Digital technology of centralized procurement organization

Aleynikova, Natalya; Matveev, Mikhail

doi:10.31857/S042473880018980-7

1

ВВЕДЕНИЕ

2

В практических приложениях часто встречаются социально-экономические системы, описываемые трехдольными графами, в частности к ним относятся закупки однородных производственных ресурсов. Эти системы включают в себя три непересекающихся множества вершин (элементов). Внутреннее множество интерпретируется как множество взаимозаменяемых типов однородного ресурса. Элементы двух внешних множеств ассоциированы с производителями и потребителями ресурса:

V^{1} = \{v_{i}^{1}\}, i = 1, . . ., n

— производители,

V^{2} = \{v_{j}^{2}\}, j = 1, . . ., m

— ресурсы

V^{2} = \{v_{j}^{2}\}, j = \bar{1, m},

,

V^{3} = \{v_{k}^{3}\}, k = 1, . . ., d

— потребители. На рис. 1 показана структурная схема такой системы. Множество однородных, взаимозаменяемых ресурсов представлено разнообразием значений своих технических характеристик —

х^{2}

(размер, мощность, производительность и т.п.) и коммерческих характеристик —

у^{2}

(цена, срок и условия поставки и т.п.). На этом множестве производители формируют подмножества своих предложений с характеристиками

(x^{1}; y^{1})

, а потребители — свой спрос

(x^{3}; y^{3}) .

Чем больше мощность пересечения подмножеств спроса и предложения, тем эффективнее будет работать система закупок. Состав и наименования характеристик спроса и предложения идентичны и определяются единым товарным классификатором.

В практических приложениях часто встречаются социально-экономические системы, описываемые трехдольными графами, в частности к ним относятся закупки однородных производственных ресурсов. Эти системы включают в себя три непересекающихся множества вершин (элементов). Внутреннее множество интерпретируется как множество взаимозаменяемых типов однородного ресурса. Элементы двух внешних множеств ассоциированы с производителями и потребителями ресурса: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi></math>
 — производители, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi></math>
 — ресурсы
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">j</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>d</mi></math>
 — потребители. На рис. 1 показана структурная схема такой системы. Множество однородных, взаимозаменяемых ресурсов представлено разнообразием значений своих технических характеристик — 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
 (размер, мощность, производительность и т.п.) и коммерческих характеристик — 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">у</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
 (цена, срок и условия поставки и т.п.). На этом множестве производители формируют подмножества своих предложений с характеристиками 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></math>
, а потребители — свой спрос 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>
 Чем больше мощность пересечения подмножеств спроса и предложения, тем эффективнее будет работать система закупок. Состав и наименования характеристик спроса и предложения идентичны и определяются единым товарным классификатором.

В практических приложениях часто встречаются социально-экономические системы, описываемые трехдольными графами, в частности к ним относятся закупки однородных производственных ресурсов. Эти системы включают в себя три непересекающихся множества вершин (элементов). Внутреннее множество интерпретируется как множество взаимозаменяемых типов однородного ресурса. Элементы двух внешних множеств ассоциированы с производителями и потребителями ресурса: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi></math> — производители, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi></math> — ресурсы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">j</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>d</mi></math> — потребители. На рис. 1 показана структурная схема такой системы. Множество однородных, взаимозаменяемых ресурсов представлено разнообразием значений своих технических характеристик — <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> (размер, мощность, производительность и т.п.) и коммерческих характеристик — <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">у</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> (цена, срок и условия поставки и т.п.). На этом множестве производители формируют подмножества своих предложений с характеристиками <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></math> , а потребители — свой спрос <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>.</mo></math> Чем больше мощность пересечения подмножеств спроса и предложения, тем эффективнее будет работать система закупок. Состав и наименования характеристик спроса и предложения идентичны и определяются единым товарным классификатором.

3

Рис. 1. Структурная схема трехдольного графа «производители – ресурсы – потребители»

4

Наиболее распространенной моделью закупок является выбор производителя

v_{i}^{1} \in V^{1}

для каждого потребителя

v_{k}^{3} \in V^{3}

так, чтобы обеспечить наилучшее значение некоторого коммерческого (экономического) критерия,

Q (y_{i *}^{1}) \underset{y_{i *}}{\to} o p t

при заданных ограничениях на технические характеристики ресурса,

ϕ (x_{i}^{1}) \geq 0

. Варианты моделей выбора представлены, например, в работах (Amin, Razmi, 2009; Amin, Zhang, 2012; Mendoza, Ventura, 2011; Mendoza, Ventura, 2012; Moosavi, Ebrahimnejad, 2017). В этих статьях переменная

y_{i *}^{1}

рассматривается как часть совокупности коммерческих характеристик, и обычно это цена. Решается задача скалярной оптимизации, в соответствии с которой предложения производителей на множестве ресурсов формируют допустимые по необходимым для потребителя техническим характеристикам подмножества, на которых выбирается наиболее эффективный производитель по коммерческому критерию.

Наиболее распространенной моделью закупок является выбор производителя 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></math>
 для каждого потребителя 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math>
 так, чтобы обеспечить наилучшее значение некоторого коммерческого (экономического) критерия, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Q</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><munder><mrow><mo>→</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub></mrow></munder><mi>o</mi><mi>p</mi><mi>t</mi></math>
 при заданных ограничениях на технические характеристики ресурса, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn></math>
. Варианты моделей выбора представлены, например, в работах (Amin, Razmi, 2009; Amin, Zhang, 2012; Mendoza, Ventura, 2011; Mendoza, Ventura, 2012; Moosavi, Ebrahimnejad, 2017). В этих статьях переменная 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></math>
 рассматривается как часть совокупности коммерческих характеристик, и обычно это цена. Решается задача скалярной оптимизации, в соответствии с которой предложения производителей на множестве ресурсов формируют допустимые по необходимым для потребителя техническим характеристикам подмножества, на которых выбирается наиболее эффективный производитель по коммерческому критерию.

Наиболее распространенной моделью закупок является выбор производителя <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></math> для каждого потребителя <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math> так, чтобы обеспечить наилучшее значение некоторого коммерческого (экономического) критерия, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Q</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><munder><mrow><mo>→</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub></mrow></munder><mi>o</mi><mi>p</mi><mi>t</mi></math> при заданных ограничениях на технические характеристики ресурса, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn></math> . Варианты моделей выбора представлены, например, в работах (Amin, Razmi, 2009; Amin, Zhang, 2012; Mendoza, Ventura, 2011; Mendoza, Ventura, 2012; Moosavi, Ebrahimnejad, 2017). В этих статьях переменная <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></math> рассматривается как часть совокупности коммерческих характеристик, и обычно это цена. Решается задача скалярной оптимизации, в соответствии с которой предложения производителей на множестве ресурсов формируют допустимые по необходимым для потребителя техническим характеристикам подмножества, на которых выбирается наиболее эффективный производитель по коммерческому критерию.

5

В статье предлагается переход к многокритериальной оптимизации, направленной на выбор таких подмножеств (

x^{2}; y^{2}

) на множестве

V^{2}

, характеристики которых максимально соответствуют коммерческим требованиям (

x^{1}; y^{1}

) и техническим требованиям (

x^{3}; y^{3}

). Многокритериальная оптимизация позволит получить более эффективное решение. Для этого необходимо разработать модель задачи многокритериального выбора в условиях централизованной схемы закупок.

