Введение

Значительная часть портфеля ценных бумаг финансовых организаций России cсостоит из облигаций, в том числе - из облигаций федерального займа (ОФЗ). В целях управления ликвидностью финансовые организации также часто прибегают к сделкам РЕПО – краткосрочному кредитованию под залог ценных бумаг. Привлечение недостающей ликвидности происходит через сделки прямого РЕПО (организация привлекает кредит, передавая контрагенту ценные бумаги, например, ОФЗ, и получает их обратно по окончании срока кредита). Размещение ОФЗ в прямое РЕПО также позволяет создать финансовый рычаг, т.е. покупку облигаций на заемные средства. Размещение излишней ликвидности может быть произведено через сделки обратного РЕПО (организация выдает кредит, получая в залог ОФЗ, и обязуется вернуть их по окончании срока кредита). Продажа ОФЗ, являющихся залогом сделки обратного РЕПО, обязывает участника рынка, заключившего сделки (далее – Инвестор), купить на рынке эти облигации до окончания сделки. До осуществления покупки у Инвестора формируется «короткая» позиция в облигациях. ОФЗ являются наиболее ликвидными инструментами с фиксированным доходом на российском фондовом рынке. Риск дефолта ОФЗ традиционно оценивается как незначительный. Однако, цены этих облигаций меняются в зависимости от политики Банка России, рыночной конъюнктуры и прочих факторов. В связи с этим, управление портфелем ОФЗ и сделок РЕПО является актуальной и важной задачей торгового подразделения и казначейства финансовой организации. Мотивацией к написанию данной статьи стала потребность в современном механизме оптимизации данного портфеля, применимом на российском рынке.

Портфельная теория впервые была сформулирована Гарри Марковицем в статье (Portfolio Selection, 1952). На основе статистических оценок математического ожидания, дисперсии и ковариационной матрицы активов, входящих в портфель, выбиралось оптимальное соотношение активов в портфеле. В задаче оптимизации минимизировалась дисперсия портфеля (как мера риска) при заданном ограничении на среднюю доходность. За прошедшие годы портфельная теория получила существенное развитие.

Неофициальным стандартом на сегодняшний день является использование в качестве меры риска conditional value at risk (CVAR). Н. Бусай и Д. Росен в статье (Credit Risk of an International Bond Portfolio: A Case Study, 1999), а также Ф. Андерсон и С. Урясьев в (Credit risk optimization with CVAR criterion, 1999) использовали CVAR для оценки и оптимизации кредитного риска. В статьях П. Ембречца и др. (Extreme Value Theory as a Risk Management Tool, 1999) и (Modeling External Events for Insurance and Finance, 1997) CVAR применяется в актуарных задачах. В отличие от дисперсии или, например, value at risk (VaR), данная мера риска является когерентной (свойства когерентной меры риска сформулировал П. Артцнер с соавторами в (Coherent measures of risk, 1999). В этой же статье показано, что господствующая на тот момент мера VAR не субаддитивна, из-за чего не может считаться когерентной мерой риска. Когерентность CVAR была доказана в статье Урясьева и Рокафеллара (Conditional value-at-risk for general loss distributions, 2002). Урясьев и Рокафеллар в статье (Optimization of Conditional Value-at-Risk, 2000) показали также, что задачу минимизации CVAR при ограничении на среднюю доходность на основе конечного множества сценариев потерь можно свести к задаче линейного программирования.

Для решения задачи необходимо генерировать сценарии, учитывающие взаимосвязанность поведения цен облигаций. Традиционным подходом к расчету цен облигаций является дисконтирование соответствующих денежных потоков по срочной структуре процентных ставок (кривая бескупонных доходностей, КБД). Моделирование КБД является предметом масштабных исследований. В частности, Ч. Нельсон и А. Сигель в своей статье (Parsimonious Modeling of Yield Curves, 1987) предложили параметрическую модель КБД (Кривая Нельсона-Сигеля). Она представляет собой функцию от 5 параметров (первый параметр – срочность процентной ставки, остальные 4 – параметры кривой, определяющие ее форму). В 2017 году Московская биржа (МБ) представила актуальную на текущий момент (Методику определения кривой бескупонной доходности государственных облигаций (ОФЗ), 2017). Данную кривую называют G-кривой, она является параметрической кривой Нельсона-Сигеля с добавлением корректирующих коэффициентов. К 5-ти параметрам классической кривой Нельсона-Сигеля добавлены еще 9 параметров. Это корректирующие коэффициенты, уточняющие форму кривой на различных отрезках срочности.

