Diagnostic system for cooperative pricing detection in retail markets

Filkin, Mikhail

doi:10.31857/S042473880010533-5

1

ВВЕДЕНИЕ

2

В мировой теории и практике антимонопольного регулирования можно выделить три этапа выявления картельного поведения или согласованного ценообразования некоторой группы агентов–участников того или иного рынка (Harrington, 2005).

3

Первый этап условно можно назвать «мониторинг» (screening). Он может осуществляться регулирующими органами, учеными-экономистами, компаниями-производителями и продавцами, а также их клиентами. Заинтересованный исследователь собирает доступные статистические данные об уровне цен, объемах продаж, издержках, рыночной доле и любую другую рыночную информацию, которая при соответствующей обработке может указывать на признаки картельного поведения.

4

Второй этап выявления картеля связан с подключением специализированных ведомств, имеющих особые полномочия. Условно данный этап можно назвать «проверка» (verification), в процессе него производятся следственные действия, может быть организована прослушка средств связи руководителей компаний, слежка, изъятие бухгалтерии и другого рода мероприятия силового и разведывательного характера. Примеры эффективного расследования наличия или отсутствия олигополистических объединений описаны в (Бердж, 1947). Такие примеры получения надежных результатов в деле выявления картелей требуют значительных финансовых и профессиональных ресурсов и особых полномочий, лицензированных государством. Тем не менее в настоящее время без данного этапа нельзя привлечь компанию или группу компаний к ответственности за участие в картельном сговоре.

5

После того как все проверки и расследования проведены, материалы передаются в судебную систему страны, где наступает третий этап, условно называемый «обвинение» (prosecution). На этом этапе судебная система на основе всех приведенных доказательств выносит окончательный вердикт о наличии или отсутствии сговора, а также меру наказания для каждого участника в том случае, если сговор выявлен. Строго говоря, только с этого момента корректно обозначать выявленную группу термином «картель» или «сговор». На первых двух этапах, несмотря на силу любых доказательств, уместнее говорить о признаках сговора, признаках скооперированного ценообразования или подозрении на картель.

6

Высокая затратность второго и третьего этапов обнаружения сговора обуславливает актуальность в наиболее точных математических и эконометрических методах, позволяющих уже на стадии доследственного мониторинга выявлять надежные признаки олигополистической координации. Небезынтересным является тот факт, что, несмотря на то, что важность борьбы с картелями была осознана много веков назад, вплоть до настоящего времени не существует универсальной абсолютно точной методики, принятой в юридической и законодательной практике, которая гарантированно определяет наличие или отсутствие сговора во всех отраслях народного хозяйства. Даже если мы определяем сговор в предельно краткой формулировке как «необоснованное синхронное повышение цен», оказывается, что на реальных рынках выявление синхронности и доказательство необоснованности представляется непростой научной проблемой. К примеру, розничные цены могут расти под воздействием множества факторов: из-за роста оптовых цен, операционных издержек, заработной платы персонала, изменения структуры спроса и других фундаментальных причин. Факт одновременности повышения цен в данном случае не дает достаточных оснований для обвинений в картельном поведении, хотя и существует возможность того, что продавцы маскируют кооперацию под предлогом изменения рыночных условий. Прослушивание переговоров руководителей и контроль над коммуникациями между фирмами-продавцами также не решает задачу, поскольку крайне редко сговор манифестируется в открытой, озвученной форме. Намного чаще скооперированное поведение осуществляется посредством координации действий при полном отсутствии прямого общения на основе определенного молчаливого взаимопонимания участников. В таком случае диагностика кооперации эконометрическими методами представляет собой неочевидную, во многом творческую задачу, где часто бывает важно учитывать специфику конкретного рынка и мотивации в поведении его участников.

7

Анализ большого числа работ, посвященных выявлению неконкурентного поведения, позволяет сделать следующее обобщение относительно методов возможного обнаружения признаков неявного, скрытого сговора (implicit/tacit collusion). При исследовании некоторого рынка представляется разумным исходить из определенного понимания того, как должен быть устроен рынок при наличии подлинной конкуренции между участниками. Воздействия внешних факторов и изменение рыночных условий могут приводить к росту или снижению цен, колебаниям объемов продаж, появлению или исчезновению новых участников, однако данные явления в случае конкурентной структуры рынка укладываются в некоторый паттерн поведения, который условно можно назвать «нормальный». Внимание должно уделяться изменениям, которые резко выделяются из паттерна нормального поведения, мы будем называть такую динамику аномальной. Объяснение аномалии основывается на определенной эконометрической модели, где с помощью моделирования мотиваций и способов взаимодействия участников аномалия может расцениваться как кооперации или сговор. В экономической науке проведено большое число исследований и разработаны приемы, которые с той или иной степенью достоверности позволяют судить о признаках скооперированного ценообразования.

Анализ большого числа работ, посвященных выявлению неконкурентного поведения, позволяет сделать следующее обобщение относительно методов возможного обнаружения признаков неявного, скрытого сговора (implicit/tacit collusion). При исследовании некоторого рынка представляется разумным исходить из определенного понимания того, как должен быть устроен рынок при наличии подлинной конкуренции между участниками. Воздействия внешних факторов и изменение рыночных условий могут приводить к росту или снижению цен, колебаниям объемов продаж, появлению или исчезновению новых участников, однако данные явления в случае конкурентной структуры рынка укладываются в некоторый паттерн поведения, который условно можно назвать «нормальный». Внимание должно уделяться изменениям, которые резко выделяются из паттерна нормального поведения, мы будем называть такую динамику аномальной. Объяснение аномалии основывается на определенной эконометрической модели, где с помощью моделирования мотиваций и способов взаимодействия участников аномалия может расцениваться как кооперации или сговор. В экономической науке проведено большое число исследований и разработаны приемы, которые с той или иной степенью достоверности позволяют судить о признаках скооперированного ценообразования.