В статье предлагается переход к многокритериальной оптимизации, направленной на выбор таких подмножеств (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
) на множестве 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
, характеристики которых максимально соответствуют коммерческим требованиям (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></math>
) и техническим требованиям (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math>
). Многокритериальная оптимизация позволит получить более эффективное решение. Для этого необходимо разработать модель задачи многокритериального выбора в условиях централизованной схемы закупок.

6

1. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР В УСЛОВИЯХ ЦЕНТРАЛИЗОВАННОЙ СХЕМЫ ЗАКУПОК

7

Для формирования модели многокритериального выбора целесообразно использовать централизованную схему закупок с единой системой выбора производителей и распределением выбранных ресурсов по потребителям, позволяющую получать оптимальных производителей одновременно для всех потребителей. В такой схеме на вход системы закупок поступают заявки от потребителей ресурса с описанием допустимых значений определенного состава технических характеристик и необходимого количества ресурса. Все заявки централизованно собираются в единый закупочный пул, представленный объединением допустимых значений технических характеристик, а также коммерческих характеристик, определяемых централизованным закупщиком.

8

Производители формируют некоторое количество предлагаемых ресурсов с указанием их конкретных технических и коммерческих характеристик, аналогичных по составу характеристикам закупочного пула.

9

Принцип решения поставленной задачи основан на парных сравнениях значений характеристик спроса и предложения, максимизации их соответствия по аналогии с работами (Roth, Rothblum, 1977; Roth, 2003; Будяков, Гетманова, Матвеев, 2017, c. 26–34) на основе анализа пересечений подмножеств предложения производителей (

х^{1}; y^{1}

) и спроса потребителей (

х^{3}; y^{3}

). Анализ сводится к матчингу (парному выбору) характеристик и вычислению степени их соответствия. В этом случае скалярный экономический критерий заменяется на многокритериальные векторы соответствий технических и коммерческих характеристик. При заданном количестве закупок должны выбираться такие ресурсы

v^{2} \in V^{2}

, которые обеспечат максимальное соответствие по коммерческим и техническим требованиям.

Принцип решения поставленной задачи основан на парных сравнениях значений характеристик спроса и предложения, максимизации их соответствия по аналогии с работами (Roth, Rothblum, 1977; Roth, 2003; Будяков, Гетманова, Матвеев, 2017, c. 26–34) на основе анализа пересечений подмножеств предложения производителей (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></math>
) и спроса потребителей (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math>
). Анализ сводится к матчингу (парному выбору) характеристик и вычислению степени их соответствия. В этом случае скалярный экономический критерий заменяется на многокритериальные векторы соответствий технических и коммерческих характеристик. При заданном количестве закупок должны выбираться такие ресурсы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
, которые обеспечат максимальное соответствие по коммерческим и техническим требованиям.

Принцип решения поставленной задачи основан на парных сравнениях значений характеристик спроса и предложения, максимизации их соответствия по аналогии с работами (Roth, Rothblum, 1977; Roth, 2003; Будяков, Гетманова, Матвеев, 2017, c. 26–34) на основе анализа пересечений подмножеств предложения производителей ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></math> ) и спроса потребителей ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math> ). Анализ сводится к матчингу (парному выбору) характеристик и вычислению степени их соответствия. В этом случае скалярный экономический критерий заменяется на многокритериальные векторы соответствий технических и коммерческих характеристик. При заданном количестве закупок должны выбираться такие ресурсы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> , которые обеспечат максимальное соответствие по коммерческим и техническим требованиям.

10

Для осуществления многокритериального выбора необходимо построить математическую модель, предварительно выполнив формализацию ее параметров.

11

2. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО МНОГОКРИТЕРАЛЬНОГО ВЫБОРА

12

Наличие множества типов однородных, взаимозаменяемых ресурсов обуславливает задание технических и коммерческих характеристик спроса в виде интервальных значений с дифференциацией предпочтений каждого значения. Таким образом, особенностью предлагаемой формализации будет построение функции, отображающей степень предпочтения, для каждого интервала. Наиболее удобным формальным языком для описания таких требований является язык нечетких множеств (Матвеев, 2021, с. 105–112).

13

Полагаем, что потребители и централизованный закупщик задают требования к ресурсам в виде векторов

{\tilde{х}}^{3}; {\tilde{y}}^{3}

, компонентами которых служат нечеткие переменные. Каждая нечеткая переменная

{\tilde{x}}_{l}^{3}

и

{\tilde{y}}_{s}^{3}

(

l = 1, . . ., p

,

s = 1, . . ., r

) имеет кусочно-линейные функции принадлежности

f ({\tilde{x}}_{l}^{3}) \in [0; 1]

и

f ({\tilde{y}}_{s}^{3}) \in [0; 1]

, носители которых отражают возможные допустимые диапазоны значений характеристик, а значения функции — их предпочтения. Для дискретных значений носителя функция принадлежности будет иметь табличный вид.

Полагаем, что потребители и централизованный закупщик задают требования к ресурсам в виде векторов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math>
, компонентами которых служат нечеткие переменные. Каждая нечеткая переменная 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></math>
 (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi></math>
) имеет кусочно-линейные функции принадлежности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></math>
, носители которых отражают возможные допустимые диапазоны значений характеристик, а значения функции — их предпочтения. Для дискретных значений носителя функция принадлежности будет иметь табличный вид.

Полагаем, что потребители и централизованный закупщик задают требования к ресурсам в виде векторов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>;</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math> , компонентами которых служат нечеткие переменные. Каждая нечеткая переменная <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></math> ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi></math> ) имеет кусочно-линейные функции принадлежности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></math> , носители которых отражают возможные допустимые диапазоны значений характеристик, а значения функции — их предпочтения. Для дискретных значений носителя функция принадлежности будет иметь табличный вид.

14

Множество типов однородного ресурса j из

V^{2}

будем описывать векторами технических и коммерческих характеристик:

x_{j}^{} = (x_{j}^{1}; . . .; x_{j}^{p})

и

y_{j}^{} = (y_{j}^{1}; . . .; y_{j}^{r})

,

j = 1, . . ., m

.

Множество типов однородного ресурса j из 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
 будем описывать векторами технических и коммерческих характеристик: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>;</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>;</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>;</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>;</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi></math>
.

15

Степень удовлетворения предложения спросу по каждой характеристике будем называть локальным соответствием. Мера локального соответствия пары «ресурс

v_{j}^{2}

v_{j}^{2}

— потребитель

v_{k}^{3}

v_{k}^{2}

» по технической характеристике l вычисляется путем подстановки четкого значения координаты l вектора

x_{j}^{}

в функцию принадлежности

f ({\tilde{x}}_{l}^{3})

. Обозначим такую меру через

μ_{j k}^{l} \in [0; 1],

l = 1, . . ., p .

Мера локального соответствия пары «поставщик

v_{i}^{1}

— ресурс

v_{j}^{2}

» по коммерческой характеристике s определяется путем подстановки четкого значения координаты вектора

y_{j}^{}

в функцию принадлежности

f ({\tilde{y}}_{s}^{3})

. Обозначим эту меру через

η_{i j}^{s} \in [0; 1],

s = 1, . . ., r

η_{i j}^{s}, s = \bar{1, r}

.