В статье предложен подход к построению оптимального портфеля в соответствии с критерием оптимизации CVAR при ограничении на среднюю доходность для конечного числа сценариев изменения G-кривой. В отличие от таких мер риска, как VaR или дисперсия, CVAR позволяет учесть тяжелые хвосты в распределении доходностей (CVAR корректно учитывает ситуации, когда распределение не является нормальным). Построение сценариев в работе осуществляется методом исторического моделирования G-кривой. Подробно метод описан в разделе 3. Данный подход удобен при работе с ОФЗ на российском рынке по ряду причин. Во-первых, при формировании сценариев участвуют только параметры G-кривой, что позволяет генерировать сценарии для облигаций с недостаточной историей торгов. Во-вторых, размерность сценариев не зависит от количества различных облигаций в портфеле, а только от количества параметров G-кривой. В-третьих, параметры G-кривой регулярно публикуются Московской биржей, благодаря чему необходимость в самостоятельном расчете параметров кривой отпадает.

Описание торговой стратегии

Торговая стратегия, оптимизации которой посвящена статья, разрабатывалась на основе правил проведения торгов на Московской бирже. Однако, ввиду единообразия правил на различных биржах, допускающих заключение сделок по покупке/продаже облигаций, а также сделок РЕПО, данная торговая стратегия может быть адаптирована для применения и на других площадках.

Будем считать, что Инвестор в дату построения инвестиционного портфеля t имеет возможность купить или продать облигации, а также заключить сделки РЕПО с различными выпусками ОФЗ. Будем обозначать выпуски облигаций индексом i , который может принимать значения от 1 до N . Далее более подробно описаны правила и условия заключения сделок.

Покупка/продажа ОФЗ

Сделки по покупке/продаже облигаций осуществляются в режиме основных торгов «T+1». В рамках данной статьи подразумевается, что в целях ребалансировки портфеля сделки заключаются в конце торговой сессии. Подобная историческая статистика доступна в различных торговых системах (например, Bloomberg, Reuters, Cbonds).

В рамках данного режима торгов сделки осуществляются через центрального контрагента (ЦК), которым выступает Московская биржа. Торговая заявка содержит следующие параметры:

1. цена – минимальная/максимальная цена, по которой участник рынка готов продать/купить облигацию;
2. объем – количество облигаций, с которыми участник рынка готов заключить сделку.
3. Направление сделки – покупка или продажа.

В качестве цены покупки для целей исследования берется последняя цена ask. Для облигации с индексом i в момент времени t такую цену будем обозначать как Pi,askt . В качестве цены продажи – последняя цена bid. Такую цену будем обозначать Pi,bidt .

Объем покупки/продажи каждой облигации определяется решением оптимизационной задачи. Объем покупки облигаций с индексом i будем обозначать как xibuy , объем продажи - xisell . При этом, чтобы учитывать возможности рынка по удовлетворению заявок, в модели реализованы ограничения на максимальный суммарный объем сделок по каждому выпуску облигаций.

Цена, на основе которой рассчитается стоимость портфеля, определяется как цена последней сделки в торговой сессии. Использование данной цены при оценке стоимости портфеля на балансе также является распространенной рыночной практикой. Для облигации с индексом i в момент времени t такую цену будем обозначать как Pi,lastt .

При покупке/продаже облигаций вместе с выплатой стоимости облигации, определяемой в результате торгов, участники рынка выплачивают также накопленный купонный доход (НКД, AI – accrued interest). Для облигации с индексом i в момент времени t НКД будем обозначать как AIit .

