<strong>1. Фундирование (обоснование, закрепление) темы.</strong>

Всякому проявлению экономической динамики присуще свойство инерционности. Это несмотря на то, что при моделировании и анализе некоторые быстропереходные процессы, например, в монетарном секторе, можно условно отнести к безынерционным на фоне более медленных составляющих движения. Адекватных знаний об экономических аспектах обсуждаемого явления на сегодняшний день явно недостаточно, а имеющиеся сведения представлены вербально в абсолютном большинстве источников. Сам понятийно-категориальный аппарат исследования данной темы базируется, в основном, на положениях экономической теории и философии. Примером тому могут служить работы (Сиднина, 2002, 2009). Данные инструменты исследования проблемы в экономике оказались на первом плане по причине необыкновенной многогранности, многоаспектности, многоуровневости самого этого понятия. Множество смыслов, вкладываемых в него, касается различных вариантов проявления устойчивости или изменчивости структур и динамики процессов в экономике и социальной сфере, чему посвящены исследования, результаты которых представлены в диссертациях (В.Л. Сиднина, Н.В. Воеводина), монографиях (Воеводина, 2001), (Нельсон, Уинтер, 2002), научных статьях (Полтерович, 2007), (Агеева, Спахов, Юшкова, 2018). Иностранные авторы в проблеме также представлены скудно (Narula, Jormanainen, 2008), (Narula, 2002), а публикаций после 2018 г. нам при всём старании обнаружить не удалось, за исключением тезисов в сборниках трудов научных конференций. Исключение здесь представляет глава из монографии (M. Różycki, 2019). Общим для перечисленных работ являются: «постановка проблемы», «рассмотрение сущности явления», «выявление особенностей». При этом элементы анализа инерционности в социально-экономических системах математическими методами не уходят далее предложений об описании этих систем некими (не уточняется, какими именно) функциями с последующим построением матрицы Якоби с участием этих функций и переменных, от которых они зависят (Павлов, Самохин, 2007). Есть предложения по моделированию инерционности соответствующими эластичностями. На этом математика исследования проблемы исчерпывается. Косвенным образом она затрагивается в работах (Аглицкий, Клейнер, 2018), (Баранова, Сорокин, 2017), (Любушин, Бабичева, Конышков, 2017), (Вигенский, Лившиц, Смоляк, 2015), (Любушин, Бабичева, Усачёва, Шустова, 2015). В последнем списке речь идёт об устойчивости и устойчивом развитии экономики, человеческом капитале, инвестициях, инвестиционной деятельности, а это сугубо инерционные категории. Примеров тому масса, но мы не станем искусственно расширять библиографический список.

Итак, большинство форм проявления экономической жизни инерционны. Функционирование контура управления экономикой также в полной мере обладает этим свойством. Последнее часто, порой во вред планируемому и возможному для достижения результату, оправдывается необходимостью: исповедовать взвешенный подход; получить обоснованное, выверенное управленческое решение; опереться на правило «семь раз отмерь…». При этом другое правило, согласно которому «кто выигрывает время, тот выигрывает всё», оставляется в стороне. Очевидно, что искусство управления среди прочего состоит в избегании указанных крайностей, в умении и желании своевременно ставить и решать серьёзные экономические задачи. Инерционности как явление рассматриваются в микро- (Нельсон, Уинтер, 2002), макро- и институциональной экономике (Полтерович, 2007). В самом деле, всякий признает их наличие в процессах целенаправленного преобразования институтов и формирования институциональных ловушек, реформирования рынков, трансформационных спадов и восстановительных релаксаций с последующими подъёмами, называемыми периодами экономического роста. Масса публикаций, в которых обсуждаются варианты проявления анализируемого свойства в экономических системах, относятся к периоду от середины 1990-х до начала двухтысячных годов. Перечень таких работ, опубликованных ведущими научными изданиями России, объединён источником с номером 5 и приведен в списке литературы в (Сиднина, 2002). Знакомясь с работами из приведённого списка можно прочитать о некой «вязкости» структуры производственных и институциональных систем, производительных сил и производственных отношений, принятия разноуровневых управленческих решений. Этим свойством обладает наука (все знают, что, порой, новое трудно пробивает себе дорогу) и мышление, переходные процессы различаются по качеству и интенсивности, а виды экономической деятельности и рынок труда имеют различные чувствительности ко всем управляющим воздействиям: от инвестиционных до административных. Словом, обсуждаемое понятие чрезвычайно многоаспектно. С его проявлениями авторы упомянутых и иных работ связывают и генерацию циклов деловой активности (Агеева, Спахов, Юшкова, 2018), и временные параметры смены технологических укладов (Глазьев, 2016), и вообще всё, что имеет динамику. При этом в зависимости от содержательной постановки задачи делается вывод о полезности бо́льших или ме́ньших инерционностей (Воеводина, 2001). В качестве примера отметим, что экономике желательно обладание демпферными свойствами в отношении циклов деловой активности, а также в отношении рецессий, экономических кризисов и спадов (Журавский, 2005, 2019), (Афонасова, 2019), а вот их проявления в деятельности предприятий торговли, например, следует минимизировать (Шишкин, Капустина, Кудрявцева, Шишкин, 2012). И само собой, если речь идёт о столь вожделенном для России экономическом росте, то хочется стать свидетелями и творцами его устойчивого магистрального темпа в соответствии с экспоненциальным законом и со всеми пропорциями, отражаемыми в теории и методологии «затраты-выпуск» (Широв, 2018). В последнем случае меньшие собственные (то есть внутриотраслевые) инерционности говорят о более высокой чувствительности экономики к управляющим, прежде всего к инвестиционным, воздействиям.

