \sqrt{ε} ν_{i}

, и аналогично для

p_{j} (t)

. В выражении

Обозначим 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 плотность распределения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></math>
, тогда в (П12) 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>τ</mi><mo>/</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>b</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>1</mn><mo>/</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
, и аналогично для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
. В выражении

215

E {[τ_{m i n}^{ε}]}^{k} = \overset{\infty}{\int_{0}} [\overset{t}{\int_{0}} s^{k} p_{j} (s) d s] p_{i} (t) d t + \overset{\infty}{\int_{0}} [\overset{t}{\int_{0}} s^{k} p_{i} (s) d s] p_{j} (t) d t, k = 1, . . ., 4,

216

внутренние интегралы записываются в явном виде с помощью (П13), (П14). Далее отдельно рассматривается каждое слагаемое. Для

e x p (2 τ / ε ν_{i}^{2}) Φ (- (t + τ) / (\sqrt{ε t} ν_{i}))

применим известное неравенство

217

(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}) ϕ (x) \leq Φ (- x) \leq \frac{1}{x} ϕ (x), x > 0 .

218

С использованием этих соотношений (П11) может быть проверено непосредственно для каждого

k = 1, . . ., 4

.

219

Поскольку при различающихся

τ_{i}

утверждение 2 является частью утверждения 1, достаточно проверить, что при

τ_{i} = τ_{j} = τ

ковариация случайных величин

Y_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε}), Y_{j}^{ε} (t_{0} + τ_{j}^{ε})

имеет вид

Поскольку при различающихся 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 утверждение 2 является частью утверждения 1, достаточно проверить, что при 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>τ</mi></math>
 ковариация случайных величин 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 имеет вид

220

c o v (Y_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε}), Y_{j}^{ε} (t_{0} + τ_{j}^{ε})) = ε ρ_{i j} X_{i} X_{j} S_{i} S_{j} δ_{i} δ_{j} (t_{0} + τ / 3) + ε^{2} Δ^{ε} .

221

В данном случае удобно представить

Y_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε})

как решение уравнения (5):

222

Y_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε}) = X_{i} S_{i}^{ε} (t_{0}) - X_{i} S_{i} + \sqrt{ε} δ_{i} S_{i} u_{i} \overset{t_{0} + τ_{i}^{ε}}{\int_{t_{0}}} g_{i} (t, W_{i} (t), {W'}_{i} (t)) d {W'}_{i} (t),

223

где

g_{i} = (τ_{i} - (t - t_{0}) + \sqrt{ε} ν_{i} [W_{i} (t) - W_{i} (t_{0})]) e x p (- 0,5 ε δ_{i}^{2} t + \sqrt{ε} δ_{i} W_{i}^{'} (t))

. Отсюда

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi>e</mi><mi>x</mi><mi>p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mi>ε</mi><msubsup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mi>t</mi><mo>+</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msubsup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
. Отсюда

224

\begin{matrix} E [Y_{i}^{ε} (t_{0} + τ_{i}^{ε}) Y_{j}^{ε} (t_{0} + τ_{j}^{ε})] = X_{i} X_{j} E [(S_{i}^{ε} (t_{0}) - S_{i}) (S_{j}^{ε} (t_{0}) - S_{j})] + \\ + ε δ_{i} δ_{j} S_{i} S_{j} ρ_{i j} E \overset{t_{0} + τ_{m i n}^{ε}}{\int_{t_{0}}} g_{i} (t, W_{i} (t), {W'}_{i} (t)) g_{j} (t, W_{j} (t), {W'}_{j} (t)) d t . \end{matrix}

225

Первое слагаемое равно

X_{i} X_{j} S_{i} S_{j} (e^{ε ρ_{i j} δ_{i} δ_{j} t_{0}} - 1)

. Второе после представления в виде

E [E (\cdot | F_{\infty}^{W})]

упрощается до

ε δ_{i} δ_{j} S_{i} S_{j} u_{i} u_{j} ρ_{i j} E \overset{t_{0} + τ_{m i n}^{ε}}{\int_{t_{0}}} f e^{ε ρ_{i j} δ_{i} δ_{j} t} d t

, где

Первое слагаемое равно 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>
. Второе после представления в виде 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">E</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>⋅</mo><mo>|</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="script">F</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><mrow><mi>W</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
 упрощается до 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">E</mi><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></munder></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mover><mi>f</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi>t</mi></mrow></msup><mi>d</mi><mi>t</mi></math>
, где

Первое слагаемое равно <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> . Второе после представления в виде <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">E</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>⋅</mo><mo>|</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="script">F</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><mrow><mi>W</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> упрощается до <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">E</mi><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></munder></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mover><mi>f</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi>t</mi></mrow></msup><mi>d</mi><mi>t</mi></math> , где

226

f = {(τ - (t - t_{0}))}^{2} + \sqrt{ε} ν_{i} [W_{i} (t) - W_{i} (t_{0})] (τ - (t - t_{0})) +

+ \sqrt{ε} ν_{j} [W_{j} (t) - W_{j} (t_{0})] (τ - (t - t_{0})) + ε ν_{i} ν_{j} [W_{i} (t) - W_{i} (t_{0})] [W_{j} (t) - W_{j} (t_{0})] .