Сделки РЕПО

Сделки прямого/обратного РЕПО заключаются в режиме безадресных сделок с ЦК (см. >>>> Параметры сделки включают в себя:

1. Срок сделки РЕПО. В рамках описываемой торговой стратегии заключаются сделки РЕПО срочностью 7 дней. При описании модели данный срок обозначается как Δt .
2. Код ценной бумаги, выступающей в качестве обеспечения. В рамках описываемой торговой стратегии сделки РЕПО заключаются под залог ОФЗ.
3. Сумма РЕПО – сумма кредита, выдаваемого в рамках сделки РЕПО. Для сделок прямого РЕПО сумму РЕПО будем обозначать как yidirect , для сделок обратного РЕПО - yireverse .
4. Дисконт РЕПО - представляет собой разницу между стоимостью ценных бумаг, выступающих в качестве обеспечения, и суммой кредита. Данный параметр сделки выражается в процентах. Дисконт вводится с целью снижения риска неполного покрытия кредита залогом в случае снижения его стоимости. В режиме безадресных сделок параметр устанавливается МБ. Дисконт РЕПО будем обозначать как d .
5. Количество облигаций – количество ценных бумаг, выступающих в качестве обеспечения в рамках сделки РЕПО. При заключении сделки прямого РЕПО количество облигаций с индексом i будем обозначать как xidirect . При заключении сделки обратного РЕПО количество облигаций с индексом i будем обозначать xireverse .
6. Расчетная цена облигации – стоимость одной ценной бумаги, являющейся обеспечением в сделке РЕПО. В режиме безадресных сделок расчетная цена определяется клиринговой организацией (национальный клиринговый центр, НКЦ). Ввиду отсутствия доступа к расчетным ценам, определяемым НКЦ, а также ввиду сравнительно небольшого (по сравнению, например, с акциями) разброса цен на ОФЗ внутри дня для численных экспериментов в качестве расчетной цены облигации используется цена последней сделки Pi,lastt (см. описание Pi,lastt в подразделе 2.1.).
7. Ставка РЕПО – ставка по кредиту, выраженная в процентах годовых. Ввиду большого количества спецификаций сделок РЕПО и нерегулярных сделок по каждой спецификации на Московской бирже в рамках данной работы было введено допущение о том, что ставка РЕПО по всем сделкам недельной срочности определяется как значение индекса MOEXREPO1WE. Данный индекс рассчитывается Московской биржей в соответствии с (Методикой расчета индикаторов ставки РЕПО с ЦК, 2020). Далее будем обозначать ставку РЕПО как rt . Предполагается, что ставка едина для сделок и прямого и обратного РЕПО.

Сделка прямого РЕПО происходит следующим образом: Контрагент 1 (заемщик) передает ОФЗ с индексом i в количестве xidirect контрагенту 2 (кредитор). Контрагент 2 перечисляет заемщику денежные средства в количестве yidirect=Pi,lastt+AIit1-d . Через Δt дней заемщик выплачивает кредитору yidirect1+rΔt365 . Кредитор возвращает заемщику облигации, а также купоны, выплаченные в период удержания ОФЗ. Сделка обратного РЕПО является зеркальной по отношению к сделке прямого РЕПО, то есть, участник рынка, совершающий сделку обратного РЕПО, выступает контрагентом к участнику, заключающему сделку прямого РЕПО.

Порядок осуществления сделок РЕПО на Московской бирже описан в (Правилах проведения торгов на Московской бирже, 2020).

Ограничение на самофинансируемость

В рамках рассматриваемой задачи условие самофинансируемости портфеля означает, что средств и облигаций, имеющихся у инвестора до начала ребалансировки, должно быть достаточно для построения нового портфеля. Допускается продажа имеющихся облигаций ( xi0), а также облигаций, полученных в рамках сделок обратного РЕПО. Аналогично, допускается использование имеющихся денежных средств ( xmoney0) , а также заемных средств, привлеченных в рамках сделки прямого РЕПО.