Анализ приведённых и иных публикаций позволяет видеть, что проблема экономико-математического моделирования предмета нашего исследования в экономических системах замечалась и анализировалась, но решения найдено не было. Исключения составляют работы (Воеводина, 2001) и (Рудакова, 2001), где содержатся указания на необходимость включения в макроэкономическую модель числовой оценки инерционности в виде соответствующего параметра или коэффициента. И если в (Воеводина, 2001) это просто число, позволяющее поставить знак равенства (вместо знака пропорциональности) в некой формуле, то в (Рудакова, 2001) предложен более сложный подход: сформирована числовая оценка, зависящая от многих компонент. Однако не стоит уповать на высокую информативность одного единственного числа, записанного в отношении сложной и высокоразмерной экономики, даже если его конкретное значение зависит от многих переменных и параметров модели или факторов реальной экономической жизни. К тому же манипулирование одним числом оставляет без ответа частый вопрос экономистов: «А как учитываются пропорции экономического развития?»

Теоретики-классики от экономики и смежных наук выявляют сущности, вводят и раскрывают категории и понятия, устанавливают разные системные свойства, в том числе анализируют формы проявления инерционности в экономике и социальной сфере (Berns, Мetchell, 1946), (Blanchard, Fisher, 1989). Однако наиболее продуктивный, на наш взгляд, подход в проблеме основан на обращении к леонтьевской методологии и моделям «затраты-выпуск». Почему? А потому, что сам В.В. Леонтьев великолепно сочетал в работе глубину проникновения в теоретический и прикладной экономический анализ с сильной математической стороной своих исследований. Это во-первых. Во-вторых же, инерционности (мы переходим к множественному числу этого термина) характеризуют свойства структуры экономики, а модель межотраслевого баланса (МОБ) как раз структурная. Более того, количественная оценка этих явлений даёт представление о структурной экономической <em>динамике</em>, а это значит, что нам надо использовать <em>динамические</em> модели МОБ.

<strong>2. Теоретические основы исследования </strong><strong>структурных</strong><strong> инерционностей.</strong>

Итак, межотраслевой анализ, давно уже превратившийся в мультидисциплинарную область, органически сочетает высокий уровень теории и непреходящие возможности практического (численного) анализа протекающих в экономике процессов. Для следующих за Леонтьевым поколений экономистов стала очевидной бессмысленность введения в экономическую науку любых понятий, если соответствующие им процессы недоступны для численного анализа. А если ближе к теме исследования, то до настоящего времени серьёзные числовые оценки инерционностей были недоступны исследователям. Мы попытаемся начать решать эту проблему. Для этого отметим, что адекватная поставленной проблеме модель стала известна экономической науке в 1952 г., когда динамическая теория «затраты-выпуск» стала внедряться в практику исследования экономики США. Позже автор включил модель в свои «Экономические эссе» (Леонтьев, 1990), записав её в виде: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mi>p</mi><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>A</mi><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>Y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> (1) где использованы традиционные леонтьевские обозначения, например, из (Леонтьев, 1990). Рассмотрение же современного состояния проблемы отраслевой классификации в России и за рубежом выполнено в (Козырь, Коваленко, 2017). Особое внимание в модели (1) привлекает матрица <em>B</em>. Её классическое название – матрица приростных фондоёмкостей (капитальных коэффициентов, как у Леонтьева). Вместе с тем, в «Экономико-математическом словаре» Л.И. Лопатникова читаем: «Если провести физическую аналогию, этот показатель как бы играет роль массы, характеризующей инерцию экономической системы: чем больше требуется капиталовложений на дополнительную единицу производства конечного продукта, тем система более инерционна (меньше её реакция на изменение объемов капитальных вложений)». Таким образом, матрицу <em>B</em> модели (1) логично и закономерно назвать матрицей инерционностей формирования основного капитала. Иное проявление данного свойства рассмотрено ниже.