8

Большое число моделей, интерпретирующих аномальные рыночные феномены как скрытую координацию, относятся к теоретико-игровым концепциям рынков. К примеру, авторы (Rotemberg, Saloner, 1986) исходят из следующих предпосылок, касающихся поведения участников на некотором олигопольном рынке. В работе предполагается, что фирмы, состоящие в сговоре, поддерживают некоторый уровень цен на свою продукцию, соответствующий максимизации их общего дохода. В периоды, когда ожидается скачок спроса, некоторой фирме может быть выгодно уклониться от сговора, понизив цену на незначительную величину, и удовлетворить по такой цене весь будущий повышенный спрос. В последующие периоды олигополия может наказать уклонившуюся фирму путем согласованного снижения цен, поэтому фирма-штрейкбрехер решает, что ей выгоднее — получить доход с рынка и понести наказание или остаться верной сговору. При ожидании высокого спроса стимул уклониться становится выше. Это осознают участники картеля, и у них есть два пути предотвращения отклонения от сговора. Первый — ужесточить наказание (что имеет предел, поскольку картель тоже понесет убытки в будущем), второй — снижать потенциальные выгоды для уклоняющейся компании, понижая текущие цены. Этот факт и составляет рыночную аномалию — в период ожидания повышенного спроса на рынке наблюдается снижение цен. В рамках игровой модели Ротемберга–Салонера данное аномальное поведение объясняется наличием картеля, действующего рационально ради сохранения уровня цен, соответствующего максимизации картельного дохода. Применение других теоретико-игровых концепций для выявления признаков молчаливого сговора можно найти в (Yao, DeSanti, 1993).

Большое число моделей, интерпретирующих аномальные рыночные феномены как скрытую координацию, относятся к теоретико-игровым концепциям рынков. К примеру, авторы (Rotemberg, Saloner, 1986) исходят из следующих предпосылок, касающихся поведения участников на некотором олигопольном рынке. В работе предполагается, что фирмы, состоящие в сговоре, поддерживают некоторый уровень цен на свою продукцию, соответствующий максимизации их общего дохода. В периоды, когда ожидается скачок спроса, некоторой фирме может быть выгодно уклониться от сговора, понизив цену на незначительную величину, и удовлетворить по такой цене весь будущий повышенный спрос. В последующие периоды олигополия может наказать уклонившуюся фирму путем согласованного снижения цен, поэтому фирма-штрейкбрехер решает, что ей выгоднее — получить доход с рынка и понести наказание или остаться верной сговору. При ожидании высокого спроса стимул уклониться становится выше. Это осознают участники картеля, и у них есть два пути предотвращения отклонения от сговора. Первый — ужесточить наказание (что имеет предел, поскольку картель тоже понесет убытки в будущем), второй — снижать потенциальные выгоды для уклоняющейся компании, понижая текущие цены. Этот факт и составляет рыночную аномалию — в период ожидания повышенного спроса на рынке наблюдается снижение цен. В рамках игровой модели Ротемберга–Салонера данное аномальное поведение объясняется наличием картеля, действующего рационально ради сохранения уровня цен, соответствующего максимизации картельного дохода. Применение других теоретико-игровых концепций для выявления признаков молчаливого сговора можно найти в (Yao, DeSanti, 1993).

Большое число моделей, интерпретирующих аномальные рыночные феномены как скрытую координацию, относятся к теоретико-игровым концепциям рынков. К примеру, авторы (Rotemberg, Saloner, 1986) исходят из следующих предпосылок, касающихся поведения участников на некотором олигопольном рынке. В работе предполагается, что фирмы, состоящие в сговоре, поддерживают некоторый уровень цен на свою продукцию, соответствующий максимизации их общего дохода. В периоды, когда ожидается скачок спроса, некоторой фирме может быть выгодно уклониться от сговора, понизив цену на незначительную величину, и удовлетворить по такой цене весь будущий повышенный спрос. В последующие периоды олигополия может наказать уклонившуюся фирму путем согласованного снижения цен, поэтому фирма-штрейкбрехер решает, что ей выгоднее — получить доход с рынка и понести наказание или остаться верной сговору. При ожидании высокого спроса стимул уклониться становится выше. Это осознают участники картеля, и у них есть два пути предотвращения отклонения от сговора. Первый — ужесточить наказание (что имеет предел, поскольку картель тоже понесет убытки в будущем), второй — снижать потенциальные выгоды для уклоняющейся компании, понижая текущие цены. Этот факт и составляет рыночную аномалию — в период ожидания повышенного спроса на рынке наблюдается снижение цен. В рамках игровой модели Ротемберга–Салонера данное аномальное поведение объясняется наличием картеля, действующего рационально ради сохранения уровня цен, соответствующего максимизации картельного дохода. Применение других теоретико-игровых концепций для выявления признаков молчаливого сговора можно найти в (Yao, DeSanti, 1993).

9

В настоящей статье используется альтернативная теоретико-игровому подходу концепция предполагаемых вариаций (conjectural variations), которая также позволяет обнаруживать признаки скооперированного ценообразования на основе выявления аномальных движений розничных цен.

10

Базовая модель и эмпирическое исследование розничных рынков с ее помощью приведены в (Slade, 1986; Филькин, 2010). Каждая фирма, продающая товар на олигополистическом рынке, исходит из некоторых ожиданий (или предположений) относительно того, как ее соперники отреагируют на изменения (вариации) ее ценовой политики.