Подход, описанный в данной статье, может быть реализован организацией, имеющей непосредственный доступ к торгам на Московской бирже, так как в этом случае достаточность средств и ценных бумаг на счете проверяется во время клиринга в конце торговой сессии (то есть, уже после всех операций). При торговле через брокера достаточность средств/ценных бумаг проверяется в момент заключения сделки. Случай, при котором торговая стратегия учитывает достаточность средств при каждой операции, в рамках данной статьи не рассматривается.

Требование самофинансирования можно формализовать следующими неравенствами:

1. Положительный баланс средств:

xmoney1=xmoney0+∑i=1Nyisell-yibuy+yidirect-yireverse≥0 ,(1)

где xmoney1 – количество средств на балансе после ребалансировки портфеля; yisell=xisellPi,bidt+AIit – сумма, полученная от продажи xisell облигаций с индексом i ; yibuy=xibuyPi,askt+AIit – сумма, затраченная при покупке xibuy облигаций с индексом i .

1. Положительный баланс ценных бумаг:

xi1=xi0+xibuy-xisell+xireverse-xidirect≥0, i=1,…,N ,(2)

где xi1 – количество облигаций с индексом i после ребалансировки портфеля.

Определение финансового результата

В момент времени t+Δt цена bid облигации с индексом i составляет Pi,bidt+Δt рублей, цена ask - Pi,askt+Δt , цена, по которой осуществляется расчет стоимости позиции составляет Pi,lastt+Δt , накопленный купонный доход (НКД) равен AIit+Δt .

Финансовый результат Инвестора формируется из нескольких составляющих:

1. Полученные проценты по кредиту в рамках обратного РЕПО – уплаченные проценты по кредиту в рамках прямого РЕПО
2. Изменение НКД облигаций, входящих в портфель, а также выплата купонов по ним.
3. Уплата комиссий за биржевые сделки
4. Переоценка чистой стоимости облигаций, входящих в портфель.

Генерация сценариев цен ОФЗ

G-кривая

G-кривая – это параметрическая срочная структура процентных ставок, определяющая функциональную зависимость процентной ставки бескупонной облигации от ее срочности. G-кривая определяется следующей формулой:

rT,β=β0+β1+β2τT1-e-Tτ-β2e-Tτ+∑i=19gieT-ai2bi2, где: T – cрочность ставки (лет); β=β0,β1,β2,τ,g1,g2,…,g9 – набор параметров, динамически определяемых МБ; ai,bi – набор фиксированных параметров, определяемых по следующему правилу:

a1=0, a2=0.6,aj+1=aj+a2kj-1,j=2,…,8,

b1=a2,bj+1=bjk,j=1,…,8,

k=1,6. В соответствии с (методологией МБ определения КБД государственных облигаций 2017), G-кривая определяет срочную структуру ставок непрерывно начисляемых процентов.

Форвардная кривая

В рамках данной работы предполагается, что базовые ожидания участников рынка уже заложены в текущую срочную структуру процентных ставок. Чтобы учесть ожидания рынка на момент ребалансировки, в качестве точечного прогноза используется форвардная G-кривая, которая определяется по формуле

fT,β,Δt=rT+Δt365,βT+Δt365-rΔt,βΔt365 T.

Подробно форвардные ставки описываются, например, в (Hull J. Futures, options and other derivatives, ninth edition. – 2009).

Исторические отклонения от форвардной кривой

Обозначим вектор β параметров G-кривой в некоторый исторический момент Θ как βΘ . В этот момент КБД можно представить как функцию rT,βΘ . Форвардная КБД на срок Δt определялась как f(T,βΘ,Δt) . Предполагается, что данная КБД является точечным прогнозом КБД на момент времени Θ+Δt . Однако, в действительности в момент времени Θ+Δt вектор β параметров G-кривой составит βΘ+Δt , а соответствующая данным параметрам КБД - rT,βΘ+Δt . В общем случае rT,βΘ+Δt≠f(T,βΘ,Δt) . Разность между реализовавшейся на момент времени Θ+Δt процентной ставкой и форвардной ставкой на момент времени Θ для каждой фиксированной срочности T можно представить как функцию

ΔrT,Θ,Δt=rT,βΘ+Δt-fT,βΘ,Δt.