Несмотря на заверения В. Леонтьева в (Леонтьев, 1990) о физическом наличии матрицы <em>B</em> для экономики США размером (100×100), для нас она так и осталась недоступной. Наши собственные поиски продлились четверть века и не привели к обладанию такой матрицей, разработанной хотя бы для какой-то экономики мира. Таким образом, с почти стопроцентной вероятностью можно утверждать, что указанных матриц не существует. Советскими и российскими органами статистики она тоже не разрабатывалась. Пару исключений являют наши собственные недавние публикации. Приведём ссылку с примером¹. Такое положение имеет свои объяснения. Во времена действия классификатора ОКОНХ считалось, что матрица <em>B</em> вырождена на том основании, что числовое наполнение могут иметь только строки, соответствующие фондообразующим отраслям. Таковых насчитывалось две (или две группы отраслей в детализированных балансовых схемах): строительство и машиностроение. Указанный «факт» становился известным исследователям ещё со студенческой скамьи и потом всю жизнь не подвергался сомнению. «Аксиома» о вырожденности <em>B</em> многие десятки лет отбивала охоту заниматься моделью (1), которая была отнесена к «чисто теоретическим конструкциям» (Суворов, Трещина, Белецкий, 2017) и стала присутствовать только в университетских лабораторных практикумах, где студентам предлагались условные примеры размерности (3×3). Вместе с тем, вырожденность <em>B</em> языком математики говорит о том, что модель (1) представляет собой систему, состоящую как из дифференциальных, так и из алгебраических уравнений. Последнее означает, что вектор выпуска <em>X</em><em>(</em><em>t</em><em>)</em> состоит из интегрируемых и неинтегрируемых переменных. Первые не могут меняться скачком, обладают инерционностями. Вторые могут изменяться внезапно, являются безынерционными. Последнее трудно представить в условиях реальной экономики, где отраслевые выпуски товаров и услуг «в условиях мирного времени» скачкообразно не меняются, межотраслевые инерционности присутствуют, матрица <em>B</em> может иметь нулевые элементы, но вырожденной быть не может. Внезапно могут измениться, например, экономические отношения, формы мотивации экономической активности, институты и механизмы принятия решений, цены конечных потребителей, ставки, курсы, тарифы и прочие атрибуты функционирования отраслей, не отражаемые в модели (1). Наконец, наши ранние попытки оцифровки (1) наталкивались на всегдашнее появление в <em>B</em> множества отрицательных элементов, что не имеет смысла в нормально функционирующей экономике. Для пояснения сказанного обратимся к первоисточнику, то есть к В.В. Леонтьеву (Leontief, 1953), заметив, что первое слагаемое в левой части (1) представляет собой акселератор, характеризующий внутрисистемные инвестиции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>I</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>B</mi><mi>p</mi><mi>X</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> . Для года с номером <em>i</em> можно записать разностный аналог этого акселератора <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>B</mi><mo>∆</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> .

Рассуждая в терминах ОКОНХ и выполняя измерения в текущих ценах положим, что: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo></math> годовые инвестиции отрасли номер <em>j</em> в фонды, произведенные в отрасли <em>i</em>; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo></math> общая стоимость основного капитала, произведенного в <em>i</em> и установленного <em>j</em>; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo></math> производственная мощность отрасли <em>j</em>; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo></math> норма амортизации капитала, произведенного в <em>i</em> и установленного в <em>j</em>; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mo>∆</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo></math> годовая норма приращения производственной мощности отрасли <em>j</em>; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo></math> общий капитальный коэффициент отрасли <em>j</em>. Обладание соответствующей статистикой сделало бы возможным определение элементов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> матрицы <em>B</em> следующим делением: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math> . (2) Тогда суммированием можно получить <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi></mrow></munder><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow></mrow></math> На первый взгляд формула (2) не обещает появления отрицательных <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> . Но если учесть, что годовые инвестиции отрасли <em>j</em> в фонды, произведенные в отрасли <em>i</em> пойдут на амортизацию и прирост этих самых фондов, то будет справедливо равенство <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mo>∆</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mo>∆</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> . (3) откуда находим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>X</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mo>∆</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math> . (4)

В равенстве (4) калибровке подлежат величины <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mo>∆</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> при обязательном выполнении условия <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></math> . Надо иметь такие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mo>∆</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> , при которых выполняется неравенство <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn></math> , поскольку отрицательные <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> не имеют экономического смысла. А если так называемый «здравый смысл» в те или иные периоды «развития» оказывается утраченным, и экономика принудительно переводится на траекторию самоликвидации, как это было в России в 1990-е годы? Тогда мы будем иметь объёмы сокращения, а не приращения производственных мощностей (отрицательные <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mo>∆</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> ), которые даже могут превысить все мыслимые нормы амортизации основного капитала. Это арифметически железно обеспечивает знак минус в скобке знаменателя формулы (4) и отрицательность <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> . Формулы (2) и (4) определяют один и тот же показатель. В случае использования (2) отрицательные <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> возникнут соответственно при так называемых «отрицательных стоимостях» <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi> </mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> . Не будем больше это обсуждать, так как на теоретическом уровне всё ясно, а подойти вот так к проблеме построения матрицы <em>B</em> невозможно по причине отсутствия данных статистики, во всяком случае, в открытом доступе.