11

Рассматривается дуополия, в которой оба участника стремятся максимизировать свою индивидуальную прибыль. Пусть

p_{1 р о з н}

и

p_{2 р о з н}

— розничные цены продажи товара, устанавливаемые первым и вторым олигополистами соответственно. Предполагается, что предельные издержки MC производства товара одинаковы для обоих участников. Пусть

p_{1} = p_{1 р о з н} - M C

и

p_{2} = p_{2 р о з н} - M C

— чистая прибыль, или маржа, первого и второго участника соответственно. Прибыль

χ

каждого участника является функцией как своей цены, так и цены, установленной соперником:

Рассматривается дуополия, в которой оба участника стремятся максимизировать свою индивидуальную прибыль. Пусть 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></math>
 — розничные цены продажи товара, устанавливаемые первым и вторым олигополистами соответственно. Предполагается, что предельные издержки MC производства товара одинаковы для обоих участников. Пусть 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></math>
 — чистая прибыль, или маржа, первого и второго участника соответственно. Прибыль 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>χ</mi></math>
 каждого участника является функцией как своей цены, так и цены, установленной соперником:

Рассматривается дуополия, в которой оба участника стремятся максимизировать свою индивидуальную прибыль. Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></math> — розничные цены продажи товара, устанавливаемые первым и вторым олигополистами соответственно. Предполагается, что предельные издержки MC производства товара одинаковы для обоих участников. Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></math> — чистая прибыль, или маржа, первого и второго участника соответственно. Прибыль <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>χ</mi></math> каждого участника является функцией как своей цены, так и цены, установленной соперником:

12

χ_{1} = χ_{1} (p_{1 р о з н} - M C, p_{2 р о з н} - M C) = χ_{1} (p_{1}, p_{2}),

χ_{2} = χ_{2} (p_{1 р о з н} - M C, p_{2 р о з н} - M C) = χ_{2} (p_{1}, p_{2}) .

13

Максимизация индивидуальной прибыли соответствует условиям первого порядка:

14

\frac{d χ_{1}}{d p_{1}} = \frac{\partial χ_{1}}{\partial p_{1}} + \frac{\partial χ_{1}}{\partial p_{2}} \frac{d p_{2}}{d p_{1}} = 0,

\frac{d χ_{2}}{d p_{2}} = \frac{\partial χ_{2}}{\partial p_{2}} + \frac{\partial χ_{2}}{\partial p_{1}} \frac{d p_{1}}{d p_{2}} = 0 .

15

Множители

θ_{1} = d p_{2} / d p_{1}

и

θ_{2} = d p_{1} / d p_{2}

называются предполагаемыми вариациями (conjectural variations) и характеризуют предположение соответственно первого и второго олигополиста о ценовой реакции оппонента на изменения его собственных цен на товар. Как было показано во многих исследованиях (Baltensperger, Fuchslin et al., 2016; Chang, Sugeta, 2004; Diaz, Villar et al., 2010; Julien, 2010), предполагаемые вариации дают возможность обнаруживать аномальное поведение рыночных агентов, а именно выявлять необоснованный синхронный рост цен, что может являться признаком рыночной власти олигополии.

Множители 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>/</mo><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">θ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math>
 называются предполагаемыми вариациями (conjectural variations) и характеризуют предположение соответственно первого и второго олигополиста о ценовой реакции оппонента на изменения его собственных цен на товар. Как было показано во многих исследованиях (Baltensperger, Fuchslin et al., 2016; Chang, Sugeta, 2004; Diaz, Villar et al., 2010; Julien, 2010), предполагаемые вариации дают возможность обнаруживать аномальное поведение рыночных агентов, а именно выявлять необоснованный синхронный рост цен, что может являться признаком рыночной власти олигополии.

16

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДЛЯ ВЫЯВЛЕНИЯ ЦЕНОВОЙ КООПЕРАЦИИ

17

Идея предлагаемой диагностической системы основана на последовательном применении все более сложных, но более точных инструментов для обнаружения признаков использования рыночной власти продавцами. Если более простой диагностический инструмент выявляет феномен скоординированного поведения продавцов, то нет необходимости в более сложных инструментах и можно приступать к разработке и принятию мер по противодействию скоординированному поведению. Если более простой диагностический инструмент не выявил признаков скоординированного поведения продавцов, следует перейти к более сложным инструментам диагностической системы.

18

Мы будем различать несколько уровней системы. На первом уровне необходимо определить рыночную долю каждого продавца. Рыночная доля может быть найдена как отношение объема товара, продаваемого данным продавцом по отношению к общему объему продаж товара или как отношение дохода компании к общему доходу данного рынка. Этот уровень условно будем называть юридическим, количественные критерии для признаков доминирования приведены в докладе Федеральной антимонопольной службы «Условия признания доминирующим положения хозяйствующего субъекта. Иммунитеты для определенных хозяйствующих субъектов в отношении установления для них фактов наличия доминирующего положения. Сфера применения запрета злоупотребления доминирующим положением. Разграничение полномочий ФАС России и иных контролирующих органов» (20 ноября 2017 г.): «Доминирующим признается положение хозяйствующего субъекта (за исключением финансовой организации):

19

1) доля которого на рынке определенного товара превышает пятьдесят процентов (если не будет установлено, что, несмотря на превышение указанной величины, положение хозяйствующего субъекта на товарном рынке не является доминирующим, поскольку субъект не имеет возможности оказывать влияние на общие условия обращения товара на соответствующем товарном рынке;

20

2) доля которого на рынке определенного товара превышает 35%, но менее чем 50%. В этом случае антимонопольный орган устанавливает наличие у хозяйствующего субъекта возможности оказывать влияние на общие условия обращения товара на соответствующем товарном рынке и (или) устранять с этого товарного рынка других хозяйствующих субъектов, и (или) затруднять доступ на этот товарный рынок другим хозяйствующим субъектам».

21

В случае выявления доминирующего игрока регулирующие и антимонопольные органы уже на данном этапе могут начать проверку оказания компанией влияния на общие условия обращения товара или на затруднение входа других компаний на рынок.

22

В случае отсутствия доминирующего игрока предлагается перейти ко второму и третьему этапам системы. Эти и последующие этапы образуют блок, условно называемый «экономически наблюдаемый», поскольку для решения задачи обнаружения картеля вступают в действия эконометрические методы, которые не зафиксированы в законодательной норме, соответственно, их результаты могут быть номинированы только как выявление признаков кооперации и подозрении на картель, о чем было указано во введении.

23

На втором и третьем этапах диагностики неконкурентного поведения определяются уровни концентрации розничных рынков. В настоящем исследовании мы понимаем концентрацию как потенциал рыночной власти продавцов, но не сам факт использования или злоупотребления данной властью. Концентрация рынка может быть рассчитана по размеру долей рынка присутствующих компаний, т.е. с помощью индекса Херфиндаля–Хиршмана

H H I = \sum_{i = 1}^{N} S_{i}^{2},

где

S_{i}

— доля рынка фирмы

i

. Кроме того, концентрацию (или, в другой трактовке, уровень монополизации) рынка можно рассчитать с помощью индекса Лернера

L = (P - M C) / P,

где P — рыночная цена, MC — предельные издержки поставщика.