Сценарии КБД

На исторических данных возьмем Nscen последовательных отрезков времени длиной Δt дней. Проиндексируем отрезки индексом s . Для каждого интервала рассчитаем функцию Δrs=Δr(T, Θs,Δt) , где Θs – начало отрезка с индексом s.

Сценарий КБД определяется как точечный прогноз (форвардная КБД), скорректированная на отклонение Δrs :

rsT,Δt,βt=fT,Δt,βt+Δrs, s=1,…, Nscen ,

где: rst,Δt,βt – сценарная КБД, βt – вектор β параметров G-кривой на дату ребалансировки портфеля.

Далее рассмотрен пример исторического моделирования сценариев КБД G-curve. Дата, в которую осуществлялось моделирование – 31.07.2018. Моделировались возможные сценарии КБД на 07.08.2018. Сценарии моделировались на основе параметров КБД на 22.09.2016 и 29.09.2016 (первый сценарий), а также на 21.10.2016 и 28.10.2016 (второй сценарий). В соответствии с п. 3.2. на для каждого сценария была оценена форвардная кривая (точечный прогноз). На основе полученной форвардной кривой в соответствии с п. 3.3. была оценено историческое отклонение от прогноза. Приведенные исторические отклонения от прогноза прибавляются к форвардной кривой на дату моделирования. Т.о., получается столько сценариев, сколько имеется исторических отклонений КБД от форвардной кривой. Точечный прогноз, 2 сценария КБД и реализованная 07.09.2018 КБД представлены на рисунке 1 Рисунок 1 прогноз, исторические сценарии и факт КБД

Приведенная стоимость облигации в различных сценариях изменения КБД

Для каждой облигации в портфеле с индексом i известен будущий поток платежей CFij , где индекс j определяет порядковый номер предстоящего платежа по облигации в дату tj дней. Всего по облигации с индексом i предусмотрено Ni купонных выплат. В соответствии с методом дисконтирования денежных потоков, приведенная стоимость ОФЗ с индексом i в дату ребалансировки портфеля определяется в соответствии с формулой PVit=∑j=1NiCFije-rTj, βtTj, где Tj=tj-t365 .

Сценарная приведенная стоимость определяется как приведенная стоимость облигации, срок до выплаты всех купонов которой уменьшился на Δt , а дисконтирование этих купонов осуществляется в соответствии со сценарием изменения КБД: PVis=∑j:tj>ΔtNiCFije-rsTj-Δt365,Δt,βtTj-Δt365.

Сценарии цены облигации

Так как G-кривая является моделью оценки КБД, приведенная стоимость, полученная путем дисконтирования денежных потоков облигации при помощи G-кривой, является аппроксимацией рыночной цены ОФЗ + НКД (полная цена). Разность между приведенной стоимостью и рыночной ценой ОФЗ + НКД назовем ошибкой аппроксимации. Для облигации с индексом i обозначим данную ошибку как εit=Pi,lastt+AIit-PVit . Цена облигации в сценарии s определяется как приведенная стоимость в этом сценарии, скорректированная на ошибку аппроксимации, а также очищенная от НКД: Pi,lasts=PVis+εit-AIit+Δt .(3)

Описание и анализ задачи оптимизации

В статье (Optimization of Conditional Value-at-Risk, 2000) Урясьев и Рокафеллар показали, что в случае, когда совместная функция распределения потерь активов портфеля задана конечным набором векторов us, S=1,…,Nscen с соответствующими вероятностями ps , задача оптимизации портфеля по критерию минимума CVAR может быть представлена в виде задачи линейного программирования: minx,β,y+⁡β+11-α∑s=1Nscenpsys+ .(4) При ограничениях ys+≥0, (5) xTus+β+ys++ΔΠs0≥0, для s=1,…,Nscen, (6) -xTu--ΔΠ0-≥ΔW, (7) -xTLI≤LI-, (8)

