Dynamic model of the software development market based on the assignment problem on pain points

Lesik, Ilya; Perevozchikov, Aleksandr

doi:10.31857/S042473880017518-8

1

ВВЕДЕНИЕ

2

В статье рассматривается задача определения оптимальных планов назначения исполнителей на работы в динамическом расширении задачи на узкие места о назначении (УМН), описанной в работе (Форд, Фалкерсон, 1966). Управление формально осуществляется путем приращения планов. Поэтому показатель оптимальности, кроме транспортных расходов и фиксированных доплат, на каждом шаге включает норму приращения планов, а его минимизация отражает не только стремление уменьшить расходы, но и желание стабилизировать планы распределения ресурсов по видам работ.

3

В существующих платформах PBS¹, LSF², NQE, I-SOFT (Ding, 2012), EASY³, LoadLeveler⁴ для решения транспортной задачи и ее частного случая — задачи о назначениях — рассматривается в основном статический вариант задачи с горизонтом планирования один период. Неэффективность такого подхода особенно сильно заметна в глобальных вычислительных системах, так как в них ресурсы и заявки являются неоднородными (Сергиенко, Симоненко В., Симоненко А., 2016). Это делает актуальной задачу динамического распределения исполнителей по заданиям, поставленную и изученную в настоящей работе.

1. PBS Works. Официальный сайт компании Altair Engineering, Inc. (http://www.pbsworks.com/).

2. Platform LSF 7 Update 6. An Overview of New Features for Platform LSF Administrors. Официальный сайт компании Platform Computing Corporation (http://www. platform.com/workload-management/ whotsnew_lst7u6.pdf).

3. What is Condor? Официальный сайт продукта Condor (http://www.cs.wisc.edu/condor/description.html).

4. IBM Tivoli Workload Scheduler LoadLeveler. (2007): Официальный сайт компании «Интерфейс» . - >>>> .

4

Практическая значимость работы связана с использованием предложенной динамической модели для распределения ресурсов и заданий на рынке разработки программного обеспечения (РПО) для создания соответствующих цифровых транзакционных платформ (ЦТП) (Устюжанина, Дементьев, Евсюков, 2021). Несмотря на постоянное увеличение объема сделок, на рынке РПО отсутствуют глобальные платформы указанных выше универсальных платформ распределения заданий PBS, LSF, NQE, I-SOFT, EASY, LoadLeveler, которые могли бы быть применены в динамическом алгоритме загрузки заданий, хотя бы для получения начального плана, который в динамической модели является элементом управления. Это приводит к большому числу посредников в цепочке, ведущей от заказчика к исполнителю, что уменьшает стоимость работ для исполнителя до 10 раз по сравнению со стоимостью, которую готовы были платить заказчики. Таким образом, создание цифровой платформы на рынке РПО могло бы дать более справедливое распределение доходов и увеличить общественное благосостояние. Максимизация благосостояния равносильна определению глобального равновесия на рынке РПО в соответствии с теоремой Дебре (Debreu, 1954).

Практическая значимость работы связана с использованием предложенной динамической модели для распределения ресурсов и заданий на рынке разработки программного обеспечения (РПО) для создания соответствующих цифровых транзакционных платформ (ЦТП) (Устюжанина, Дементьев, Евсюков, 2021). Несмотря на постоянное увеличение объема сделок, на рынке РПО отсутствуют глобальные платформы указанных выше универсальных платформ распределения заданий PBS, LSF, NQE, I-SOFT, EASY, LoadLeveler, которые могли бы быть применены в динамическом алгоритме загрузки заданий, хотя бы для получения начального плана, который в динамической модели является элементом управления. Это приводит к большому числу посредников в цепочке, ведущей от заказчика к исполнителю, что уменьшает стоимость работ для исполнителя до 10 раз по сравнению со стоимостью, которую готовы были платить заказчики. Таким образом, создание цифровой платформы на рынке РПО могло бы дать более справедливое распределение доходов и увеличить общественное благосостояние. Максимизация благосостояния равносильна определению глобального равновесия на рынке РПО в соответствии с теоремой Дебре (Debreu, 1954).