Мы неоднократно рассматривали вопрос замыкания модели (1) по потреблению, здесь для примера можем сослаться на (Торопцев, Мараховский, Дужински, 2020). Если модель записать для одной отрасли, то получим <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>b</mi><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>l</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>x</mi></math> , (5) где <em>l</em> – параметр потребления, линейно связывающий его с выпуском. Тогда общее решение для (5) имеет вид: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mfrac><mi>t</mi></mrow></msup></math> . (6) Числитель показателя степени больше нуля, поэтому при <em>b</em>0 его рост, что согласуется с изложенными нами выше рассуждениями на основе первоисточника (Leontief, 1953). Но данных для расчётов по формуле (4) нет, тогда как проблема оцифровки модели (1) решена нами в (Торопцев, Мараховский, Дужински, 2020). При этом меньшие положительные значения инерционности <em>b</em> ведут к более высокому темпу роста производства. Само собой, необходимо выполнение условия <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>b</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></math> так же, как и условия невырожденности матрицы <em>B</em> для многоотраслевой модели. Анализируя решение (6) можно видеть, что при <em>b</em>=1-<em>a</em>-<em>l</em> производство за 1 год вырастет в <em>e</em> раз, а в общем случае рост в <em>e</em> раз будет достигнут за <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>l</mi></mrow></mfrac></math> лет. Оговоримся, что не обязательно так именно и вырастет, просто структура экономики позволяет это сделать.

Наше название матрицы <em>B</em> из модели (1) обусловлено следующими соображениями: 1) приростные фондоёмкости безразмерны, а инерционности имеют размерность времени – это важно для модели (1); 2) в уравнении инерционного звена первого порядка, известном из теоретической механики, электротехники и иных дисциплин и внешне схожем с (5), перед производной стоит постоянная времени этого звена. Таким образом, названия коэффициента <em>b</em> в модели (5) и матрицы <em>B</em> в (1) представляются вполне логичными. Вместе с тем, мы отдаём себе отчёт в том, что уравнение (5) нельзя отождествлять с уравнением упомянутого звена первого порядка, и структурные свойства экономики определяются всей полнотой моделей (1) и (5). И если постоянная времени указанного звена равна времени, в течение которого свободная составляющая переходного процесса затухает в <em>e</em> раз, то в модели (5) свободная составляющая не выделяется по причине наличия выхода, но отсутствия входа в модель в явном виде. Входные воздействия в межотраслевой модели представлены её параметрами – элементами всех массивов. Поэтому в модели (5) переходный процесс представлен формулой (6), а для модели (1) он определялся бы интегрированием соответствующей матричной экспоненты <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>e</mi><mi>x</mi><mi>p</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>E</mi><mo>-</mo><mi>A</mi><mo>-</mo><mi>L</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi>t</mi></math> после приведения модели к нормальной форме Коши. Здесь <em>E</em> – единичная матрица; <em>L</em> – матрица, возникающая в (1) вместо коэффициента <em>l</em> в (5) (Торопцев, Мараховский, Дужински, 2020). Исчерпывающие выводы о качестве переходных процессов, о собственных (внутренних, структурных) динамических свойствах (СДС) экономики теоретически были бы доступны на основе анализа собственных значений и собственных векторов матрицы состояния (1) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>E</mi><mo>-</mo><mi>A</mi><mo>-</mo><mi>L</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> . Её элементы имеют размерность частоты (1/год). Как известно, собственные значения и векторы этой матрицы однозначно определяют структурную динамику. Точные суждения о полных межотраслевых инерционностях, формируемых всеми массивами модели, можно было бы высказывать на основе анализа элементов матрицы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>E</mi><mo>-</mo><mi>A</mi><mo>-</mo><mi>L</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>B</mi></math> . Её элементы имеют размерность времени; в данном случае время измеряется в годах. Матрицы <em>B</em> (собственно говоря, как и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math> ) для различных экономик можно было бы сравнивать между собой с целью сопоставительного анализа их динамических свойств. Спектры собственных значений матриц состояния также служат решению этой задачи. Естественно, модели разных экономик тогда надо строить в координатах одних и тех же отраслей (ВЭД).

Почему в вышесказанном присутствует частица «бы», означающая, как известно, предположительную возможность? Поспешим ответить на этот вопрос. Уравнения динамического МОБ можно записать как по строкам баланса, так и по столбцам, как это делают в случае составления ценовой модели МОБ. В последнем случае получим модель с некоторой матрицей <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> перед производными, которая будет характеризовать динамику процесса создания валовой добавленной стоимости (ВДС), тогда как <em>B</em> из (1) отображает динамику образования основного капитала отраслей. Таким образом, это две разные матрицы инерционностей. Если ВДС представляет собой разницу между валовым выпуском и промежуточным потреблением, то <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mi>p</mi><mi>X</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi>X</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> . (7) Наши многолетние попытки получить/вычислить/синтезировать неотрицательные <em>B</em> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> увенчались успехом только в упомянутой уже дважды нашей работе. До этого среди элементов данных матриц неминуемо/неистребимо присутствовало доминирующее множество отрицательных. Мы не были одиноки в своих неудачах, чем объясняется тотальное отсутствие обсуждаемых матриц в научных и статистических изданиях, а Росстат никогда не ставил задачу их разработки. Нами впервые «неубиваемая» отрицательность элементов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mfenced></math> была преодолена. Это стало возможным благодаря предложению одного из авторов данной статьи проф. А.С. Мараховского о введении в модель (1) так называемой базовой матрицы <em> </em><em>BM</em> (base matrix), на которую умножается вектор валового производства так, что при получении матрицы состояния <em>G</em> на месте единичной матрицы оказывается базовая. Указанный новый пока ещё математический объект обладает тем свойством, что умножение его на вектор <em>X</em> возвращает тот же вектор <em>X</em>. То есть вектор выпуска является собственным вектором базовой матрицы, которому соответствует единичное собственное значение, поэтому <em>BM</em><em>×</em><em>X</em><em>=</em><em>X</em>. Иначе – никак, иначе динамический МОБ в форме дифференциальных уравнений навсегда останется только элементом студенческих лабораторных практикумов.