где: x – вектор вложений в активы портфеля (в количестве ценных бумаг); β – уровень потерь по портфелю, который не будет превышен с вероятностью α (VaR); y+ - вектор вспомогательных переменных задачи, состоящий из ys+ ; us – потери активов портфеля, соответствующие сценарию s ; ΔΠs0 – потери портфеля, состоящего из начальных вложений, соответствующие сценарию s; u- – средние потери активов портфеля; ΔΠ0- – средние потери портфеля, состоящего из начальных вложений; α – уровень значимости; ΔW – минимальный средний доход, требуемый от портфеля. LI – матрица преобразования вида:

- xTLI=xibuy+xisell+xidirect+xireversei,

суммирующая количество ценных бумаг каждого выпуска, участвующих в ребалансировке; LI- - вектор ограничений на максимальное количество ценных бумаг каждого выпуска, участвующих в ребалансировке (ограничение на объем сделок с каждой ОФЗ).

Под потерями в данной задаче подразумевается размер убытка Инвестора в денежном выражении. В случае, если портфель приносит прибыль, «потери» будут принимать отрицательные значения.

Оптимизация портфеля осуществляется с помощью подбора оптимального количества облигаций для покупки/продажи, а также передачи/получения в рамках сделок РЕПО. В таком случае вектор x оптимизационных переменных для задачи (4) – (8) представляется в виде

x=x1buy,x1sell,x1direct,x1reverse,x11,….,xNbuy,xNsell,xNdirect,xNreverse,xN1.

Всем историческим сценариям G-curve придается одинаковая вероятность, пропорциональная количеству исторических сценариев: ps=1Nscen, ∀s=1,…,Nscen. Для сценария с индексом s цена облигации с индексом i определяется по формуле (3). Сценарное изменение стоимости портфеля без учета начальных вложений определяется как

ΔΠs=∑i=1NPi,mids-Pi,midtxibuy-xisell. (9)

Функция потерь us из (6) для сценария s определяется как величина, обратная финансовому результату:

xTus=-Δt365rCredit+ΔΠs+θΠ-Fee, s=1,…,Nscen. (10) Где θΠ=∑i=1NAIit+Δt-AIit+∑j: tj<ΔtCFijxibuy-xisell - увеличение НКД и выплата купона за период сделки РЕПО; Fee=c∑i=1NPi,bidtxisell+Pi,asktxibuy - уплата комиссий за покупку и продажу ценных бумаг; c – ставка комиссии. Часть портфеля, которая соответствует начальным вложениям, не зависит от выбора значений переменных x , однако потери этой части портфеля все равно зависят от сценария изменения цен. Потери для этой составляющей портфеля определяется по формуле:

ΔΠs0=-∑i=1NPi,lasts+AIit+Δt-Pi,lastt-AIitxi0, (11) ΔΠ0-=∑s=1NscenpsΔΠs0

Минимальный доход ΔW из ограничения (7) может быть представлен как

ΔW=YminΔt365Π0 , (12)

где: Π0=xmoney0+∑i=1NPi,lastt+AIit – стоимость портфеля до ребалансировки, Ymin – требуемая минимальная средняя доходность, выраженная в процентах годовых. Таким образом, задача оптимизации портфеля ОФЗ и сделок РЕПО представлена в виде задачи линейного программирования. Критерий оптимизации определяется формулой (4) с равными вероятностями, ограничения представлены неравенствами (5) - (8). Размерность вектора оптимизационных переменных зависит от количества облигаций в портфеле N , а также от количества сценариев Nscen : x,β+,β-,y+∈RN+2+Nscen . Количество ограничений зависит только от количества сценариев. Матрица ограничений A имеет размерность dim⁡A=Nscen+1,N+2+Nscen .

Численные эксперименты

Эффективность предложенного подхода оценивалась с помощью моделирования торговой стратегии на исторических данных. Тестирование осуществлялось на историческом периоде с 05.07.2017 по 19.11.2019. Далее будем обозначать дату начала этого периода как Tstart , а дату окончания - Tend . Расчетную дату будем обозначать как t . На первую расчетную дату Tstart Инвестору доступны средства в размере 1 млрд руб. Вложений в ценные бумаги на начальную дату у Инвестора нет:

xmoney0=109

xi0=0

Дальнейшее моделирование торговой стратегии на исторических данных можно описать циклом действий на каждую расчетную дату внутри периода.