5

В общетеоретическом плане концепция равновесия (Макаров, Рубинов, 1973) на распределенном рынке однородного товара относится к мезоэкономике (Мезоэкономика развития, 2011) и лежит в основе синтеза транспортной системы многоузлового конкурентного рынка с переменным спросом и предложением. Эта концепция рассмотрена в работах (Васин, Григорьева, Лесик, 2017, 2018; Васин, Григорьева, Цыганов, 2017). В отличие от этих работ в данной статье мы показываем возможность прямого вычисления равновесных цен, и поэтому можно обойтись без вариационной постановки внутренней задачи. Функции изменения фазовых координат можно взять выпуклыми (например, квадрат нормы разности) и не учитывать постоянных затрат при каждом переключении управления. Имея динамическое расширение задачи УМН, можно найти дополнительную прибыль транспортной системы (цифровой платформы) за счет использования фьючерсов.

6

Основным результатом работы являются исследование динамической модели рынка разработки программного обеспечения на основе задачи УМН при отказе от целочисленности элементов матрицы назначения и построение численных методов ее решения на основе снятия фазовых ограничений методом штрафных функций и вычисления градиента полученного показателя через функцию Гамильтона–Понтрягина и сопряженную систему. Это позволяет сформировать градиентный метод точного решения динамической ЗН на УМ на основе метода проекции градиента с постоянным шагом (Поляк, 1983).

7

1. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НА УЗКИЕ МЕСТА О НАЗНАЧЕНИЯХ

8

Пусть, как в обычной транспортной задаче (ТЗ), через

i = 1, . . ., m

обозначены пункты производства (разработчики ПО) некоторого однородного товара (человеко-дней при стандартном 8-часовом дне чистого рабочего времени, определяемого по таймеру), через

j = 1, . . ., n

— пункты его потребления (заказчики ПО). Даны величины, отнесенные к одному дню (горизонту планирования):

a_{i} \in \{0, 1\}

— объем производства в пункте производства i;

b_{j} \in \{0, 1\}

— объем потребления в пункте потребления j, где 0 — означает, что исполнитель не требуется, 1 — требуется один исполнитель.

Пусть, как в обычной транспортной задаче (ТЗ), через 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi></math>
 обозначены пункты производства (разработчики ПО) некоторого однородного товара (человеко-дней при стандартном 8-часовом дне чистого рабочего времени, определяемого по таймеру), через 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi></math>
 — пункты его потребления (заказчики ПО). Даны величины, отнесенные к одному дню (горизонту планирования): 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced open="" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>
 — объем производства в пункте производства i; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced open="" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>
 — объем потребления в пункте потребления j, где 0 — означает, что исполнитель не требуется, 1 — требуется один исполнитель.

Пусть, как в обычной транспортной задаче (ТЗ), через <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi></math> обозначены пункты производства (разработчики ПО) некоторого однородного товара (человеко-дней при стандартном 8-часовом дне чистого рабочего времени, определяемого по таймеру), через <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi></math> — пункты его потребления (заказчики ПО). Даны величины, отнесенные к одному дню (горизонту планирования): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced open="" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> — объем производства в пункте производства i; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced open="" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> — объем потребления в пункте потребления j, где 0 — означает, что исполнитель не требуется, 1 — требуется один исполнитель.

9

Найдем величины

x_{i j} = \{0, 1\}

(объем перевозок из пункта i в пункт j), удовлетворяющие обычным транспортным ограничениям

10

\sum_{j = 1}^{n} x_{i j} = a_{i}, \sum_{i = 1}^{m} x_{i j} = b_{j}, i = 1, . . ., m; j = 1, . . ., n .

(1)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>.</mo></math>
(1)

11

Предположим, что

12

\sum_{i = 1}^{m} a_{i} = \sum_{j = 1}^{n} b_{j} \Rightarrow n = m

(2)

13

\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} A_{i j} \to m i n .

(3)

14

Здесь

A_{i j}

— эффективность соответствующего назначения.