На втором и третьем этапах диагностики неконкурентного поведения определяются уровни концентрации розничных рынков. В настоящем исследовании мы понимаем концентрацию как потенциал рыночной власти продавцов, но не сам факт использования или злоупотребления данной властью. Концентрация рынка может быть рассчитана по размеру долей рынка присутствующих компаний, т.е. с помощью индекса Херфиндаля–Хиршмана 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>H</mi><mi>H</mi><mi>I</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo></math>
 где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 — доля рынка фирмы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math>
. Кроме того, концентрацию (или, в другой трактовке, уровень монополизации) рынка можно рассчитать с помощью индекса Лернера 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>P</mi><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>P</mi><mo>,</mo></math>
 где P — рыночная цена, MC — предельные издержки поставщика.

На втором и третьем этапах диагностики неконкурентного поведения определяются уровни концентрации розничных рынков. В настоящем исследовании мы понимаем концентрацию как потенциал рыночной власти продавцов, но не сам факт использования или злоупотребления данной властью. Концентрация рынка может быть рассчитана по размеру долей рынка присутствующих компаний, т.е. с помощью индекса Херфиндаля–Хиршмана <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>H</mi><mi>H</mi><mi>I</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo></math> где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> — доля рынка фирмы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math> . Кроме того, концентрацию (или, в другой трактовке, уровень монополизации) рынка можно рассчитать с помощью индекса Лернера <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>P</mi><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>P</mi><mo>,</mo></math> где P — рыночная цена, MC — предельные издержки поставщика.

24

Интерпретация индекса Лернера как индекса монополизации связана с уровнем рентабельности рынка: в случае высокой конкуренции розничные цены стремятся к предельным издержкам, соответственно, индекс близок к нулю. В случае монополии индекс Лернера приближается к единице, поскольку монополия может установить любой приемлемый для себя уровень цен, намного превышающий предельные издержки. Представляется полезным вычислять как долевой (HHI), так и ценовой (L) индексы концентрации.

25

Индексы концентрации дают представление лишь о потенциальной рыночной власти продавцов, не выходящей за нормативные ограничения, которые установлены законодателем и используются на первом этапе работы диагностической системы. Этого представления недостаточно для каких-либо действий против продавцов, так как продавцы не обязательно пользуются своей рыночной властью в ущерб общественному благосостоянию и могут успешно противостоять регулятору на основании презумпции невиновности.

26

Для того чтобы выявить факт недобросовестного использования рыночной власти, предлагаются четвертый и пятый этапы диагностической системы, которые составляет блок «экономически ненаблюдаемый». В названии блока подчеркивается, что оба инструмента применяют ненаблюдаемые параметры экономического поведения продавцов. Их значения определяются с помощью специальных математических моделей.

27

На четвертом этапе с помощью методов регрессионного анализа вычисляется общий уровень предполагаемой вариации для каждой компании. Если односторонняя гипотеза о равенстве ее нулю отвергается в пользу гипотезы о том, что вариация больше нуля для компаний, которые в совокупности владеют более чем 35% долей рынка, то можно диагностировать признаки наличия кооперированного ценообразования (price-matching behavior). Если условие не выполняется, ценообразование на данном рынке можно считать конкурентным (price-taking behavior). Подробное исследование розничных рынков нефтепродуктов с помощью такого анализа представлено в (Slade, 1986; Филькин, 2010).

28

Пятый этап системы призван с помощью специального разработанного автором алгоритма, основанного на скрытых марковских цепях, выявить изменение предполагаемой вариации с течением времени. Данный уровень обнаруживает признаки сговора в том случае, если он носит не постоянный, а сезонный либо эпизодический характер. Алгоритм основан на фундаментальных работах по марковским цепям (Baum, Petrie, 1966; Viterbi, 1967). Модификацию данных алгоритмов для реальной экономической задачи и пример использования можно посмотреть в (Филькин, 2017). Далее будут подробно приведены основные регрессионные и модельные уравнения для оценки уровня конкуренции и непосредственного выявления факта кооперации в ценообразовании (см. таблицу).

29

Таблица. Этапы диагностической системы

30

Уровень диагностики	Компоненты диагностической системы
Юридический	Доля крупнейшего игрока
	Вычисляется доля крупнейшего игрока на розничном рынке. Согласно критериям ФАС приемлемым считается уровень доли ниже 35%, критическим — более 50%
Экономически наблюдаемый	Уровень концентрации
	Объемный	Ценовой
	Индекс Херфиндаля–Хиршмана (HHI): - меньше 100 интерпретируется как рынок с минимальной концентрацией и потенциально высокой конкуренцией; - от 101 до 1500 — низкий уровень концентрации на рынке; - от 1501 до 2500 — рынок умеренно концентрированный; - выше 2500 — сигнал о высокой концентрации и признаках низкой конкуренции	Индекс монополизации Лернера: - близость к 0 индекса указывает на признаки низкой концентрации и конкурентности в ценообразовании; - приближающийся к 1 —признак высокой концентрации и/или высокой рентабельности отрасли
Экономически ненаблюдаемый	Уровень кооперации
	Статический	Динамический
	Регрессионный анализ для вычисления предполагаемой вариации. Конкурентным признается принятие гипотезы о равенстве нулю предполагаемой вариации для более 65% продавцов на рынке	Расчет изменения уровня предполагаемой вариации во времени. Используется метод скрытых марковских цепей. Исследуются единичные, сезонные и нерегулярные проявления скооперированности