Степень удовлетворения предложения спросу по каждой характеристике будем называть локальным соответствием. Мера локального соответствия пары «ресурс 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
 — потребитель 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
» по технической характеристике l вычисляется путем подстановки четкого значения координаты l вектора 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup></math>
 в функцию принадлежности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
. Обозначим такую меру через 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>.</mo></math>
 Мера локального соответствия пары «поставщик 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></math>
 — ресурс 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
» по коммерческой характеристике s определяется путем подстановки четкого значения координаты вектора 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup></math>
 в функцию принадлежности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
. Обозначим эту меру через 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">η</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math>
.

Степень удовлетворения предложения спросу по каждой характеристике будем называть локальным соответствием. Мера локального соответствия пары «ресурс <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> — потребитель <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> » по технической характеристике l вычисляется путем подстановки четкого значения координаты l вектора <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup></math> в функцию принадлежности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> . Обозначим такую меру через <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>.</mo></math> Мера локального соответствия пары «поставщик <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></math> — ресурс <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> » по коммерческой характеристике s определяется путем подстановки четкого значения координаты вектора <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup></math> в функцию принадлежности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> . Обозначим эту меру через <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">η</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> .

16

При распределении ресурсов от производителей к потребителям необходимо принимать во внимание, что характеристики могут быть неравнозначными при принятии решения — какие-то могут оказывать большее влияние на выбор определенного ресурса, другие быть менее значимыми. В этом случае можно, например, экспертным путем назначить веса соответствий по каждой характеристике, которые будем обозначать

ϕ (x_{l}^{3}), ϕ ({\tilde{K}}_{j}^{2})

или

ϕ ({\tilde{K}}_{j}^{1}),

l = 1, . . ., p;

s = 1, . . ., r .

При распределении ресурсов от производителей к потребителям необходимо принимать во внимание, что характеристики могут быть неравнозначными при принятии решения — какие-то могут оказывать большее влияние на выбор определенного ресурса, другие быть менее значимыми. В этом случае можно, например, экспертным путем назначить веса соответствий по каждой характеристике, которые будем обозначать 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math>
 или 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>;</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi><mo>.</mo></math>

При распределении ресурсов от производителей к потребителям необходимо принимать во внимание, что характеристики могут быть неравнозначными при принятии решения — какие-то могут оказывать большее влияние на выбор определенного ресурса, другие быть менее значимыми. В этом случае можно, например, экспертным путем назначить веса соответствий по каждой характеристике, которые будем обозначать <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math> или <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>;</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi><mo>.</mo></math>

17

Следующей задачей, которую необходимо решить для формирования оптимальных отношений между элементами множеств

V^{1}

,

V^{2}

и

V^{3}

, является определение агрегированной по всем характеристикам степени соответствия требованиям с учетом неравнозначности каждого критерия

18

μ_{j k} = a g r {μ_{j k}^{l}},

η_{i j} = a g r {η_{i j}^{s}}

, (1)

19

где

a g r

— оператор агрегирования.

20

Оператором агрегирования называют функцию от

N

переменных (критериев)

a g r : ⋃_{n \in N} {[0,1]}^{n} \to [0,1]

, удовлетворяющую ряду обязательных условий (Yager, 1988; Леденева, Подвальный, 2016) на множестве произвольных

x, y \in [0; 1]

:

Оператором агрегирования называют функцию от 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi></math>
 переменных (критериев) 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>:</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">⋃</mo><mrow><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></munder><mrow><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>0,1</mn></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>→</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>0,1</mn></mrow></mfenced></mrow></mrow></math>
, удовлетворяющую ряду обязательных условий (Yager, 1988; Леденева, Подвальный, 2016) на множестве произвольных 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></math>
:

21

$a g r (x) = x$ ;
$a g r (0, . . ., 0) = 0$ и $a g r (1, . . ., 1) = 1$ ;
$a g r (x_{1}, . . ., x_{N}) \leq a g r (y_{1}, . . ., y_{N})$ , если $(x_{1}, . . ., x_{N}) \leq (y_{1}, . . ., y_{N}) .$

22

Оператор агрегирования также может обладать рядом дополнительных свойств в зависимости от области применения, которые описаны в (Detyniecki, 2000). Поскольку в нашем случае переменными оператора агрегирования являются технические и коммерческие характеристики, то важно выполнение следующих свойств. Во-первых, необходимо учитывать, что полное локальное несоответствие хотя бы по одному параметру (

μ_{j k}^{l} = 0

или

η_{i j}^{s} = 0

η_{i j}^{s} = 0

) влечет полное агрегированное несоответствие. Также полное агрегированное соответствие (

μ_{j k}^{} = 1

или

η_{i j}^{} = 1

η_{i j}^{} = 1

) может достигаться только при полном локальном соответствии по всем характеристическим параметрам (

μ_{j k}^{l} = 1,

l = 1, . . ., p

или

η_{i j}^{s} = 1, s = 1, . . ., r

η_{i j}^{s} = 1, s = \bar{1, r}

). Кроме того, необходимо учитывать взаимодействие характеристик между собой. Некоторые характеристики при объединении могут усилить влияние друг друга на процесс принятия решения, а другие, наоборот, ослабить. Это свойство в (Detyniecki, 2000) описано как «усиление» (reinforcement). В результате может не выполняться свойство аддитивности весов характеристик при объединении последних. Если, например, характеристики неравнозначны при выборе поставщика и ресурса и каждой был назначен вес

ϕ (x_{l})

или

ϕ (y_{s})

, то вес совокупности двух критериев (например,

ϕ (x_{l 1} \cup x_{l 2}) \neq ϕ (x_{l 1}) + ϕ (x_{l 2})

) может быть как больше, так и меньше (

ϕ (x_{l 1}) + ϕ (x_{l 2})

). Аналогично, это может наблюдаться при объединении большего числа характеристик. Еще одно естественное свойство — это «компенсирующее» свойство, заключающееся в том, что

\underset{i = 1, . . ., N}{m i n} (x_{i}) \leq a g r (x_{1}, . . ., x_{N}) \leq \underset{i = 1, . . ., N}{m a x} (x_{i})

.

Оператор агрегирования также может обладать рядом дополнительных свойств в зависимости от области применения, которые описаны в (Detyniecki, 2000). Поскольку в нашем случае переменными оператора агрегирования являются технические и коммерческие характеристики, то важно выполнение следующих свойств. Во-первых, необходимо учитывать, что полное локальное несоответствие хотя бы по одному параметру (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 или 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">η</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
) влечет полное агрегированное несоответствие. Также полное агрегированное соответствие (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 или 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">η</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
) может достигаться только при полном локальном соответствии по всем характеристическим параметрам (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></math>
 или 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">η</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math>
). Кроме того, необходимо учитывать взаимодействие характеристик между собой. Некоторые характеристики при объединении могут усилить влияние друг друга на процесс принятия решения, а другие, наоборот, ослабить. Это свойство в (Detyniecki, 2000) описано как «усиление» (reinforcement). В результате может не выполняться свойство аддитивности весов характеристик при объединении последних. Если, например, характеристики неравнозначны при выборе поставщика и ресурса и каждой был назначен вес 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 или 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
, то вес совокупности двух критериев (например, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>∪</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>≠</mo><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
) может быть как больше, так и меньше (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
). Аналогично, это может наблюдаться при объединении большего числа характеристик. Еще одно естественное свойство — это «компенсирующее» свойство, заключающееся в том, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>≤</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
.