15

Таким образом, задача (1)–(3) является частным случаем обычной транспортной задачи, которую можно решить точно при помощи соответствующего пакета, реализующего венгерский метод (Корбут, Финкильштейн, 1969, с. 307) расстановки пометок (подробно описан в (Ашманов, 1981)), имеющий сложность

O (N^{3})

(Сергиенко и др., 2016), где N — общее число вершин соответствующего двудольного графа,

N = n + m = 2 m

.

16

Для рынка РПО будем предполагать выполненными следующие предположения:

17

за единицу берется один программист, работающий полный день — 8 часов;
горизонт планирования — 1 день;
доходы компаний–заказчиков по контакту $(i, j)$ равны разности цен 1 рабочего дня спроса $P_{j}$ и предложения $Q_{i}$ с учетом платы за транспортировку, например 30%, $(P_{j} \geq P \geq Q_{i},$ где $P$ — равновесная цена), умноженные на число кодировщиков $(P_{j} - Q_{i}) x_{i j}$ . Всего

<ol> <li>за единицу берется один программист, работающий полный день — 8 часов; </li> <li>горизонт планирования — 1 день; </li> <li>доходы компаний–заказчиков по контакту 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>)</mo></math>
 равны разности цен 1 рабочего дня спроса 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 и предложения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 с учетом платы за транспортировку, например 30%, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><mi>P</mi><mo>≥</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>P</mi></math>
 — равновесная цена), умноженные на число кодировщиков 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>
. Всего</li></ol>

18

(P_{j} - Q_{i}) x_{i j} .

(4)

19

Доходы заказчиков следует максимизировать.

20

Замечание. С учетом балансовых ограничений валовый доход компаний-заказчиков от разности цен спроса и предложения не будет зависеть от распределения

x_{i j}

. В самом деле,

21

\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} (P_{j} - Q_{i}) x_{i j} = \sum_{j = 1}^{n} P_{j} \sum_{i = 1}^{m} x_{i j} - \sum_{i = 1}^{m} Q_{i} \sum_{j = 1}^{n} x_{i j} = \sum_{j = 1}^{n} P_{j} b_{j} - \sum_{i = 1}^{m} Q_{i} a_{i} \geq 0 .

(5)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo></mrow></mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo></mrow></mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>
 (5)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo></mrow></mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo></mrow></mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> (5)

22

2. ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИИ НА УЗКИЕ МЕСТА

23

Динамическое расширение ЗН на УМ можно получить по схеме, предложенной в работе (Васин, Григорьева, Лесик, 2018). Однако равновесные цены можно вычислить без вариационной постановки внутренней задачи, а функции изменения фазовых координат можно взять выпуклыми и не учитывать постоянных затрат при каждом переключении управления.

24

У основной системы нет начальных условий (по крайней мере вначале, затем за начальное условие можно взять текущее значение плана). Для определенности будем считать, что начальное значение плана не определено. Приходится ввести еще один (–1)-шаг и соответствующую компоненту управления с нулевыми начальными условиями:

25

\begin{array}{l} x_{i j} (t + 1) = x_{i j} (t) + u_{i j} (t), t = - 1, . . ., T - 1, \\ x_{i j} (- 1) = 0, i = 1, . . ., m; j = 1, . . ., n . \end{array}

(6)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math>
 (6)

26

Можно считать, что управляющие воздействия ограничены по модулю

|u_{i j} (t)| \leq 2 \forall i, j .

Множество допустимых управлений

[u (t), t = - 1, . . ., T - 1],

u (t) = (u_{i j} (t), i = 1, . . ., m; j = 1, . . ., n),

удовлетворяющих этому условию, обозначим через

Можно считать, что управляющие воздействия ограничены по модулю 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∀</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>.</mo></math>
 Множество допустимых управлений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>[</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
 удовлетворяющих этому условию, обозначим через

Можно считать, что управляющие воздействия ограничены по модулю <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∀</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>.</mo></math> Множество допустимых управлений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>[</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> удовлетворяющих этому условию, обозначим через

27

W = \prod_{t = - 1}^{T - 1} W (t), W (t) = \prod_{i, j} W_{i j} (t), W_{i j} (t) = [- 2, 2]

.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>W</mi><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∏</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mi>W</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mrow></mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>W</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∏</mo><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>2</mn></mrow></mfenced></math>
.