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Уровень диагностики</td><td class="docx-publication-cell"> Компоненты диагностической системы</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Юридический</td><td class="docx-publication-cell"> Доля крупнейшего игрока</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Вычисляется доля крупнейшего игрока на розничном рынке. Согласно критериям ФАС приемлемым считается уровень доли ниже 35%, критическим — более 50%</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Экономически наблюдаемый</td><td class="docx-publication-cell"> Уровень концентрации</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Объемный</td><td class="docx-publication-cell"> Ценовой</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Индекс Херфиндаля–Хиршмана (HHI): - меньше 100 интерпретируется как рынок с минимальной концентрацией и потенциально высокой конкуренцией; - от 101 до 1500 — низкий уровень концентрации на рынке; - от 1501 до 2500 — рынок умеренно концентрированный; - выше 2500 — сигнал о высокой концентрации и признаках низкой конкуренции</td><td class="docx-publication-cell"> Индекс монополизации Лернера: - близость к 0 индекса указывает на признаки низкой концентрации и конкурентности в ценообразовании; - приближающийся к 1 —признак высокой концентрации и/или высокой рентабельности отрасли</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Экономически ненаблюдаемый</td><td class="docx-publication-cell"> Уровень кооперации</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Статический</td><td class="docx-publication-cell"> Динамический</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Регрессионный анализ для вычисления предполагаемой вариации. Конкурентным признается принятие гипотезы о равенстве нулю предполагаемой вариации для более 65% продавцов на рынке</td><td class="docx-publication-cell"> Расчет изменения уровня предполагаемой вариации во времени. Используется метод скрытых марковских цепей. Исследуются единичные, сезонные и нерегулярные проявления скооперированности</td></tr></table>

31

МОДЕЛЬ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКОЙ ПРЕДПОЛАГАЕМОЙ ВАРИАЦИИ

32

В регрессионной модели расчета предполагаемой вариации рынок представлен

N

продавцами,

i = 1, . . ., N

, каждый из которых устанавливает цену

p_{i р о з н}

на свою продукцию. Метод состоит в оценке коэффициентов двух линейных регрессий и вычислении оценки предполагаемой вариации. Первая оцениваемая регрессия — линейная функция спроса — записывается в виде

В регрессионной модели расчета предполагаемой вариации рынок представлен 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi></math>
 продавцами, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi></math>
, каждый из которых устанавливает цену 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 на свою продукцию. Метод состоит в оценке коэффициентов двух линейных регрессий и вычислении оценки предполагаемой вариации. Первая оцениваемая регрессия — линейная функция спроса — записывается в виде

33

q_{i} = f (p_{i р о з н}, {p^{*}}_{i р о з н}, z) = a_{i} + b_{i} p_{i р о з н} + c_{i} {p^{*}}_{i р о з н} + g_{i} (z),

(1)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>,</mo><msub><mrow><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
(1)

34

где

{p^{*}}_{i р о з н}

— розничная цена, установленная соперниками продавца i; z — вектор дополнительных факторов продавца, смещающих спрос (бренд, сезонность, наличие сопутствующих сервисов, репутация и пр.);

g_{i} (z)

— функция от вектора дополнительных факторов, смещающих спрос.

35

Прибыль продавца i составляет разницу между его выручкой с продаж и издержками

p_{i р о з н} q_{i} - C (q_{i})

. В предположении рациональности продавца, он стремится к максимизации прибыли, выбирая ту или иную ценовую политику. Задача максимизации прибыли продавца записывается в виде

36

\underset{p_{i р о з н}}{m a x} (p_{i р о з н} q_{i} - C (q_{i})) = \underset{p_{i р о з н}}{m a x} (p_{i р о з н} f (p_{i р о з н}, p_{i р о з н}^{*}, z) - C (f (p_{i р о з н}, p_{i р о з н}^{*}, z))),

(2)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></munder><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></munder><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi>z</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
(2)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></munder><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></munder><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi>z</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> (2)

37

где

C (q_{i})

— линейная функция издержек.

38

Условия первого порядка для (2):

39

p_{i р о з н} \frac{d q_{i}}{d p_{i р о з н}} - \frac{d C (q_{i})}{d p_{i р о з н}} = 0,

или

p_{i р о з н} \frac{d q_{i}}{d p_{i р о з н}} = M C_{i} \frac{d q_{i}}{d p_{i р о з н}},

(3)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math>
 или 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>M</mi><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>,</mo></math>
(3)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>C</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math> или <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>M</mi><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>,</mo></math> (3)

40

где

M C_{i} = d C (q_{i}) / d q_{i}

— предельные издержки производства товара (предполагаются одинаковыми для всех продавцов). Дифференцируя функцию спроса (7) по

d p_{i р о з н}

, имеем

41

\frac{d q_{i}}{d p_{i р о з н}} = b_{i} + c_{i} \frac{d p_{i р о з н}^{*}}{d p_{i р о з н}} = b_{i} + c_{i} \frac{d (p_{i р о з н}^{*} - M C)}{d (p_{i р о з н} - M C)} = b_{i} + c_{i} θ_{i},

(4)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>d</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>d</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 (4)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mi>d</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>d</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>d</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math> (4)

42

где

θ_{i}

— предполагаемая вариация продавца i;

θ_{i} = d (p_{i р о з н}^{*} - M C) / d (p_{i р о з н} - M C) .

Подставляя (10) в (9), получаем равенство

(p_{i р о з н} - M C) (b_{i} + c_{i} θ_{i}) = - q_{i}

или в иной форме (это вторая оцениваемая регрессия):

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></msub></math>
 — предполагаемая вариация продавца i; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>d</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>d</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>
 Подставляя (10) в (9), получаем равенство 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 или в иной форме (это вторая оцениваемая регрессия):

где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">θ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></msub></math> — предполагаемая вариация продавца i; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>d</mi><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>d</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced><mo>.</mo></math> Подставляя (10) в (9), получаем равенство <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">р</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">з</mi><mi mathvariant="normal">н</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>M</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> или в иной форме (это вторая оцениваемая регрессия):

43

p_{i} - M C = ω_{i} q_{i} .

(5)

44

Из полученных оценок коэффициентов регрессий (1) и (5) вычисляется оценка предполагаемой вариации и тестируются необходимые гипотезы (на равенство ее нулю —конкуренция, против односторонней

θ_{i} > 0

— признак кооперации):

θ_{i} = - (1 + ω_{i} b_{i}) / ω_{i} c_{i} .