Оператор агрегирования также может обладать рядом дополнительных свойств в зависимости от области применения, которые описаны в (Detyniecki, 2000). Поскольку в нашем случае переменными оператора агрегирования являются технические и коммерческие характеристики, то важно выполнение следующих свойств. Во-первых, необходимо учитывать, что полное локальное несоответствие хотя бы по одному параметру ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> или <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">η</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> ) влечет полное агрегированное несоответствие. Также полное агрегированное соответствие ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn></math> или <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">η</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn></math> ) может достигаться только при полном локальном соответствии по всем характеристическим параметрам ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi></math> или <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">η</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> ). Кроме того, необходимо учитывать взаимодействие характеристик между собой. Некоторые характеристики при объединении могут усилить влияние друг друга на процесс принятия решения, а другие, наоборот, ослабить. Это свойство в (Detyniecki, 2000) описано как «усиление» (reinforcement). В результате может не выполняться свойство аддитивности весов характеристик при объединении последних. Если, например, характеристики неравнозначны при выборе поставщика и ресурса и каждой был назначен вес <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> или <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> , то вес совокупности двух критериев (например, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>∪</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>≠</mo><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> ) может быть как больше, так и меньше ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> ). Аналогично, это может наблюдаться при объединении большего числа характеристик. Еще одно естественное свойство — это «компенсирующее» свойство, заключающееся в том, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>≤</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> .

23

В качестве оператора агрегирования предлагается дискретный интеграл Шоке по нечеткой мере (Detyniecki, 2000; Матвеев, 2021), который применяется, когда на результат агрегирования влияет величина каждого из критериев (характеристик) и удовлетворяет всем перечисленным выше свойствам, в том числе позволяет учитывать взаимодействие критериев друг с другом. Последнее возможно благодаря тому, что вычисление интеграла Шоке основано на λ-нечеткой мере Сугено, которая выражает субъективный вес или значимость каждого подмножества критериев и определяется следующим образом (Ягер, 1986; Нечеткие множества…, 1986):

24

ϕ (\{x_{j}, j \in M^{1}\}) = [\prod_{j \in M} (1 + λ ϕ_{j}) - 1] / λ, M^{1} \subseteq M,

(2)

25

где

ϕ_{j}

— коэффициенты важности (веса) отдельно взятых частных показателей эффективности при построении обобщенного показателя, в нашем случае — это веса технических или коммерческих характеристик; M — множество индексов характеристик. В (Нечеткие множества…, 1986) приводится уравнение, из которого можно найти единственное значение параметра

λ

:

26

λ + 1 - \prod_{j \in M} (1 + λ ϕ_{j}) = 0,

(3)

27

удовлетворяющего условиям

λ > - 1, λ \neq 0 .

Тогда интеграл Шоке для нахождения агрегированного соответствия

μ_{j k}

рассчитывается по формуле

28

μ_{j k} = a g r (μ_{j k}^{1}, . . ., μ_{j k}^{p}) = \{\begin{array}{l} \sum_{l = 1}^{p} (μ_{j k}^{(l)} - μ_{j k}^{(l - 1)}) ϕ (X / f (x) \geq μ_{j k}^{(l)}) \forall μ_{j k}^{(l)} \neq 0, \\ 0 - в п р о т и в н о м с л у ч а е, \end{array}

(4)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></munderover><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mrow><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>X</mi><mo>/</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∀</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">м</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">у</mi><mi mathvariant="normal">ч</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(4)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></munderover><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mrow><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>X</mi><mo>/</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∀</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">м</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">у</mi><mi mathvariant="normal">ч</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (4)

29

μ_{j k} = a g r (μ_{j k}^{1}, \dots, μ_{j k}^{p}) = \sum_{l = 1}^{p} (μ_{j k}^{(l)} - μ_{j k}^{(l - 1)}) φ (x / f_{{\tilde{K}}_{l}^{2}} (x) \geq μ_{j k}^{(l)})

где

μ_{j k}^{(1)}, . . ., μ_{j k}^{(p)}

— перестановка элементов

μ_{j k}^{1}, . . ., μ_{j k}^{p}

такая, что

μ_{j k}^{(1)} \leq μ_{j k}^{(2)} \leq . . . \leq μ_{j k}^{(p)}

,

μ_{j k}^{(0)} = 0

μ_{j k}^{(0)} = 0

; X — подмножество множества технических характеристик,

x \in X

q_{j}

.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow></munderover><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>/</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></msub><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mrow></math>
где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>p</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup></math>
 — перестановка элементов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup></math>
 такая, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>≤</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>≤</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>≤</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>p</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
; X — подмножество множества технических характеристик, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow></msub></math>
.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow></munderover><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>/</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></msub><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mrow></math> где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>p</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup></math> — перестановка элементов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup></math> такая, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>≤</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>≤</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>≤</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>p</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math> ; X — подмножество множества технических характеристик, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi></mrow></msub></math> .

30

Нахождение агрегированных соответствий

η_{i j}

η_{i j}

происходит аналогично:

31

η_{i j} = a g r (η_{i j}^{1}, . . ., η_{i j}^{r}) = \{\begin{array}{l} \sum_{s = 1}^{r} (η_{i j}^{(s)} - η_{i j}^{(s - 1)}) ϕ (X / f (x) \geq η_{i j}^{(s)}) \forall η_{i j}^{(s)} \neq 0, \\ 0 - в п р о т и в н о м с л у ч а е . \end{array}

(5)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></munderover><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mrow><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>X</mi><mo>/</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∀</mo><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">м</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">у</mi><mi mathvariant="normal">ч</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
 (5)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></munderover><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow></mrow><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>X</mi><mo>/</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∀</mo><msubsup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">м</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">у</mi><mi mathvariant="normal">ч</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (5)

32

Таким образом, получаем две матрицы агрегированных соответствий ресурсов по техническим характеристикам

{(μ_{j k})}_{j = 1, . . ., n; k = 1, . . ., d}

{(μ_{j k})}_{j = \bar{1, n}; k = \bar{1, d}}

и производителей по коммерческим характеристикам

{(η_{i j})}_{i = 1, . . ., m; j = 1, . . ., n} .

Таким образом, получаем две матрицы агрегированных соответствий ресурсов по техническим характеристикам 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>;</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>d</mi></mrow></msub></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>;</mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow></msub></math>
 и производителей по коммерческим характеристикам 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi><mo>;</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math>

Таким образом, получаем две матрицы агрегированных соответствий ресурсов по техническим характеристикам <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>;</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>d</mi></mrow></msub></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>;</mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow></msub></math> и производителей по коммерческим характеристикам <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi><mo>;</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math>

33

3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

34

Пусть заданы ограничения на количество ресурсов у производителей и потребности в ресурсе у потребителей. Тогда задача многокритериального выбора, обозначенная в разд. 1, может быть представлена в виде транспортной задачи с промежуточными пунктами (Таха, 2001), где целевыми коэффициентами будут элементы матриц агрегированных соответствий —

μ_{j k}

и

η_{i j}

.