28

Показатель эффективности определим в виде интегрального функционала

29

I (x, u) = \sum_{t = 0}^{T - 1} \{\sum_{i = 1}^{m (t)} \sum_{j = 1}^{n (t)} A_{i j} x_{i j} (t) + K \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} u_{i j}^{2} (t)\} = \sum_{t = 0}^{T - 1} f_{t}^{0} (x (t), u (t)),

(7)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>I</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>+</mo><mi>K</mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>,</mo></math>
(7)

30

где

K > 0

— достаточно большая константа.

31

Предполагается, что цены в заявках постоянны и упорядочены по неубыванию:

32

Q_{1} \leq Q_{2} \leq . . . \leq Q_{m}, P_{1} \leq P_{2} \leq . . . \leq P_{n},

(8)

33

Q_{i} \leq P (t) \leq P_{j}, i = 1, . . ., m (t), j = 1, . . ., n (t),

(9)

34

где

P (t), m (t), n (t)

— равновесная цена и максимальные и минимальные значения индексов

i, j

, удовлетворяющих неравенствам (9) в момент времени

t = - 1, . . ., T - 1

. Обозначим через

a_{i} (t), b_{j} (t)

соответствующие запасы и потребности в ресурсах в соответствии с первоначальными заявками.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 — равновесная цена и максимальные и минимальные значения индексов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></math>
, удовлетворяющих неравенствам (9) в момент времени 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math>
. Обозначим через 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 соответствующие запасы и потребности в ресурсах в соответствии с первоначальными заявками.

35

Тогда балансовые ограничения имеют вид

36

a_{i} (t) = \sum_{j = 1}^{n (t)} x_{i j} (t), i = 1, . . ., m (t), b_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{m (t)} x_{i j} (t), j = 1, . . ., n (t); x_{i j} (t) \geq 0; t = - 1, . . ., T - 1 .

(10)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>
(10)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math> (10)

37

Снимая фазовые ограничения (10) при помощи штрафной функции (Федоров, 1979)

38

\begin{array}{l} L (x, u) = \sum_{t = - 1}^{T - 1} \{\sum_{i = 1}^{m (t)} {(a_{i} (t) - \sum_{j = n (t)}^{n} x_{i j} (t))}^{2} + \sum_{j = 1}^{n (t)} {(b_{j} (t) - \sum_{i = 1}^{m (t)} x_{i j} (t))}^{2} + \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} {[x_{i j}^{-} (t)]}^{2}\} = \\ = \sum_{t = - 1}^{T - 1} l_{t}^{0} (x (t), u (t)), x_{i j}^{-} = m i n (x_{i j}, 0), \end{array}

(11)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>L</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math>
 (11)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>L</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mo>-</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> (11)

39

приходим к показателю

40

\begin{array}{l} J (x, u) = I (x, u) + C L (x, u) = \sum_{t = - 1}^{T - 1} F_{t}^{0} (x (t), u (t)), \\ F_{t}^{0} (x (t), u (t)) = \{\begin{array}{l} f_{t}^{0} (x (t), u (t)) + C l_{t}^{0} (x (t), u (t)), t = 0, . . ., T - 1, \\ 0, t = - 1, \end{array} \end{array}

(12)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>J</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>I</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>C</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>L</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>,</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>C</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></math>
(12)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>J</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>I</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>C</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>L</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>,</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>C</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msubsup><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></math> (12)

41

где

C > 0

— достаточно большая константа.

42

В силу линейности уравнений динамики (6) и выпуклости (11) функции по совокупности переменных в силу результатов (Васильев, 1981) справедлива следующая теорема.

43

Теорема 1. Функционал (11) представляет собой выпуклую функцию управления.

44

Введем функцию Гамильтона–Понтрягина

45

H_{t} (ψ, x, u) = ⟨ψ, x + u⟩ + F_{t}^{0} (x, u)

(13)

46

и сопряженную систему

47

ψ_{i j} (t - 1) = \frac{\partial H_{t}}{\partial x_{i j}} = ψ_{i j} (t) + \frac{\partial F_{t}^{0} (x (t), u (t))}{\partial x_{i j}}, t = T - 1, . . ., 0; ψ_{i j} (T - 1) = 0 .