1. Выбираются ОФЗ, находившиеся в обращении в дату t , а также в течение недели после этой даты. Количество различных выпусков таких облигаций будем обозначать Nt,t+Δt .
2. Для данных ОФЗ производится расчет сценариев изменения цен облигаций. Расчет осуществлялся на исторических данных, предшествующих расчетной дате. Количество сценариев будем обозначать как Nscen .
3. На основе сценариев изменения цен, а также исторических рыночных данных на дату t (цены облигаций, НКД, ставка РЕПО), осуществляется постановка задачи оптимизации. Поставленная задача решается методом внутренней точки (оптимизация реализована средствами языка Python, использовался солвер из библиотеки scipy.optimize.linprog). В результате решения переменная β в соответствии с теоремой Рокафеллара - Урясьева принимает значение VAR портфеля, а целевая функция – значение CVAR портфеля.
4. На дату t+Δt по портфелю рассчитывался модельный финансовый результат.
5. Модельный финансовый результат прибавляется к средствам, доступным Инвестору: xmoney0:=xmoney0+PnL . За расчетную дату принимается дата t+Δt .
6. Пока t+Δt<Tend , переход к шагу 1.

В портфель включались 20 выпусков ОФЗ с погашением от 11.05.2016 до 09.08.2034. Для построения сценариев использовались только исторические данные, «известные» на расчетную дату (т.е. более старые, чем расчетная дата). Горизонт планирования Δt - неделя. За выбранный период было произведено 119 ребалансировок портфеля. Дисконт РЕПО был определен на уровне 10%. Комиссия за сделку составляла 0,01%. Уровень значимости α из (4) был принят равным 95%. Ограничение на максимальный объем сделок с каждым выпуском определялось на основе недельного объема торгов. Для большинства выпусков, данное ограничение составляло порядка 10 млн бумаг.

Процедура моделирования стоимости портфеля на исторических данных осуществлялась при различных ограничениях на минимальную среднюю доходность Ymin . В качестве ограничения использовались значения от 7% до 15% с шагом в 0,5%. В таблице 1 описаны основные параметры ОФЗ, составляющих портфель.

В таблице 2 представлены цена и НКД соответствующих ОФЗ на дату ребалансировки (26.08.2019), а также на дату расчета финансового результата портфеля (02.09.2019)

Решением рассмотренной задачи стал портфель, состоящий из сделок, указанных в таблице 3:

Финансовый результат от данной стратегии за неделю составил 50,42 млн руб. (5,04%). Данный финансовый результат сложился из:

• прибыль от переоценки рыночной цены облигаций – 52,16 млн руб.
• прибыль от получения/уплаты процентов по сделкам РЕПО – 21,55 млн руб.
• убыток от изменения НКД облигаций – (16,52) млн руб.
• уплата комиссий – (6,7) млн руб.

В соответствии с общей постановкой задачи Рокафеллара - Урясьева параметр β соответствует уровню потерь, которые не будут превышены в α %-х случаев. Значение -βx0 определяет VAR относительного финансового результата портфеля. Значение целевой функции соответствует оценке CVAR портфеля.

Для того, чтобы оценить качество модели, «прогноз», полученный при решении оптимизационной задачи, сравнивался с «реализацией», полученной в результате численного моделирования на истории. «Прогнозной» доходностью портфеля будем считать ограничение на минимальную доходность (параметр задачи). За «Реализованную» доходность портфеля принимается средний относительный финансовый результат, определяемый в % годовых.

«Прогнозом» относительного риска для портфеля будем считать среднее по всем расчетным датам при одинаковом ограничении на минимальную среднюю доходность значение -βx0 , полученное в результате решения оптимизационной задачи. В таком случае, «реализованным» относительным риском будет квантиль модельного относительного финансового результата. Так как для решения оптимизационной задачи использовался 95%-й уровень значимости, квантиль модельного относительного финансового результата брался на уровне 5%.