Введение матрицы <em>BM</em> в модель является обоснованным авторским приёмом, без которого невозможно получение адекватной реальной экономике оцифрованной модели. Это обстоятельство поясняется ниже, а пока заметим, что адекватна та модель, с помощью которой успешно достигаются поставленные цели анализа и синтеза желаемых СДС и качества структурных переходных процессов в экономике. Это свойство в данном случае не равносильно понятиям полноты и точности моделирования. Для удовлетворения последним необходимо включение исследуемой здесь модели в состав ведущих в области макроэкономики модельных комплексов типа RIM (Широв, Янтовский, 2017). И ещё. Немного отвлекаясь от непосредственной темы исследования и с забеганием вперёд отметим, что программно формировать желаемые «вязкости» функционирования экономических систем можно на путях реализации опять-таки адекватной этой цели денежной, денежно-промышленной, инвестиционной и всякой иной политики. Такую задачу должен эффективно решать контур управления экономикой, также обладающий исследуемым свойством. Например, инвестиции осуществляются через кредит. Это прямо значит, что Банк России и все, кто входят в сферу его влияния, должны производить кредит, отвечающий долговременным целям развития экономики, а не только печатать и тратить рубли на покупку той или иной валюты для формирования резервов, недоступных потом экономическим агентам. Но это не сегодняшняя наша тема.

<strong>3. Вычислительные эксперименты и их анализ.</strong>

Перейдём теперь к обоснованию и анализу вычислительных экспериментов. По первому пункту сообщим, что расчёты выполнялись на основе статистики за 2011 г. из периодически издаваемого Росстатом сборника². Почему именно так, ведь год-то уже далёкий? А потому, что: <ul class="docx-publication-list"> <li>в наших расчётах «свежесть» статистики не требуется, да и структура экономики за последующие 10 лет не претерпела радикальных трансформаций; </li> <li>в это время уже сошло на нет влияние мирового кризиса 2008-2009 гг., а эпоха экономического давления и санкций ещё не наступила; </li> <li>год был относительно спокойным в отношении функционирования экономики и возможностей её развития и роста. </li></ul> Главное же обстоятельство, побудившее обратиться именно к этим данным, заключается в том, что они за указанный год уже не корректируются своим производителем, время их уточнения и пересчёта надёжно истекло, а сами данные тем же Росстатом переведены из ОКВЭД-1 в ОКВЭД-2. Обращение же к таблицам, скажем, 2019 г. чревато тем, что их данные в 2021 г. могут отличаться от того, что сообщалось, например, в году 2020-м. В течение нескольких лет ведомство может изменять/уточнять официально уже опубликованную статистику в последующих изданиях своих трудов.

«Национальные счета России» раз в два года сообщают нам для расчётов матрицы формирования выпуска товаров и услуг на пятилетнем интервале. Это в наших обозначениях <em>PM</em> – production matrix. Таблица плохо обозрима из-за своей размерности, поэтому мы представляем её на рисунке (Рис. 1а и 1б)). Отметим, что в процесс формирования данных обсуждаемого массива внесли свой «вклад» все возможные в такой работе источники ошибок – это неизбежность. Шапка таблицы и левый столбец содержат перечисления разделов ОКВЭД-2 – видно на Рис. 1б, нижняя строка и правый столбец представляют валовые выпуски. При этом первая (содержит суммы элементов столбцов таблицы) даёт представление о денежных суммах в разрезе ВЭД, выступающих в качестве оценки товаров и услуг для продажи и потребления, а второй (содержит суммы элементов строк) информирует о материальных результатах процессов производства продукции и услуг. <table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Рис. 1а – Диагональные элементы PM</td><td class="docx-publication-cell"> Рис. 1а – Диагональные элементы PM </td></tr></table> <em>Источник</em>: Национальные счета России в 2011–2016 годах. Суммы элементов указанных строки и столбца равны – это число в правом нижнем углу таблицы, как в схеме МОБ. Величины же соответствующих разным ВЭД элементов строки и столбца хоть и сопоставимы друг с другом, но в целом различны. Деление Рис. 1 и других далее на а) и б) связано с доминированием диагонали, когда внедиагональные элементы на её фоне исчезающе малы и плохо различимы на картинке. Сказанное даёт основание для различия «произведённого» и «использованного» выпуска. Обозначим их теперь как <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub></math> и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mi>d</mi></mrow></msub></math> соответственно. Это позволяет так записать теперь модели (1) и (7):

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mi>p</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>A</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>Y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>u</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi></math> (8a) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi> </mi><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mi>p</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mi> </mi></math> (8b)

Первоначально рассмотрим уравнение (8b), записанное по схеме МОБ «сверху вниз». Для этого случая Росстат публикует вектор промежуточного потребления (intermediate consumption vector, обозначим его <em>ICV</em>), а также вектор добавленных стоимостей (value added vector, то есть <em>VAV</em>). Справедливо равенство