(14)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>
 (14)

48

Тогда компоненты градиента показателя (19) будут иметь вид (Васильев, 1981):

49

J_{u_{i j} (t)} (x (t), u (t)) = \frac{\partial H_{t} (ψ (t), x (t), u (t))}{\partial u_{i j} (t)} = ψ_{i j} (t) + \frac{\partial F_{t}^{0} (x (t), u (t))}{\partial u_{i j} (t)}, t = - 1, . . ., T - 1 .

(15)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ψ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>
 (15)

50

Это позволяет организовать градиентный метод решения динамической ЗН на УМ.

51

3. МЕТОД ГРАДИЕНТНОГО СПУСКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗН ОБ УМ

52

Метод проекции градиента

53

Имея градиенты (15), для решения динамической задачи управления со свободным правым концом можно воспользоваться методом проекции градиента с постоянным шагом (Поляк, 1983, с. 185):

54

u_{i j}^{k + 1} (t) = P_{W_{i j} (t)} (u_{i j}^{k} (t) + a \frac{\partial H (ψ (t), x (t), u (t))}{\partial u_{i j} (t)}) \forall i, j, t = - 1, . . ., t - 1; k = 0, 1, . . . .

(16)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>a</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>H</mi><mo>(</mo><mi>ψ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∀</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo></math>
(16)

55

где

k

— номер шага;

a > 0

— постоянный шаг метода;

P_{W_{i j} (t)} (u_{t})

— оператор проектирования на компоненту

W_{i j} (t) = [- 2, 2]

множества допустимых управляющих воздействий

W (t)

. Тогда согласно результатам (Поляк, 1983, с. 185) справедлива следующая теорема сходимости.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math>
 — номер шага; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 — постоянный шаг метода; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
 — оператор проектирования на компоненту 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>2</mn></mrow></mfenced></math>
 множества допустимых управляющих воздействий 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>W</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
. Тогда согласно результатам (Поляк, 1983, с. 185) справедлива следующая теорема сходимости.

56

Теорема 2. Пусть

L > 0

— константа Липшица градиента с компонентами (15) на множестве

W

и

0 < a < 2 / L

. Тогда последовательность

[u^{k} (t)]

в методе (16) сходится к множеству решений задачи минимизации (11) на множестве

W

.

Теорема 2. Пусть 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 — константа Липшица градиента с компонентами (15) на множестве 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>W</mi></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><mi>a</mi><mo>&lt;</mo><mn>2</mn><mo>/</mo><mi>L</mi></math>
. Тогда последовательность 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></math>
 в методе (16) сходится к множеству решений задачи минимизации (11) на множестве 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>W</mi></math>
.

57

4. ПРИБЛИЖЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗН НА УМ

58

Рассмотрим приближенный алгоритм решения динамической ЗН об УМ на основе классической ЗН на узкие места (Форд, Фалкерсон, 1966). На первом шаге решается задача на построение максимального множества (ММ) независимых клеток (НК) в подматрице эффективности, получающейся на пересечении строк и столбцов, обеспечивающих равенство спроса и предложения в простейшей модели конкурентного рынка со ступенчатыми функциями спроса и предложения (Васин, Морозов, 2005). Задача построения ММ НК является частным случаем ЗН на УМ, если заменить в начальной матрице эффективности кресты нулями, а остальные элементы взять равными единице (это означает, что возможно первое назначение). После решения ЗН на первом шаге соответствующие элементы матрицы эффективности увеличиваются на единицу, т.е. до 2 (второе назначение возможно). На этом первый шаг считается законченным и описанным.

59

Индуктивный переход осуществляется совершенно аналогично, только вместо исходной матрицы эффективности берется предыдущая. В ней элементы матрицы эффективности меняются от нуля до текущего значения дискретного времени. С учетом их содержательного смысла, состоящего в возможности назначения соответствующей кратности, решение ЗН на УМ стимулирует выбирать назначения с максимумом минимальной кратности, что формализует стремление заказчиков ПО распределять свои задачи прежде всего среди исполнителей, с которыми установились устойчивые рабочие отношения.