45

Расчет цены у соперников определяется спецификой рынка. В простейшем случае это может быть средняя цена у всех остальных соперников на рынке. Если же пространственное расположение и локация торговых точек имеют значение, уместно определить взвешенную по дистанции цену соперников:

46

p_{i р о з н}^{*} = \sum_{j \neq i} w_{i j} p_{j},

w_{i j} ~ 1 / ρ_{i j}, \sum_{j \neq i} w_{i j} = 1,

47

где

ρ_{i j}

— пространственное расстояние между продавцами i и j.

48

При применении диагностического инструмента, процедуры которого приведены в данном разделе, т.е. на четвертом этапе диагностики неконкурентного поведения, задействованы эмпирические данные, описывающие поведение продавцов на всем периоде наблюдений. Это означает, что рассматривается гипотеза о том, что поведение продавца на рынке стационарно, т.е. не меняется во времени. С помощью этого инструмента нельзя диагностировать нестационарное неконкурентное поведение. Но продавцы могут использовать и такой тип поведения. При этом ясно, что для продавцов нестационарное неконкурентное поведение, во-первых, может быть выгодным, а во-вторых, что гораздо важнее, — намного более безопасным в их стремлении получить как можно больше прибыли от операций на рынке. Контролирующим розничные рынки государственным органам немного сложней диагностировать нестационарное, или эпизодическое, поведение продавцов. Это указывает на то, что появление на рынке феноменов нестационарного неконкурентного поведения продавцов более ожидаемо, чем появление феноменов стационарного неконкурентного поведения.

49

РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПОНЕНТЫ ПРЕДПОЛАГАЕМОЙ ВАРИАЦИИ

50

В этом разделе исследуется инструмент пятого уровня диагностики, с помощью которого можно выявить феномены нестационарного неконкурентного поведения. Модель оценки динамики предполагаемой вариации методом скрытых марковских цепей рассматривает рынок как совокупность некоторого числа продавцов. Каждый продавец действует в соответствии с выбором некоторого скрытого (ненаблюдаемого) состояния. Набор таких скрытых состояний предполагается дискретным и зафиксированным. Ненаблюдаемое состояние формализуется гауссовым распределением предполагаемой вариации

θ

с определенным значением среднего и фиксированной дисперсией.

51

Скрытые состояния отличаются между собой математическим ожиданием распределения

θ

. Предполагается, что непосредственно наблюдать скрытое состояние невозможно. Однако оно проявляет себя в видимых переменных

p_{р о з н}

, которые устанавливает продавец в соответствии с выбранным в каждый дискретный момент времени скрытым состоянием — распределением

θ

.

52

Имея эмпирический ряд наблюдаемых переменных

p_{р о з н}

, средние розничные цены у его соперников

p_{р о з н}^{*}

и зная предельные издержки MC, строится эмпирическая предполагаемая вариация

53

\tilde{θ} = Δ (p_{р о з н}^{*} - M C) / Δ (p_{р о з н} - M C) .

(6)

54

Ряд

\tilde{θ}

представляет собой совокупность наблюдений. Дальнейшие действия алгоритма предназначены для построения наиболее вероятной последовательности скрытых состояний на основе ряда наблюдений.

55

Управляющие параметры модели, выбор которых задается исследователем: N — число возможных скрытых состояний;

μ_{j}

,

j = 1, . . ., N,

— выбранные математичиские ожидания распределений скрытых состояний;

σ_{j}

,

j = 1, . . ., N,

— выбранные дисперсии распределений скрытых состояний; T — ширина окна наблюдений;

χ_{i}

,

i = 1, . . ., N

— массив, элементы которого равны вероятностям наступления состояния i в первоначальный момент времени t = 1. Вероятности изначально задаются случайными значениями от 0 до 1, в сумме дающими 1:

0 \leq χ_{i} \leq 1; \sum_{j = 1}^{N} χ_{j} = 1 .

Управляющие параметры модели, выбор которых задается исследователем: N — число возможных скрытых состояний; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi><mo>,</mo></math>
 — выбранные математичиские ожидания распределений скрытых состояний; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi><mo>,</mo></math>
 — выбранные дисперсии распределений скрытых состояний; T — ширина окна наблюдений; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi></math>
 — массив, элементы которого равны вероятностям наступления состояния i в первоначальный момент времени t = 1. Вероятности изначально задаются случайными значениями от 0 до 1, в сумме дающими 1: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>

Управляющие параметры модели, выбор которых задается исследователем: N — число возможных скрытых состояний; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi><mo>,</mo></math> — выбранные математичиские ожидания распределений скрытых состояний; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi><mo>,</mo></math> — выбранные дисперсии распределений скрытых состояний; T — ширина окна наблюдений; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi></math> — массив, элементы которого равны вероятностям наступления состояния i в первоначальный момент времени t = 1. Вероятности изначально задаются случайными значениями от 0 до 1, в сумме дающими 1: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>

56

Пусть

A = \{a_{i j}\}

— матрица

N \times N

вероятностей перехода между состояниями, элемент

a_{i j}

обозначает вероятность перехода в (скрытое) состояние j при условии, что система находится в состоянии i. Изначально все элементы задаются случайными значениями от 0 до 1 так, чтобы сумма элементов в каждом столбце и каждой строке была равна 1:

57

0 \leq a_{i j} \leq 1,

\overset{N}{\sum_{j = 1}} a_{i j} = 1,

\overset{N}{\sum_{i = 1}} a_{i j} = 1, 1 \leq j \leq N .

58

Плотности гауссового распределения для скрытых состояний задаются формулой

59

b_{j} ({\tilde{θ}}_{t}) = \frac{1}{σ_{j} \sqrt{2 π}} e x p \{- \frac{{({\tilde{θ}}_{t} - μ_{j})}^{2}}{2 σ_{j}^{2}}\} .