Бэк-тестирование CVAR не проводилось ввиду сравнительно небольшого объема статистики (для каждого уровня минимальной средней доходности – 119 наблюдений).

На рисунке 2 представлены графики зависимости минимальной средней доходности (по оси Y) от «прогнозного» риска (по оси X) («прогнозная» эффективная граница портфеля), а также «реализованной» средней доходности (по оси Y) от «реализованного» риска (по оси X) («реализованная» эффективная граница портфеля). Для наглядности точки, определяющие реализованное и прогнозное соотношение риска и доходности, соответствующие одному и тому же портфелю, обведены овалом. Рисунок 2. Реализованная и предсказанная эффективные границы портфеля.

Чтобы оценить, насколько эффективно использовать данные торговые стратегии на рынке, для сравнения был построен график зависимости реализованной средней доходности от реализованного риска для портфелей, состоящих из вложений в отдельные ОФЗ (далее - маргинальные портфели). Доходность и риск по маргинальным портфелям рассчитывались также в соответствии с описанным выше. На рисунке 3 представлено сравнение реализованной эффективной границы портфеля и графика реализованной доходности к риску для маргинальных портфелей. Рисунок 3. Эффективная реализованная граница портфеля и характеристики маргинальных портфелей

Как видно, высокодоходные портфеля в среднем приносят более высокий доход, чем вложения в облигации с сопоставимым уровнем риска. Кроме того, благодаря финансовому рычагу, реализованному через сделки РЕПО, можно построить портфель с более высокой средней доходностью, чем доходность любой ОФЗ, торгуемой на рынке.

На рисунках 4 и 5 представлены графики стоимости и накопленной доходности портфелей при различных ограничениях на минимальную среднюю доходность в процентах годовых. Накопленная доходность определяется как средняя за период моделирования доходность, рассчитанная на шаге 4) цикла действий моделирования торговой стратегии. Полученные графики сравнивались с графиком индекса Московской биржи RGBITR – индекс полного дохода ОФЗ. Подробнее про методику расчета и состав индекса описано на сайте МБ: >>>> . Для наглядности сравнения, значения индекса были масштабированы до уровня, соответствующего количеству изначальных вложений в портфель, а также были учтены комиссии за ребалансировку. Рисунок 4. График стоимости портфелей с различными ограничениями на минимальную среднюю доходность в сравнении с индексом ОФЗ

Рисунок 5. График накопленного дохода торговых стратегий с различными требованиями к минимальной средней доходности.

Заключение

Для указанной торговой стратегии на основе задачи оптимизации Рокафеллара-Урасьева была сформулирована задача оптимизации CVAR портфеля для конечного количества сценариев изменения цен облигаций. Для построения этих сценариев в работе был представлен метод генерации сценарных цен облигаций на основе исторических данных. Поставленная оптимизационная задача является задачей линейного программирования сравнительно невысокой размерности, что позволяет быстро решать подобные задачи на относительно слабых компьютерных системах.

Для различных вариантов ограничения на минимальную доходность портфеля было произведено моделирование торговой стратегии на историческом периоде протяженностью более 2-х лет. Результаты численного моделирования показали, что реализованная доходность портфеля оказалась несколько ниже, чем прогнозная. Реализованный риск портфеля оказался выше, чем прогнозный. Вместе с тем, соотношение доходность-риск торговой стратегии лучше, чем аналогичное соотношение для отдельных выпусков ОФЗ. Кроме того, возможность создавать финансовый рычаг путем покупки облигаций на заемные средства, или формировать короткие позиции путем продажи облигаций, полученных в обратное РЕПО, позволила сформировать портфели с более высокой доходностью, чем у ОФЗ, торгуемых на рынке. За рамками настоящей работы остался следующий ряд вопросов:

• При моделировании сценариев G-кривой никак не учитывается возможное изменение ошибки аппроксимации G-кривой рыночной цены облигации;
• Подход, описанный в данной статье, не учитывает проверку на достаточность средств при проведении каждой сделки и предполагает, что проверка достаточности будет осуществляться во время клиринга в конце торговой сессии.