35

Обозначим через

u_{i j}

количество ресурсов типа

j

, которые поступают от производителя

i

, через

υ_{j k}

— число ресурсов типа

j

, назначенных потребителю

k

. Математическая модель транспортной задачи для оптимального распределения ресурсов от производителей по потребителям примет вид:

Обозначим через 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 количество ресурсов типа 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi></math>
, которые поступают от производителя
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math>
, через 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>υ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 — число ресурсов типа 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi></math>
, назначенных потребителю 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math>
. Математическая модель транспортной задачи для оптимального распределения ресурсов от производителей по потребителям примет вид:

36

\begin{array}{l} a \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} η_{i j} u_{i j} + (1 - a) \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{d} μ_{j k} υ_{j k} \to m a x, \\ \{\begin{array}{l} \sum_{j = 1}^{m} υ_{j k} = ν_{k}, k = 1, . . ., d, \\ \sum_{i = 1}^{n} u_{i j} = \sum_{k = 1}^{d} υ_{j k}, j = 1, . . ., n, \\ u_{i j} \leq w_{i j}, i = 1, . . ., m, j = 1, . . ., n, \end{array} \\ u_{i j}, υ_{j k} \in \{0, R^{+}\}, i = 1, . . ., m, j = 1, . . ., n, k = 1, . . ., d, \end{array}

(6)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>a</mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>a</mi></mrow></mfenced><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>υ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo>→</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>υ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>=</mo><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>d</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>υ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>υ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mo>+</mo></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>d</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math>
(6)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>a</mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>a</mi></mrow></mfenced><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>υ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo>→</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>υ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>=</mo><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>d</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>υ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>υ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mo>+</mo></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>d</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> (6)

37

где

w_{i j}

— количество ресурса вида j у производителя i;

v_{k}

— потребности потребителя k в ресурсе;

a

— параметр,

a \in [0, 1]

. Чем ближе параметр

a

к 0, тем важнее при распределении ресурсов и выборе производителей технические требования, чем ближе к 1 — важнее коммерческие требования.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 — количество ресурса вида j у производителя i; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 — потребности потребителя k в ресурсе; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi></math>
 — параметр, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>
. Чем ближе параметр 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi></math>
 к 0, тем важнее при распределении ресурсов и выборе производителей технические требования, чем ближе к 1 — важнее коммерческие требования.

38

Первая совокупность ограничений модели (6) формализует условие, заключающееся в том, что количество однородных ресурсов, которые поступают от производителей, должно полностью удовлетворить потребности потребителя

k

(

k = 1, . . ., d

).

39

Вторая совокупность ограничений связана с тем, что суммарное количество однородного ресурса

j

, полученного от всех производителей, должно быть полностью распределено по потребителям.

40

Перед решением задачи (6) необходимо проверить дополнительное условие

\sum_{k = 1}^{d} ν_{k} \leq \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} w_{i j}

, так как важно не допустить дефицита ресурсов.

41

4. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

42

Рассмотрим упрощенную задачу выбора производителей однородного оборудования с последующим его распределением по потребителям, а в качестве ресурса — производственное оборудование. Будем считать, что три компании, являющиеся структурными единицами холдинга, подготовили в централизованную закупочную организацию свои заявки на насосы. В каждой заявке указаны технические требования к насосам, представленные компонентами нечеткого вектора

({\tilde{x}}_{k 1}^{3}, . . ., {\tilde{x}}_{k 5}^{3}), k = 1,2, 3

и указано требуемое число насосов

ν_{k}

(табл. 1). Компоненты вектора заданы в виде нормированных нечетких чисел с треугольной функцией принадлежности:

Рассмотрим упрощенную задачу выбора производителей однородного оборудования с последующим его распределением по потребителям, а в качестве ресурса — производственное оборудование. Будем считать, что три компании, являющиеся структурными единицами холдинга, подготовили в централизованную закупочную организацию свои заявки на насосы. В каждой заявке указаны технические требования к насосам, представленные компонентами нечеткого вектора 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1,2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn></math>
 и указано требуемое число насосов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 (табл. 1). Компоненты вектора заданы в виде нормированных нечетких чисел с треугольной функцией принадлежности:

Рассмотрим упрощенную задачу выбора производителей однородного оборудования с последующим его распределением по потребителям, а в качестве ресурса — производственное оборудование. Будем считать, что три компании, являющиеся структурными единицами холдинга, подготовили в централизованную закупочную организацию свои заявки на насосы. В каждой заявке указаны технические требования к насосам, представленные компонентами нечеткого вектора <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1,2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn></math> и указано требуемое число насосов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> (табл. 1). Компоненты вектора заданы в виде нормированных нечетких чисел с треугольной функцией принадлежности:

43

f_{{\tilde{x}}_{k l}^{3}} (x) = \{\begin{array}{l} (x - a_{k l}) / (m_{k l} - a_{k l}), x \in [a_{k l}; m_{k l}], \\ (b_{k l} - x) / (b_{k l} - m_{k l}), x \in [m_{k l}; b_{k l}], \\ 0 - в о с т а л ь н ы х с л у ч а я х . \end{array}

(7)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">ь</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">х</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">у</mi><mi mathvariant="normal">ч</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">х</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(7)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">ь</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">х</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">у</mi><mi mathvariant="normal">ч</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">х</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (7)

44

где

a_{k l}

— левая граница значений соответствующей компоненты нечеткого вектора,

b_{k l}

— правая граница,

m_{k l}

— мода,

l = 1, . . ., 5 .

Значения функции принадлежности определяют степень соответствия значения характеристики требованиям заявки.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></math>
 — левая граница значений соответствующей компоненты нечеткого вектора, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></math>
 — правая граница, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></math>
 — мода, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>5</mn><mo>.</mo></math>
 Значения функции принадлежности определяют степень соответствия значения характеристики требованиям заявки.

45

Таблица 1. Технические требования к насосам

46

Параметр функции принадлежности	Расход, м³/ч	Напор, м	Частота вращения, об./мин.	Мощность электродвигателя, КВт	Масса, кг	Число насосов, _k
Заявка 1	5
a₁_l	420	30	1000	55	1750
m₁_l	630	90	1300	315	2000
b₁_l	630	90	1500	315	2760
Заявка 2	7
a₂_l	520	50	1100	150	1500
m₂_l	750	80	1500	280	1800
b₂_l	750	90	1750	300	2500
Заявка 3	4
a₃_l	500	70	1000	200	2000
m₃_l	600	100	1200	280	2350
b₃_l	650	120	1300	300	2500

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Параметр функции принадлежности</td><td class="docx-publication-cell"> Расход, м3/ч</td><td class="docx-publication-cell"> Напор, м</td><td class="docx-publication-cell"> Частота вращения, об./мин.</td><td class="docx-publication-cell"> Мощность электродвигателя, КВт</td><td class="docx-publication-cell"> Масса, кг</td><td class="docx-publication-cell"> Число насосов, k</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Заявка 1</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> a1l</td><td class="docx-publication-cell"> 420</td><td class="docx-publication-cell"> 30</td><td class="docx-publication-cell"> 1000</td><td class="docx-publication-cell"> 55</td><td class="docx-publication-cell"> 1750</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> m1l</td><td class="docx-publication-cell"> 630</td><td class="docx-publication-cell"> 90</td><td class="docx-publication-cell"> 1300</td><td class="docx-publication-cell"> 315</td><td class="docx-publication-cell"> 2000</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> b1l</td><td class="docx-publication-cell"> 630</td><td class="docx-publication-cell"> 90</td><td class="docx-publication-cell"> 1500</td><td class="docx-publication-cell"> 315</td><td class="docx-publication-cell"> 2760</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Заявка 2</td><td class="docx-publication-cell"> 7</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> a2l</td><td class="docx-publication-cell"> 520</td><td class="docx-publication-cell"> 50</td><td class="docx-publication-cell"> 1100</td><td class="docx-publication-cell"> 150</td><td class="docx-publication-cell"> 1500</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> m2l</td><td class="docx-publication-cell"> 750</td><td class="docx-publication-cell"> 80</td><td class="docx-publication-cell"> 1500</td><td class="docx-publication-cell"> 280</td><td class="docx-publication-cell"> 1800</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> b2l</td><td class="docx-publication-cell"> 750</td><td class="docx-publication-cell"> 90</td><td class="docx-publication-cell"> 1750</td><td class="docx-publication-cell"> 300</td><td class="docx-publication-cell"> 2500</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Заявка 3</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> a3l</td><td class="docx-publication-cell"> 500</td><td class="docx-publication-cell"> 70</td><td class="docx-publication-cell"> 1000</td><td class="docx-publication-cell"> 200</td><td class="docx-publication-cell"> 2000</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> m3l</td><td class="docx-publication-cell"> 600</td><td class="docx-publication-cell"> 100</td><td class="docx-publication-cell"> 1200</td><td class="docx-publication-cell"> 280</td><td class="docx-publication-cell"> 2350</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> b3l</td><td class="docx-publication-cell"> 650</td><td class="docx-publication-cell"> 120</td><td class="docx-publication-cell"> 1300</td><td class="docx-publication-cell"> 300</td><td class="docx-publication-cell"> 2500</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr></table>