(7)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msqrt><mn>2</mn><mi>π</mi></msqrt></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>
(7)

60

Введем обозначения: для момента времени t, для которого реализуется одно из возможных состояний

s_{t} = j

;

\tilde{Θ} = ({\tilde{θ}}_{1}, \dots, {\tilde{θ}}_{T})

— последовательность наблюдений эмпирических предполагаемых вариаций, рассчитанных по (6);

M = (A, χ)

— совокупность параметров матрицы переходов A и вектора вероятностей первоначальных состояний

χ

.

Введем обозначения: для момента времени t, для которого реализуется одно из возможных состояний 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>j</mi></math>
; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 — последовательность наблюдений эмпирических предполагаемых вариаций, рассчитанных по (6); 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">M</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold">A</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">χ</mi></mrow></mfenced></math>
 — совокупность параметров матрицы переходов A и вектора вероятностей первоначальных состояний 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">χ</mi></math>
.

61

После инициализация всех параметров модели запускается алгоритм Бума–Уэлша (Baum, Petrie, 1966) — итерационный процесс поиска последовательности скрытых состояний, максимизирующих вероятность получения цепи видимых переменных.

62

Процедура 1. В соответствии с формулой (7) для последовательности наблюдений

\tilde{Θ}

вычисляются соответствующие значения плотности вероятности

b_{j} ({\tilde{θ}}_{t})

,

1 \leq j \leq N,

1 \leq t \leq T,

и рассчитываются вспомогательные переменные

φ_{i} (t)

и

β_{i} (t)

,

i = 1, . . ., N :

Процедура 1. В соответствии с формулой (7) для последовательности наблюдений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math>
 вычисляются соответствующие значения плотности вероятности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mi>N</mi><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>T</mi><mo>,</mo></math>
 и рассчитываются вспомогательные переменные 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi><mo>:</mo></math>

Процедура 1. В соответствии с формулой (7) для последовательности наблюдений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math> вычисляются соответствующие значения плотности вероятности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mi>N</mi><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>T</mi><mo>,</mo></math> и рассчитываются вспомогательные переменные <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi><mo>:</mo></math>

63

φ_{i} (t) = P (θ_{1}, \dots, θ_{t - 1} | s_{t} = i) = \{\begin{array}{l} χ_{i}, t = 1; \\ \sum_{j = 1}^{N} φ_{j} (t - 1) a_{j i} b_{i} (θ_{t}), 2 \leq t \leq T; \end{array}

64

β_{i} (t) = P (θ_{t + 1}, \dots, θ_{T} | s_{t} = i) = \{\begin{array}{l} 1, t = T; \\ \sum_{j = 1}^{N} a_{i j} b_{i} (θ_{t}) β_{j} (t + 1), 1 \leq t \leq T - 1 . \end{array}

65

Затем проводится промежуточный расчет вероятности получения данной последовательности наблюдений

P (\tilde{Θ}) = \sum_{i = 1}^{N} φ_{i} (T) .

66

Процедура 2. Вспомогательные переменные

φ_{i} (t)

и

β_{i} (t)

,

i = 1, . . ., N,

используются для перерасчета

M = (A, χ)

— матрицы переходов и вектора вероятностей первоначальных состояний, наиболее точно описывающих имеющуюся последовательность наблюдений

\tilde{Θ}

. Для этого предварительно рассчитываются

P_{t} (i, j)

— вероятности нахождения системы в момент

t - 1

в состоянии i, а в момент t в состоянии j при имеющихся параметрах M и последовательности наблюдений

\tilde{Θ}

:

Процедура 2. Вспомогательные переменные 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi><mo>,</mo></math>
 используются для перерасчета 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">M</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold">A</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">χ</mi></mrow></mfenced></math>
 — матрицы переходов и вектора вероятностей первоначальных состояний, наиболее точно описывающих имеющуюся последовательность наблюдений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math>
. Для этого предварительно рассчитываются 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow></mfenced></math>
 — вероятности нахождения системы в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math>
 в состоянии i, а в момент t в состоянии j при имеющихся параметрах M и последовательности наблюдений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math>
:

Процедура 2. Вспомогательные переменные <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>N</mi><mo>,</mo></math> используются для перерасчета <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">M</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold">A</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">χ</mi></mrow></mfenced></math> — матрицы переходов и вектора вероятностей первоначальных состояний, наиболее точно описывающих имеющуюся последовательность наблюдений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math> . Для этого предварительно рассчитываются <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow></mfenced></math> — вероятности нахождения системы в момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> в состоянии i, а в момент t в состоянии j при имеющихся параметрах M и последовательности наблюдений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math> :

67

t = 1 : P_{1} (i, j) = \frac{χ_{i} a_{i j} b_{j} ({\tilde{θ}}_{1}) β_{j} (1)}{\sum_{m = 1}^{N} \sum_{n = 1}^{N} φ_{m} (1) a_{m n} b_{n} ({\tilde{θ}}_{1}) β_{n} (1)};

68

2 \leq t \leq T : P_{t} (i, j) = \frac{φ_{i} (t - 1) a_{i j} b_{j} ({\tilde{θ}}_{t}) β_{j} (t)}{\sum_{m = 1}^{N} \sum_{n = 1}^{N} φ_{m} (t - 1) a_{m n} b_{n} ({\tilde{θ}}_{t}) β_{n} (t)} .

69

Вводится дополнительная вспомогательная переменная

γ_{j} (t)

— вероятность пребывания системы t в состоянии j при заданных параметрах M и последовательности наблюдений

\tilde{Θ}

:

γ_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{N} P_{t} (i, j) .

Вычислив вероятности

P_{t} (i, j)

и

γ_{j} (t)

, мы осуществляем пересчет параметров

M = (A, χ)

:

{a'}_{i j} = \sum_{t = 1}^{T - 1} P_{t} (i, j) / \sum_{t = 1}^{T - 1} γ_{i} (t),

{χ'}_{i} = γ_{i} (1) .