60

Модельный пример работы приближенного алгоритма

61

За начальную матрицу эффективности возьмем матрицу из (Форд, Фалкерсон, 1966, с. 88, рис. 5.1) на построение ММ НК, заменив в начальной матрице эффективности кресты нулями (табл. 1). Предположим, что цены одного часа 8 = 9 + 9 участников составляют:

62

\begin{array}{l} Q_{1} = Q_{2} = Q_{3} = 3, Q_{4} = Q_{5} = Q_{6} = 2, Q_{7} = Q_{8} = Q_{9} = 1, \\ P_{1} = P_{2} = P_{3} = 4, P_{4} = P_{5} = P_{6} = 3, P_{7} = P_{8} = P_{9} = 2 . \end{array}

63

Таблица 1. Исходные данные и рейтинговая матрица после первого шага (двойки стоят на месте решения)

64

	$b_{j} (1)$	1	1	1	1	1	1	1	1	1
$a_{i} (1)$	$i / j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	$Q_{i}$
1	1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	3
1	2	1	0	1	1	0	0	0	0	0	3
1	3	0	1	0	1	0	0	0	1	0	3
1	4	0	1	1	1	2	1	0	1	1	2
1	5	0	0	0	2	0	1	0	1	0	2
1	6	0	1	0	0	0	2	0	1	0	2
1	7	1	0	2	1	0	1	1	0	1	1
1	8	0	2	0	1	0	1	0	0	0	1
1	9	2	0	0	1	0	0	0	1	0	1
	$P_{j}$	4	4	4	3	3	3	2	2	2

65

Если построить ступенчатые графики спроса и предложения, равновесный объем определяется однозначно

V^{*} = 6

, а равновесная цена представляет отрезок

P^{*} = [2, 3]

. Оптимальный объем номинально не изменится, если цены пропорционально увеличить в 8 раз — до цены одного рабочего дня. Поскольку далее нам будут нужны только объемы в днях, то будем помнить, что они совпадают по значению с объемом в часах на рис. 1.

Если построить ступенчатые графики спроса и предложения, равновесный объем определяется однозначно 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>6</mn></math>
, а равновесная цена представляет отрезок 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>3</mn></mrow></mfenced></math>
. Оптимальный объем номинально не изменится, если цены пропорционально увеличить в 8 раз — до цены одного рабочего дня. Поскольку далее нам будут нужны только объемы в днях, то будем помнить, что они совпадают по значению с объемом в часах на рис. 1.

66

Рис. 1. Спрос и предложение на первом шаге

67

Равновесный объем обеспечивают последние 6 исполнителей и первые 6 заказчиков. Для определения начального максимального множества независимых клеток остается подматрица 6×6, стоящая в левом нижнем углу. Исходное решение легко находится непосредственно, например

x_{45} = x_{54} = x_{66} = x_{73} = x_{82} = x_{91} = 1 .

Это дает решение на первом шаге по времени

t = 1

в задаче на узкие места, причем минимальная эффективность по оптимальному плану назначений составит

m i n (1) = 1

. Соответствующие элементы матрицы эффективности увеличатся на единицу и примут значения 2.

Равновесный объем обеспечивают последние 6 исполнителей и первые 6 заказчиков. Для определения начального максимального множества независимых клеток остается подматрица 6×6, стоящая в левом нижнем углу. Исходное решение легко находится непосредственно, например 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>45</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>54</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>66</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>73</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>82</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>91</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></math>
 Это дает решение на первом шаге по времени 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
 в задаче на узкие места, причем минимальная эффективность по оптимальному плану назначений составит 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
. Соответствующие элементы матрицы эффективности увеличатся на единицу и примут значения 2.

68

Теперь можно смоделировать нетривиальное продолжение на шаге 2 динамической модели. Предположим, что

a_{7} (2) = a_{8} (2) = a_{9} (2) = 0;

b_{1} (2) = b_{2} (2) = b_{3} (2) = 0 .

Данные после второго шага представлены в табл. 2.

Теперь можно смоделировать нетривиальное продолжение на шаге 2 динамической модели. Предположим, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>7</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>
 Данные после второго шага представлены в табл. 2.