(П15)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>+</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>+</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo></math>
(П15)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>+</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>+</mo><msqrt><mi>ε</mi></msqrt><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo></math> (П15)

227

Представляя

228

{(τ - (t - t_{0}))}^{2} e^{ε ρ_{i j} δ_{i} δ_{j} t} = {(τ - (t - t_{0}))}^{2} + {(τ - (t - t_{0}))}^{2} (e^{ε ρ_{i j} δ_{i} δ_{j} t} - 1),

для вклада первого слагаемого получаем

E \overset{t_{0} + τ_{m i n}^{ε}}{\int_{t_{0}}} {(τ - (t - t_{0}))}^{2} d t = τ^{2} E τ_{m i n}^{ε} - τ E {(τ_{m i n}^{ε})}^{2} + E {(τ_{m i n}^{ε})}^{3} / 3 = τ^{3} / 3 + ε Δ^{ε},

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi>t</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi>t</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
 для вклада первого слагаемого получаем 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>E</mi><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></munder></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mover><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><msup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">E</mi><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><mi>τ</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">E</mi><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><msup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><mi>ε</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>,</mo></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi>t</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi>t</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> для вклада первого слагаемого получаем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>E</mi><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></munder></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mover><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><msup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">E</mi><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><mi>τ</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">E</mi><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><msup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><mi>ε</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msup><mo>,</mo></math>

229

где последнее равенство следует из леммы 2.

230

Рассмотрим далее второе и третье слагаемые (П15). Требуется определить скорость убывания по

ε

выражения

E \int_{0}^{τ_{m i n}^{ε}} e x p (ε ρ_{i j} δ_{i} δ_{j} s) W_{i} (s) (τ - s) d s

. Вычитая

E \overset{τ}{\int_{0}} e^{ε ρ_{i j} δ_{i} δ_{j} s} W_{i} (s) (τ - s) d s = 0

, получаем

Рассмотрим далее второе и третье слагаемые (П15). Требуется определить скорость убывания по 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi></math>
 выражения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">E</mi><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi>s</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mi>s</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>s</mi></mrow></mrow></math>
. Вычитая 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">E</mi><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></mover><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi>s</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mi>s</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
, получаем

Рассмотрим далее второе и третье слагаемые (П15). Требуется определить скорость убывания по <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ε</mi></math> выражения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">E</mi><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msubsup></mrow></msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi>s</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mi>s</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>s</mi></mrow></mrow></math> . Вычитая <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">E</mi><mover><mrow><munder><mrow><mo>∫</mo></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></mover><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi>s</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><mi>s</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math> , получаем

231

E \overset{τ_{m i n}^{ε}}{\int_{τ}} I (τ_{m i n}^{ε} \geq τ) e x p (ε ρ_{i j} δ_{i} δ_{j} s) W_{i} (s) (τ - s) d s + E \overset{τ}{\int_{τ_{m i n}^{ε}}} I (τ_{m i n}^{ε} < τ) e x p (ε ρ_{i j} δ_{i} δ_{j} s) W_{i} (s) (τ - s) d s .

232

Первое слагаемое по абсолютной величине не превышает

233

E {(τ_{m i n}^{ε} - τ)}^{2} I (τ_{m i n}^{ε} \geq τ) e^{ε δ_{i} δ_{j} τ_{i}^{ε}} \underset{s \leq τ_{i}^{ε}}{m a x} W_{i} (s) \leq \sqrt{E {(τ_{m i n}^{ε} - τ)}^{4}} \sqrt{E [e^{4 ε δ_{i} δ_{j} τ_{i}^{ε}} {(\underset{s \leq τ_{i}^{ε}}{m a x} W_{i} (s))}^{2}]} .

234

Аналогично для второго слагаемого:

235

E {(τ_{m i n}^{ε} - τ)}^{2} I (τ_{m i n}^{ε} < τ) e^{ε δ_{i} δ_{j} τ} \underset{s \leq τ}{m a x} W_{i} (s) \leq e^{ε δ_{i} δ_{j} τ} \sqrt{E {(τ_{m i n}^{ε} - τ)}^{4}} \sqrt{E {(\underset{s \leq τ}{m a x} W_{i} (s))}^{2}} .

236

Из леммы 2 следует, что

E {(τ_{m i n}^{ε} - τ)}^{4} = ε Δ^{ε} .

GOST	Balabushkin A. Approximation to portfolio liquidation value with calculation of its skewness // Economics and the Mathematical Methods. – 2023. – V. 59. – No. 1 C. 105-118 . URL: https://emmras.ru/priblizhennyy-raschet-parametrov-likvidacionnoy-stoimosti-portfelya-s-uchetom-asimmetrii-ee-raspredeleniya/?version_id=101242. DOI: 10.31857/S042473880024878-4
MLA	Balabushkin, Aleksander "Approximation to portfolio liquidation value with calculation of its skewness." Economics and the Mathematical Methods. 59.1 (2023).:105-118. DOI: 10.31857/S042473880024878-4
APA	Balabushkin A. (2023). Approximation to portfolio liquidation value with calculation of its skewness. Economics and the Mathematical Methods. vol. 59, no. 1, pp.105-118 DOI: 10.31857/S042473880024878-4

References

Comments

References

Comments

Via social network