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>I</mi><mi>C</mi><mi>V</mi><mo>+</mo><mi>V</mi><mi>A</mi><mi>V</mi></math> . (9)

Векторы, входящие в равенство (9), являются свёртками матриц промежуточного потребления (<em>MIC</em> – the matrix of intermediate consumption) и добавленной стоимости (<em>MVA</em> – the matrix of value added). Векторы из (9) задают необходимые пропорции для генерации последних матриц при естественном выполнении равенства

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>P</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>M</mi><mi>I</mi><mi>C</mi><mo>+</mo><mi>M</mi><mi>V</mi><mi>A</mi></math> . (10)

Переход от (9) к (10) задаётся формулой <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>P</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>P</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>×</mo><mi>I</mi><mi>C</mi><mi>V</mi></mrow></mfenced><mo>×</mo><msup><mrow><mi>P</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>P</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>×</mo><mi>V</mi><mi>A</mi><mi>V</mi></mrow></mfenced><mo>×</mo><msup><mrow><mi>P</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></math> , (11) из которой очевидны матрицы правой части (10), построенные на основе пропорций, заданных векторами из (9). Элементарные алгебраические приёмы показывают верность (11). Выражения (9) и (10) связывает также следующая формула: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>P</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>×</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>×</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>M</mi><mi>I</mi><mi>C</mi><mo>×</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>×</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>M</mi><mi>V</mi><mi>A</mi><mo>×</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>×</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub></math> , (12) где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><msubsup><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> является диагональной матрицей, а столбец <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>.</mo></math> Уравнение (12) позволяет перейти от финансовых потоков к удельным затратам и приводит к статической ценовой модели МОБ, что нетрудно видеть. Во-первых, умножение матрицы на вектор с единичными элементами суммирует её строки, что сразу даёт (9). Во-вторых, и это самое ценное для нас, умножение базовой матрицы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>P</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>×</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>B</mi><mi>M</mi></math> на вектор <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub></math> даёт тот же вектор по сообщённой выше причине. На самом деле если <em>PM</em> это матрица формирования выпуска товаров и услуг, то <em>BM</em> это со всей очевидностью матрица коэффициентов формирования выпуска товаров и услуг. Но наше название короче и подчёркивает фундаментальную роль введённого объекта. В-третьих, справедливы записанные на основе (12) уравнения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mi>M</mi><mo>×</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>×</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mrow><mi>M</mi><mi>V</mi><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>M</mi><mi>V</mi><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>M</mi><mi>V</mi><mi>A</mi><mo>×</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mi>B</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>×</mo><msup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>×</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mrow><mi>B</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>×</mo><msup><mrow><mi>M</mi><mi>V</mi><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>×</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math> (13) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>×</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>V</mi><mi>A</mi><mi>V</mi><mo>,</mo></math> где нижнее уравнение представляет собой тот самый ценовой МОБ в совсем уже узнаваемом виде. Таким образом, в (13) нами идентифицирована матрица коэффициентов прямых производственных затрат из основного уравнения МОБ (1). Динамизм же процесса создания добавленной стоимости может быть учтён, если:<ul class="docx-publication-list"> <li>нижнее уравнение (13) записывать для соседних периодов <em>t</em>;</li> <li>использовать разностное уравнение; </li> <li>использовать дифференциальное уравнение (8b). </li></ul> При этом для анализа структурных переходных процессов оно записывается в нормальной форме Коши: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>B</mi><mi>M</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>G</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi></mrow></msub></math> . (14) В уравнении (14) вместо единичной использована базовая матрица. При этом качественное приближение матрицы состояния <em>G</em> можно определить на основе анализа динамики валового производства, которую предоставляет Росстат. Для этого выполняются следующие манипуляции.

На основе анализа указанной динамики за несколько лет задаём приближение матрицы состояния модели. Так, если в номинальном денежном выражении динамика была экспоненциальной, то, например, считаем, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><msubsup><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>;</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>l</mi><mi>n</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>2018</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>2011</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2018</mn><mo>-</mo><mn>2011</mn></mrow></mfrac></math> (15) на интервале 2011-2018 гг. Если же в каких-либо ВЭД наблюдаются околотрендовые колебания различной природы, то среди собственных значений <em>G</em> появляются комплексно-сопряжённые пары <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>±</mo><mi>i</mi><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><msqrt><mo>-</mo><mn>1</mn></msqrt></math> . Тогда формула (15) модифицируется, а избежать работы с комплексной арифметикой можно за счёт организации в матрице <em>G</em> блочно-диагональных клеток второго порядка вида <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mo>-</mo><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> . (16) Как правило, этого достаточно, но при необходимости отобразить более сложные процессы, вызывающие образование кратных комплексных пар собственных значений, матрица <em>G</em> на диагонали будет содержать жордановы клетки соответствующего размера. Однако это маловероятный для экономики случай.