Вводится дополнительная вспомогательная переменная 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
 — вероятность пребывания системы t в состоянии j при заданных параметрах M и последовательности наблюдений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math>
: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 Вычислив вероятности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow></mfenced></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math>
, мы осуществляем пересчет параметров 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">M</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold">A</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">χ</mi></mrow></mfenced></math>
: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>χ</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>

Вводится дополнительная вспомогательная переменная <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> — вероятность пребывания системы t в состоянии j при заданных параметрах M и последовательности наблюдений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math> : <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math> Вычислив вероятности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow></mfenced></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> , мы осуществляем пересчет параметров <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="bold">M</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold">A</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">χ</mi></mrow></mfenced></math> : <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>χ</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>

70

Процедура 3. Имея пересчитанные параметры

M = (A', χ')

, повторяем процедуры 1 и 2 до итерационной сходимости (Baum, Petrie, 1966).

71

Процедура 4. После итерационного цикла процедур 1–3 на выходе имеется совокупность параметров

M = (A, π)

, наилучшим способом (в терминах вероятности) объясняющая данную последовательность наблюдений

\tilde{Θ}

.

72

Следующая процедура — расчет наиболее вероятной последовательности скрытых состояний для данной последовательности наблюдений (Viterbi, 1967).

73

Процедура 5. Процесс поиска скрытых состояний осуществляется индукционным способом. Инициируются вспомогательные переменные

δ_{i} (1) = χ_{i} b_{i} ({\tilde{θ}}_{1}),

ψ_{i} (1) = 0, 1 \leq i \leq N .

Процедура 5. Процесс поиска скрытых состояний осуществляется индукционным способом. Инициируются вспомогательные переменные 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><mi>N</mi><mo>.</mo></math>

74

По индукции для

2 \leq t \leq T

:

75

δ_{j} (t) = b_{j} ({\tilde{θ}}_{t}) \underset{1 \leq i \leq N}{m a x} [δ_{i} (t - 1) a_{i j}],

ψ_{j} (t) = \underset{1 \leq i \leq N}{a r g m a x} [δ_{i} (t - 1) a_{i j}], 1 \leq j \leq N .

76

При достижении

t = T

, рассчитывается максимальная для данной цепи наблюдений вероятность

P^{*}

, а также формирование цепочки номеров состояний обратным индукционным путем:

P^{*} = \underset{1 \leq i \leq N}{m a x} δ_{i} (T),

s_{T}^{*} = \underset{1 \leq i \leq N}{a r g m a x} δ_{i} (T) .

Для всех

1 \leq t \leq T - 1

имеем

s_{t}^{*} = ψ_{s_{t + 1}^{*}} (t + 1) .

При достижении 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>T</mi></math>
, рассчитывается максимальная для данной цепи наблюдений вероятность 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
, а также формирование цепочки номеров состояний обратным индукционным путем: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><mi>N</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><mi>N</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 Для всех 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math>
 имеем 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>

При достижении <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>T</mi></math> , рассчитывается максимальная для данной цепи наблюдений вероятность <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> , а также формирование цепочки номеров состояний обратным индукционным путем: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><mi>N</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><mi>N</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math> Для всех <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> имеем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>

77

Процедура 6. Окно наблюдений передвигается на следующий момент времени. Для последовательности наблюдений

\tilde{Θ} = ({\tilde{θ}}_{2}, \dots, {\tilde{θ}}_{T + 1})

проводятся процедуры 1–5, после чего окно наблюдения смещается вплоть до конца периода наблюдений. По окончании выполнения алгоритма на выходе имеется последовательность скрытых состояний, наиболее точно (в терминах максимизации вероятности) описывающая последовательность видимых переменных. Данная последовательность предполагаемых вариаций дает возможность исследовать эпизодические и сезонные эффекты в динамике уровня скооперированности в олигополии.

Процедура 6. Окно наблюдений передвигается на следующий момент времени. Для последовательности наблюдений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">Θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="normal">θ</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 проводятся процедуры 1–5, после чего окно наблюдения смещается вплоть до конца периода наблюдений. По окончании выполнения алгоритма на выходе имеется последовательность скрытых состояний, наиболее точно (в терминах максимизации вероятности) описывающая последовательность видимых переменных. Данная последовательность предполагаемых вариаций дает возможность исследовать эпизодические и сезонные эффекты в динамике уровня скооперированности в олигополии.

78

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

79

Представленная пятикомпонентная диагностическая система исследования уровня конкуренции может рассматриваться как некоторый возможный план исследования розничных рынков на наличие скооперированного поведения. Достоинствами системы, на наш взгляд, являются:

80

небольшое число эмпирических рядов данных, необходимых для исследования (розничные цены, объемы продаж, оптовые цены или другие предельные издержки продавцов, а в некоторых случаях — данные о местоположении розничных точек продаж);

81

представленные модели используют минимальный набор априорных предположений о характере поведения агентов и рыночном устройстве — существование линейной функции спроса и рациональность продавцов. Применение скрытых марковских цепей накладывает еще одно дополнительное предположение — зависимость состояния рынка от предыдущего момента (и независимость его от более ранней истории). Это можно считать одним из ограничений применимости модели;

82

система с помощью последовательных приближений дает разностороннюю оценку конкурентной ситуации на рынках — как потенциал рыночной власти, так и признаки недобросовестного использования данной власти.

83

Представляется, что задача поиска оптимальных рыночных структур и внедрение их в экономическую реальность является далеко не завершенной и дальнейшее развитие и успехи этой области будут способствовать росту эффективности розничных рынков и повышению общественного благосостояния.

GOST	Filkin M. Diagnostic system for cooperative pricing detection in retail markets // Economics and the Mathematical Methods. – 2020. – V. 56. – Issue 3 C. 26-34 . URL: https://emmras.ru/diagnosticheskaya-sistema-vyyavleniya-cenovoy-kooperacii-na-roznichnyh-rynkah/?version_id=14597. DOI: 10.31857/S042473880010533-5
MLA	Filkin, Mikhail "Diagnostic system for cooperative pricing detection in retail markets." Economics and the Mathematical Methods. 56.3 (2020).:26-34. DOI: 10.31857/S042473880010533-5
APA	Filkin M. (2020). Diagnostic system for cooperative pricing detection in retail markets. Economics and the Mathematical Methods. vol. 56, no. 3, pp.26-34 DOI: 10.31857/S042473880010533-5

References

Comments

References

Comments

Via social network