47

Закупочная организация предъявляет к производителям коммерческие требования

({\tilde{y}}_{1}^{3}, {\tilde{y}}_{2}^{3})

(табл. 2). Компоненты вектора коммерческих требований заданы также в виде нечетких чисел с треугольной функцией принадлежности:

48

f_{{\tilde{y}}_{s}^{3}} (x) = \{\begin{array}{l} (x - a_{s}) / (m_{s} - a_{s}), x \in [a_{k l}; m_{k l}], \\ (b_{s} - x) / (b_{s} - m_{s}), x \in [m_{k l}; b_{k l}], \\ 0, в о с т а л ь н ы х с л у ч а я х . \end{array}

(8)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">ь</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">х</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">у</mi><mi mathvariant="normal">ч</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">х</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(8)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">ь</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">х</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">у</mi><mi mathvariant="normal">ч</mi><mi mathvariant="normal">а</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">х</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (8)

49

где

a_{s}

— левая граница значений соответствующей компоненты нечёткого вектора,

b_{s}

— правая граница,

m_{s}

— мода. Типы насосов с конкретными значениями технических характеристик приведены в табл. 3. Наличие насосов у разных поставщиков показано в табл. 4.

50

Таблица 2. Коммерческие требования к насосам

51

Параметры функции принадлежности	Цена, у.е., ${\tilde{y}}_{1}^{3}$	Срок поставки, дни, ${\tilde{y}}_{2}^{3}$
a_s	500	70
m_s	600	100
b_s	650	120

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Параметры функции принадлежности</td><td class="docx-publication-cell"> Цена, у.е., <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></math>
 </td><td class="docx-publication-cell"> Срок поставки, дни, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> as</td><td class="docx-publication-cell"> 500</td><td class="docx-publication-cell"> 70</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> ms</td><td class="docx-publication-cell"> 600</td><td class="docx-publication-cell"> 100</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> bs</td><td class="docx-publication-cell"> 650</td><td class="docx-publication-cell"> 120</td></tr></table>

52

Таблица 3. Технические характеристики типов насосов

53

Тип насоса	Расход, м³/ч	Напор, м	Частота вращения, об/мин	Мощность электродвигателя, КВт	Масса, кг
1	550	82	1200	270	2400
2	620	85	1250	210	2490
3	600	80	1280	220	2100

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Тип насоса</td><td class="docx-publication-cell"> Расход, м3/ч</td><td class="docx-publication-cell"> Напор, м</td><td class="docx-publication-cell"> Частота вращения, об/мин</td><td class="docx-publication-cell"> Мощность электродвигателя, КВт</td><td class="docx-publication-cell"> Масса, кг</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 550</td><td class="docx-publication-cell"> 82</td><td class="docx-publication-cell"> 1200</td><td class="docx-publication-cell"> 270</td><td class="docx-publication-cell"> 2400</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 620</td><td class="docx-publication-cell"> 85</td><td class="docx-publication-cell"> 1250</td><td class="docx-publication-cell"> 210</td><td class="docx-publication-cell"> 2490</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 600</td><td class="docx-publication-cell"> 80</td><td class="docx-publication-cell"> 1280</td><td class="docx-publication-cell"> 220</td><td class="docx-publication-cell"> 2100</td></tr></table>

54

Таблица 4. Число насосов у производителей

55

Насос, j	Производители, i	Итого
	1	2	3
1	2	4	6	12
2	7	0	3	10
3	5	4	2	11
Итого	14	8	11	33

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Насос, j</td><td class="docx-publication-cell"> Производители, i</td><td class="docx-publication-cell"> Итого</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 6</td><td class="docx-publication-cell"> 12</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 7</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 10</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 11</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Итого</td><td class="docx-publication-cell"> 14</td><td class="docx-publication-cell"> 8</td><td class="docx-publication-cell"> 11</td><td class="docx-publication-cell"> 33</td></tr></table>

56

Следовательно, предлагается 33 взаимозаменяемых насоса, а потребителям надо 16, максимально соответствующих техническим и коммерческим требованиям. В табл. 5 указаны цены на насосы и сроки, в которые поставщики могут их поставить.

57

Таблица 5. Коммерческие характеристики насосов

58

Производитель	Насос
	1	2	3
	Цена	Срок поставки	Цена	Срок поставки	Цена	Срок поставки
1	510	90	600	80	660	130
2	580	75	515	140	620	90
3	540	110	542	100	580	110

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Производитель</td><td class="docx-publication-cell"> Насос</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Цена</td><td class="docx-publication-cell"> Срок поставки</td><td class="docx-publication-cell"> Цена</td><td class="docx-publication-cell"> Срок поставки</td><td class="docx-publication-cell"> Цена</td><td class="docx-publication-cell"> Срок поставки</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 510</td><td class="docx-publication-cell"> 90</td><td class="docx-publication-cell"> 600</td><td class="docx-publication-cell"> 80</td><td class="docx-publication-cell"> 660</td><td class="docx-publication-cell"> 130</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 580</td><td class="docx-publication-cell"> 75</td><td class="docx-publication-cell"> 515</td><td class="docx-publication-cell"> 140</td><td class="docx-publication-cell"> 620</td><td class="docx-publication-cell"> 90</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 540</td><td class="docx-publication-cell"> 110</td><td class="docx-publication-cell"> 542</td><td class="docx-publication-cell"> 100</td><td class="docx-publication-cell"> 580</td><td class="docx-publication-cell"> 110</td></tr></table>

59

Локальные соответствия насосов по 5 техническим и по 2 коммерческим требованиям легко найти, подставив значения технических и коммерческих характеристик из табл. 3 и 5 в функции (7) и (8) соответственно. Параметры функций (7) и (8) определяются из табл. 1 и 2. Например, локальные соответствия насосов техническим требованиям заявки № 1

(μ_{j 1}^{l}, l = 1, . . ., 5)

) приведены в табл. 6.

Локальные соответствия насосов по 5 техническим и по 2 коммерческим требованиям легко найти, подставив значения технических и коммерческих характеристик из табл. 3 и 5 в функции (7) и (8) соответственно. Параметры функций (7) и (8) определяются из табл. 1 и 2. Например, локальные соответствия насосов техническим требованиям заявки № 1 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>5</mn></mrow></mfenced></math>
) приведены в табл. 6.