Основные вычислительные соотношения получены, можно приступить к представлению результатов расчётов. При этом мы более не будем размещать в статье данные из источников, которые легко доступны в интернете, в частности на официальном сайте Росстата, а сообщим и проанализируем только собственные расчёты. Так, базовая матрица экономики России в ОКВЭД-2 представлена Рис. 2а и 2б, структурно схожим с Рис. 1а и 1б. Естественно, что заданное изначально матрицей <em>P</em><em>M</em> диагональное доминирование сохраняется. Базовая же матрица, обладающая названным выше чудесным свойством <em>X</em><em>=</em><em>BM</em><em>×</em><em>X</em>, позволила использовать модель (1) для исследований структуры реальной экономики и уверенно расположить её во множестве вычислимых. Формула (11) позволяет вычислить матрицы промежуточного потребления (промежуточных затрат) <em>MIC</em> и добавленной стоимости <em>MVA</em>, это таблицы в миллионах рублей, отображаемые Рис. 3 и 4 а) и б) соответственно. Из (12) следуют матрицы коэффициентов промежуточных (иными словами прямых производственных) затрат <em>A</em> и матрицы коэффициентов формирования добавленной стоимости <em>MVA՛</em> из верхнего уравнения (13), что представлено на Рис. 5 и 6 в той же компоновке. При этом несложно видеть, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mi>M</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>M</mi><mi>V</mi><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>ˊ</mi></mrow></msup></math> . Рис. 2а – Диагональные элементы <em>BM</em><em> </em>Рис. 2б – Внедиагональные элементы <em>BM</em> <em>Источник:</em> авторские расчеты.

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Рис. 3а – Диагональные элементы матрицы промежуточного потребления (прямых производственных затрат)</td><td class="docx-publication-cell"> Рис. 3б – Внедиагональные элементы матрицы промежуточного потребления (прямых производственных затрат)</td></tr></table> <em>И</em><em>сточник:</em> авторские расчеты. <table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Рис. 4а – Диагональные элементы матрицы добавленных стоимостей</td><td class="docx-publication-cell"> Рис. 4б – Внедиагональные элементы матрицы добавленных стоимостей</td></tr></table> <em>Источник: авторские расчеты.</em> <table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Рис. 5а – Диагональные элементы матрицы коэффициентов прямых производственных затрат</td><td class="docx-publication-cell"> Рис. 5б – Внедиагональные элементы матрицы коэффициентов прямых производственных затрат</td></tr></table> <em>Источник: авторские расчеты.</em> <table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Рис. 6а – Диагональные элементы матрицы коэффициентов формирования добавленной стоимости</td><td class="docx-publication-cell"> Рис. 6б – Внедиагональные элементы матрицы коэффициентов формирования добавленной стоимости</td></tr></table> <em>Источник: авторские расчеты.</em> Оцифровка модели будет завершена, если по данным валового производства будет определено приближение матрицы состояния <em>G</em> из двадцати диагональных элементов. Если рассматривать динамику валового производства по данным Росстата на принятом интервале, то <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>G</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mn>0,085</mn><mo>;</mo><mn>0,125</mn><mo>;</mo><mn>0,096</mn><mo>;</mo><mn>0,058</mn><mo>;</mo><mn>0,099</mn><mo>;</mo><mn>0,066</mn><mo>;</mo><mn>0,065</mn><mo>;</mo><mn>0,102</mn><mo>;</mo><mn>0,094</mn><mo>;</mo><mn>0,089</mn><mo>;</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mn>0,100</mn><mo>;</mo><mo>,</mo><mn>0,074</mn><mo>;</mo><mn>0,093</mn><mo>;</mo><mn>0,131</mn><mo>;</mo><mn>0,084</mn><mo>;</mo><mn>0,070</mn><mo>;</mo><mn>0,093</mn><mo>;</mo><mn>0,125</mn><mo>;</mo><mn>0,123</mn><mo>;</mo><mn>0,081</mn></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> .(17) Ничего нового в (17), просто демонстрация того самого однопроцентного экономического роста, неприлично малого для российской экономики. Последние данные позволяют вычислить <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> из уравнения (14): <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>B</mi><mi>M</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>×</mo><msup><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math> . (18) Расчёты по формуле (18) содержит Рис.7 и соответствующая ему таблица. <table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Рис. 7а – Диагональные элементы матрицы инерционностей формирования добавленной стоимости</td><td class="docx-publication-cell"> Рис. 7б – Внедиагональные элементы матрицы инерционностей формирования добавленной стоимости</td></tr></table> <em>Источник:</em> <em>авторские расчеты</em>. Анализируя приведённые расчёты опять-таки можно обратить первоочередное внимание на диагональное преобладание в матрицах. Это понятно – в ВЭД превалирует основное производство, а не побочное. Однако сто и более кратное диагональное доминирование говорит о слабости, деградированном состоянии, примитивности межотраслевых связей в российской экономике. В настоящее время о неудовлетворительного качества её структуре чаще всего сообщают вербально, не подтверждая данный вывод методическими аспектами вычислительных экспериментов и демонстрацией техники последовательных согласованных вычислений. Данная работа расчётами демонстрирует ничтожность связности, взаимных финансовых потоков и инерционностей, когда в первом приближении экономику как систему можно рассматривать состоящей из двадцати (в нашей детализации) ВЭД, функционирующих отдельно друг от друга. Ясно, что в такой экономике тон задают добывающие отрасли, создающие продукты первого передела, да ещё услуги. Как видим, речи о длинных технологических цепочках и продуктах с высокой добавленной стоимостью в такой структуре идти не может. Это прямо означает, что в России сколь угодно высокие заявления о чудесном росте не нефтегазовых доходов пока относятся к области надежды, пожелания, цели. Ценовая динамика на нефтяном рынке в начале 2020 г. в очередной раз ясно показала справедливость данного утверждения. Падение нефтяных котировок немедленно негативно сказывается на экономической динамике. В терминах теории «затраты-выпуск» это означает наличие малоразмерной области устойчивости в гипергеометрическом пространстве параметров динамического МОБ. Самое же сильное отрицательное впечатление производят взаимные финансовые потоки в координатах «ВЭД-Домашние хозяйства», точнее их отсутствие. Без утраты точности расчётов эти потоки оказалось возможным просто обнулить. В пределе раздел Т поставляет на рынок наёмный труд, оказывает услуги, производит продукцию на подворьях, своей земле и т.п., не выступая при этом потребителем продуктов прочих ВЭД. Невозможно не видеть, что неучастие Домашних хозяйств в процессах формирования совокупного конечного спроса самым пагубным образом сказывается на экономической динамике. В этом смысле данные Росстата и наши расчёты носят не просто демонстрационный, но и обличающий характер, когда мгновенно вспоминается проблема многолетнего уже снижения реально располагаемых доходов этих самых Домашних хозяйств. Нет доходов – нет и спроса. Данный факт бытия накладывает существенное, но не единственное, ограничение на динамику экономического развития и роста России. Сам по себе «результат», лишающий страну платёжеспособного спроса со стороны населения, препятствует преодолению стагнационного режима её функционирования при годовом росте экономики кратно ниже среднемирового. Привлекая на свою сторону авторитетное научное мнение, заметим: «… В итоге сегодня у нас больше половины населения уже стало экономить на питании, а платежеспособный спрос по-прежнему пребывает в параличе», – Научный руководитель Института экономики РАН Р.С. Гринберг³.

Подобная структура экономики современной России сложилась, в основном, в последнее десятилетие прошлого века в результате безудержной утилизации «неэффективного» (слово в кавычках!) основного капитала СССР. Это как раз случай бессмысленных отрицательных приростных фондоёмкостей/инерционностей, следующих из формул (2)-(4) и последующих пояснений к ним. Очевидно, что экономика, обладающая представленной в наших расчётах структурой, не в состоянии удовлетворить сформировавшийся в обществе спрос. Он покрывается за счёт импорта, что объективно формирует мощный запрос на импортозамещение, а в контексте нашей темы – на структурные реформы. Цели таких реформ для российской экономики очевидны. Это создание современных производств высоких переделов с высокой добавленной стоимостью выпуска на путях импортозамещения; достижение степени экономического роста (как одного из показателей СДС), соответствующему годовому росту ВВП «выше среднемировых», как у нас обозначается желаемое; демпфирование структурных дефектов в виде околотрендовых самораскачиваний выпуска (при их наличии).

«Простоту» структуры отечественной экономики образца на момент и после 2011 года подтверждает и матрица инерционностей формирования основного капитала , входящая в модель (1). Матрица рассчитывается по формуле <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>B</mi><mi>M</mi><mo>-</mo><mi>A</mi><mo>-</mo><mi>L</mi><mo>)</mo><mo>×</mo><msup><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math> , (19) очевидно следующей из проведённого нами анализа. Результат расчёта по (19) содержит Рис. 8 отображает матрицу <em>B</em> посредством соответствующей ей таблицы. Конечно, большое влияние на результат вычислений оказывает матрица <em>L</em> потребления в секторе правительства, в домашних хозяйствах, а также учитывающая экспортно-импортное сальдо. <table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Рис. 7а – Диагональные элементы матрицы инерционностей формирования основного капитала</td><td class="docx-publication-cell"> Рис. 7б – Внедиагональные элементы матрицы инерционностей формирования основного капитала</td></tr></table> <em>Источник:</em> <em>авторские расчеты</em>. Для примера, представляемого Рис. 8, мы положили, что на указанное потребление расходуется половина ВДС. Понятно, что не следует брать данные для <em>L</em> случайным образом; нужны обоснованные предположения или официальная статистика. Мы не располагали ни первым, ни вторым. Вместе с тем, случайный выбор <em>L</em> не меняет сделанные сейчас фундаментальные выводы и обобщения относительно состояния структуры экономики России и необходимого вектора её трансформации.

Завершая изложение отметим, что помимо открывающихся новых возможностей в сфере анализа исследуемой экономики, а также по сопоставлению динамических свойств разных экономик, новое качество и формализованное решение обретает проблема оценки влияния инвестиционных воздействий на экономический рост и структурную устойчивость, что станет предметом наших дальнейших исследований. Очевидно, что связность экономики растёт по мере исчезновения столь контрастных различий между величинами собственных и взаимных инерционностей отраслей. При этом её чувствительность к управляющим воздействиям повышается с уменьшением абсолютных величин всех инерционностей. Последнее, в свою очередь, поддерживает рост требований к качеству, к профессионализму физических лиц из структур, образующих контур управления экономикой.