60

Таблица 6. Локальные соответствия насосов техническим требованиям заявки № 1

61

Заявка	Расход, м³/ч	Напор, м	Частота вращения, об./мин.	Мощность электродвигателя, КВт	Масса, кг
Насос 1, j=1	0,619	0,867	0,667	0,827	0,474
Насос 2, j=2	0,952	0,917	0,833	0,596	0,355
Насос 3, j=3	0,857	0,833	0,933	0,635	0,868

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Заявка</td><td class="docx-publication-cell"> Расход, м3/ч</td><td class="docx-publication-cell"> Напор, м</td><td class="docx-publication-cell"> Частота вращения, об./мин.</td><td class="docx-publication-cell"> Мощность электродвигателя, КВт</td><td class="docx-publication-cell"> Масса, кг</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Насос 1, j=1</td><td class="docx-publication-cell"> 0,619</td><td class="docx-publication-cell"> 0,867</td><td class="docx-publication-cell"> 0,667</td><td class="docx-publication-cell"> 0,827</td><td class="docx-publication-cell"> 0,474</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Насос 2, j=2 </td><td class="docx-publication-cell"> 0,952</td><td class="docx-publication-cell"> 0,917</td><td class="docx-publication-cell"> 0,833</td><td class="docx-publication-cell"> 0,596</td><td class="docx-publication-cell"> 0,355</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Насос 3, j=3</td><td class="docx-publication-cell"> 0,857</td><td class="docx-publication-cell"> 0,833</td><td class="docx-publication-cell"> 0,933</td><td class="docx-publication-cell"> 0,635</td><td class="docx-publication-cell"> 0,868</td></tr></table>

62

Вычисление агрегированных соответствий

{(μ_{j k})}_{j = 1,2, 3; k = 1,2, 3}

и

{(η_{i j})}_{i = 1,2, 3; j = 1,2, 3}

производится с помощью интеграла Шоке по формулам (4) и (5) соответственно.

63

Предположим, что технические критерии неравнозначны для принятия решения о выборе насоса. Пусть эксперт назначил следующие весовые коэффициенты важности каждого критерия:

ϕ_{1} = 0,2

,

ϕ_{2} = 0,7

,

ϕ_{3} = 0,68

,

ϕ_{4} = 0,4

,

ϕ_{5} = 0,1

.

Предположим, что технические критерии неравнозначны для принятия решения о выборе насоса. Пусть эксперт назначил следующие весовые коэффициенты важности каждого критерия: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,2</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,7</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,68</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,4</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,1</mn></math>
.

64

Агрегирование с помощью интеграла Шоке по техническим характеристикам подробно рассмотрим на примере насоса 1. Упорядочим технические характеристики насоса 1 по мере возрастания их локального соответствия соответствующим требованиям (см. строку для насоса 1 в табл. 6). Результаты упорядочивания приведены в табл. 7.

65

Таблица 7. Упорядоченные по локальным соответствиям технические характеристики насоса 1

66

Характеристика	№ характеристики
	1	2	3	4	5
Ранги критериев по локальным соответствиям	4	1	3	2	5
Локальные соответствия	0,619	0,867	0,667	0,827	0,474

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Характеристика</td><td class="docx-publication-cell"> № характеристики</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Ранги критериев по локальным соответствиям</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Локальные соответствия</td><td class="docx-publication-cell"> 0,619</td><td class="docx-publication-cell"> 0,867</td><td class="docx-publication-cell"> 0,667</td><td class="docx-publication-cell"> 0,827</td><td class="docx-publication-cell"> 0,474</td></tr></table>

67

Таблица 8. Значения меры Сугено

68

Характеристика	№ характеристики, l
	5	1	3	4	2
Локальные соответствия, $μ_{11}^{(l)}$	0,474	0,619	0,667	0,827	0,867
Веса критериев, $ϕ_{l}$	0,1	0,2	0,68	0,4	0,7
$ϕ (X / f (x) \geq μ_{j k}^{(l)})$	$ϕ (1, . . ., 5) = 1$	$ϕ (1, . . ., 4) = 0,994$	$ϕ (2,3, 4) =$ =0,979	$ϕ (4,2) =$ =0,836	$ϕ (2) =$ =0,700

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Характеристика</td><td class="docx-publication-cell"> № характеристики, l</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 5</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Локальные соответствия, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mn>11</mn></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 0,474</td><td class="docx-publication-cell"> 0,619</td><td class="docx-publication-cell"> 0,667</td><td class="docx-publication-cell"> 0,827</td><td class="docx-publication-cell"> 0,867</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Веса критериев, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,68</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>X</mi><mo>/</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>5</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0,994</mn></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>2,3</mn><mo>,</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo></math>
 =0,979</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>4,2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo></math>
 =0,836</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo></math>
 =0,700</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Характеристика</td><td class="docx-publication-cell"> № характеристики, l</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 5</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Локальные соответствия, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mn>11</mn></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,474</td><td class="docx-publication-cell"> 0,619</td><td class="docx-publication-cell"> 0,667</td><td class="docx-publication-cell"> 0,827</td><td class="docx-publication-cell"> 0,867</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Веса критериев, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,1</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,68</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>X</mi><mo>/</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>5</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0,994</mn></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>2,3</mn><mo>,</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo></math> =0,979</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>4,2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo></math> =0,836</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo></math> =0,700</td></tr></table>

69

Технические характеристики по возрастанию значений локальных соответствий приведены в табл. 8. Для нахождения параметра для -меры Сугено было решено уравнение (2) (с учетом > –1, 0 ):

70

λ + 1 - (1 + 0,2 λ) (1 + 0,7 λ) (1 + 0,68 λ) (1 + 0,4 λ) (1 + 0,1 λ) = 0

71

и найден корень = –0,945. В соответствии с правилом (1) рассчитаны значения нечеткой меры, записанные в последней строке табл. 8. Например, значения нечеткой меры

72

ϕ (X / f (x) \geq 0,474) = ϕ (1, . . ., 5) = [(1 - 0,945 \times 0,2) . . . (1 + 0,945 \times 0,1) - 1] / (- 0,945) = 1,

\begin{array}{l} ϕ (X / f (x) \geq 0,619) = ϕ (1, . . ., 4) = \\ = [(1 - 0,945 \times 0,2) (1 - 0,945 \times 0,7) . . . \times (1 - 0,945 \times 0,4) - 1] / (- 0,945) = 0,994, \end{array}

73

и т.д. Тогда агрегированное соответствие первого насоса заявке № 1 по техническим характеристикам:

74

\begin{matrix} μ_{11} = μ_{11}^{5} ϕ (1, . . ., 5) + (μ_{11}^{1} - μ_{11}^{5}) ϕ (1, . . ., 4) + (μ_{11}^{3} - μ_{11}^{1}) ϕ (2,3, 4) + (μ_{11}^{4} - μ_{11}^{3}) ϕ (4, 2) + (μ_{11}^{2} - μ_{11}^{4}) ϕ (2) = \\ = 0,474 \times 1 + (0,619 - 0,474) \times 0.994 + (0,667 - 0,619) \times 0.979 + \\ + (0,827 - 0,667) \times 0.836 + (0,867 - 0,827) \times 0,700 = 0,827 . \end{matrix}

75

Значения остальных элементов матрицы

{(μ_{j k})}_{j = 1,2, 3; k = 1,2, 3}

приведены в табл. 9, значения элементов матрицы

{(η_{i j})}_{j = 1,2, 3; k = 1,2, 3}

— в табл. 10.

76

Таблица 9. Значения интеграла Шоке по техническим характеристикам

77

$μ_{j k}$	Заявка, k
Насос, j	1	2	3
1	0,826	0,756	0,886
2	0,892	0,475	0,503
3	0,897	0,849	0,443

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> Заявка, k</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Насос, j</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 0,826</td><td class="docx-publication-cell"> 0,756</td><td class="docx-publication-cell"> 0,886</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,892</td><td class="docx-publication-cell"> 0,475</td><td class="docx-publication-cell"> 0,503</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 0,897</td><td class="docx-publication-cell"> 0,849</td><td class="docx-publication-cell"> 0,443</td></tr></table>

78

Таблица 10. Значения интеграла Шоке по коммерческим характеристикам (вес первого критерия 0,8, второго 0,4)

79

$η_{i j}$	Производитель, i
Насос, j	1	2	3
1	0,327	0,420	0,440
2	0,867	0	0,652
3	0	0,627	0,740

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> Производитель, i</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Насос, j</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 0,327</td><td class="docx-publication-cell"> 0,420</td><td class="docx-publication-cell"> 0,440</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,867</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0,652</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0,627</td><td class="docx-publication-cell"> 0,740</td></tr></table>

80

Теперь можно переходить к решению транспортной задачи (6). Математическая модель задачи имеет вид:

81

\begin{matrix} a (0,327 u_{11} + 0,867 u_{12} + 0,42 u_{21} + 0,627 u_{23} + 0,44 u_{31} + 0,652 u_{32} + 0,74 u_{33}) + \\ + (1 - a) (0,826 υ_{11} + 0,756 υ_{12} + 0,886 υ_{13} + 0,892 υ_{21} + 0,475 υ_{22} + 0,503 υ_{23} + \\ + 0,897 υ_{31} + 0,849 υ_{32} + 0,443 υ_{33}) \to m a x, \end{matrix}

(8)

\{\begin{array}{l} υ_{11} + υ_{21} + υ_{31} = 5, \\ υ_{12} + υ_{22} + υ_{32} = 7, \\ υ_{13} + υ_{23} + υ_{33} = 4, \\ u_{11} + u_{21} + u_{31} = υ_{11} + υ_{12} + υ_{13}, \\ u_{12} + u_{22} + u_{32} = υ_{21} + υ_{22} + υ_{23}, \\ u_{13} + u_{23} + u_{33} = υ_{31} + υ_{32} + υ_{33}, \\ u_{11} \leq 2, u_{21} \leq 4, u_{31} \leq 6, \\ u_{12} \leq 7, u_{22} = 0 `, u_{32} \leq 3, \\ u_{13} \leq 5, u_{23} \leq 4, u_{33} \leq 2, \end{array}

u_{i j}, υ_{j k} \in \{0, Z^{+}\}, i = 1,2, 3; j = 1,2, 3, k = 1,2, 3 .

82

Решение данной задачи при a=0,5 представлено в табл. 11. Решение показало, что у выбранных поставщиков были произведены закупки насосов с максимально достижимым соответствием коммерческим требованиям и все заявки были удовлетворены с максимально достижимым соответствием техническим требованиям. Отклонение от полученной схемы закупок приведет к снижению значения критерия (6), отображающего агрегированное соответствие коммерческих и технических требований.

83

Таблица 11. Оптимальное распределение насосов при a=0,5

84

Производитель, i	Закупили у производителей	Сумма	Тип насосов, j	Получили потребители	Сумма
	1	2	3			1	2	3
	Неизвестные, $u_{i j}$			Неизвестные, $υ_{j k}$
1	0	0	0	0	1	1	2	4	7
2	7	0	3	10	2	4	0	0	4
3	0	4	2	6	3	0	5	0	5
Сумма	7	4	5		Сумма	5	7	4

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Производитель, i</td><td class="docx-publication-cell"> Закупили у производителей</td><td class="docx-publication-cell"> Сумма</td><td class="docx-publication-cell"> Тип насосов, j</td><td class="docx-publication-cell"> Получили потребители</td><td class="docx-publication-cell"> Сумма</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Неизвестные, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Неизвестные, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>υ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 7</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 7</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 10</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 6</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Сумма</td><td class="docx-publication-cell"> 7</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Сумма</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td><td class="docx-publication-cell"> 7</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Производитель, i</td><td class="docx-publication-cell"> Закупили у производителей</td><td class="docx-publication-cell"> Сумма</td><td class="docx-publication-cell"> Тип насосов, j</td><td class="docx-publication-cell"> Получили потребители</td><td class="docx-publication-cell"> Сумма</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Неизвестные, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Неизвестные, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>υ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 7</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 7</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 10</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 6</td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Сумма</td><td class="docx-publication-cell"> 7</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Сумма</td><td class="docx-publication-cell"> 5</td><td class="docx-publication-cell"> 7</td><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr></table>

85

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

86

В развитии технологий закупок можно указать два перспективных направления: реализация централизованных закупок, осуществляемая на основе положений 44-ФЗ (Федеральный закон от 05.04.2013 № 44-ФЗ (редакция от 09.03.2016)), и переход к «обезличенным», параметрическим закупкам (Караев, Москвитина, Будяков, 2015). Обе технологии, наряду с известными достоинствами (Мягких, Гриненко, 2017), характеризуются завышенными трудовыми и временными затратами. Снижение этих затрат одновременно с повышением качества закупок достигается путем цифровой трансформации, максимальной автоматизации процессов закупки. Цифровая трансформация и автоматизация включают: поддержку принятия решений, применение блокчейн, смарт-контрактов, управление жизненным циклом контракта, искусственный интеллект в сфере закупок и роботизация процессов с целью перевода рутинной работы в закупочных процессах от людей программам (Автоматизация закупок…, 2019). Предложенные в нашей статье модели и алгоритмы могут рассматриваться как теоретическая основа реализации одного из возможных вариантов цифровой трансформации процессов систем корпоративных и государственных закупок.

GOST	Aleynikova N., Matveev M. Digital technology of centralized procurement organization // Economics and the Mathematical Methods. – 2022. – V. 58. – Issue 1 C. 70-79 . URL: https://emmras.ru/cifrovaya-tehnologiya-organizacii-centralizovannyh-zakupok/?version_id=92122. DOI: 10.31857/S042473880018980-7
MLA	Aleynikova, Natalya, Matveev, Mikhail "Digital technology of centralized procurement organization." Economics and the Mathematical Methods. 58.1 (2022).:70-79. DOI: 10.31857/S042473880018980-7
APA	Aleynikova N., Matveev M. (2022). Digital technology of centralized procurement organization. Economics and the Mathematical Methods. vol. 58, no. 1, pp.70-79 DOI: 10.31857/S042473880018980-7

ВВЕДЕНИЕ

1. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР В УСЛОВИЯХ ЦЕНТРАЛИЗОВАННОЙ СХЕМЫ ЗАКУПОК

2. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО МНОГОКРИТЕРАЛЬНОГО ВЫБОРА

3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

4. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

References

Comments

ВВЕДЕНИЕ

1. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР В УСЛОВИЯХ ЦЕНТРАЛИЗОВАННОЙ СХЕМЫ ЗАКУПОК

2. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО МНОГОКРИТЕРАЛЬНОГО ВЫБОРА

3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

4. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

References

Comments

Via social network