69

Таблица 2. Данные и рейтинговая матрица после второго шага (тройки стоят на месте решения)

70

	$b_{j} (2)$	0	0	0	1	1	1	1	1	1
$a_{i} (2)$	$i / j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	$Q_{i}$
1	1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	3
1	2	1	0	1	1	0	0	0	0	0	3
1	3	0	1	0	1	0	0	0	1	0	3
1	4	0	1	1	1	3	1	0	1	1	2
1	5	0	0	0	3	0	1	0	1	0	2
1	6	0	1	0	0	0	3	0	1	0	2
0	7	1	0	2	1	0	1	1	0	1	1
0	8	0	2	0	1	0	1	0	0	0	1
0	9	2	0	0	1	0	0	0	1	0	1
	$P_{j}$	4	4	4	3	3	3	2	2	2

71

Тогда, изобразив на графике (рис. 2) функцию спроса и предложения, убеждаемся, что

V^{*} = 3; P^{*} = [2, 3] .

Причем нужные объемы обеспечивают участники рынка

i, j = 4,5, 6 .

Тогда, изобразив на графике (рис. 2) функцию спроса и предложения, убеждаемся, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>3</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>
 Причем нужные объемы обеспечивают участники рынка 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>4,5</mn><mo>,</mo><mn>6</mn><mo>.</mo></math>

72

Рис. 2. Спрос и предложение на шаге 2

73

Теперь нужно взять соответствующую подматрицу и решить задачу о назначении с весами «1» в тех клетках, которые были выбраны на шаге 1. Решение этой задачи совпадет с сужением предыдущего решения на подматрицу

x_{54} = x_{45} = x_{66} = 1

. Соответствующие элементы увеличат эффективность до 3. Если теперь считать, что

a_{i} (t) \equiv b_{j} (t) \equiv 1

, то решение останется таким же, как на шаге 1 с минимальной эффективностью оптимального плана назначения

m i n (t) \equiv t - 1, t = 1, 2, . . . .

Теперь нужно взять соответствующую подматрицу и решить задачу о назначении с весами «1» в тех клетках, которые были выбраны на шаге 1. Решение этой задачи совпадет с сужением предыдущего решения на подматрицу 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>54</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>45</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>66</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math>
. Соответствующие элементы увеличат эффективность до 3. Если теперь считать, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>≡</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>≡</mo><mn>1</mn></math>
, то решение останется таким же, как на шаге 1 с минимальной эффективностью оптимального плана назначения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>≡</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo></math>

Теперь нужно взять соответствующую подматрицу и решить задачу о назначении с весами «1» в тех клетках, которые были выбраны на шаге 1. Решение этой задачи совпадет с сужением предыдущего решения на подматрицу <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>54</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>45</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>66</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math> . Соответствующие элементы увеличат эффективность до 3. Если теперь считать, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>≡</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>≡</mo><mn>1</mn></math> , то решение останется таким же, как на шаге 1 с минимальной эффективностью оптимального плана назначения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>≡</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo></math>

74

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

75

В настоящей работе предложена методология определения загрузки работ по исполнителям на рынке РПО, обеспечивающих стабилизацию планов назначения за счет уменьшения изменения этих планов. Показано, что задача определения оптимальных приращений планов сводится к задаче дискретного оптимального управления со свободным правым концом и может быть решена методом проекции градиента. Основным результатом работы является доказательство дифференцируемости показателя эффективности по приращениям для динамического расширения ТЗ с ФД. Установлено, что поставленная динамическая задача оптимизации инвестиций является выпуклой, откуда следует сходимость метода проекции градиента к множеству решений задачи. Приводится также приближенный алгоритм и модельный пример его использования для решения динамического расширения ЗН на УМ, основанный на решении текущей статической задачи с увеличением на единицу тех элементов матрицы эффективности, которые совпадают с соответствующими элементами матрицы оптимальных назначений, если отказаться от целочисленности матрицы назначений. Это эквивалентно рандомизации задачи о назначении, когда соответствующие назначения реализуются с определенными вероятностями, что позволяет определить погрешность приближенного алгоритма путем сравнения с точным решением, полученным градиентным методом при достаточно больших значениях штрафных констант.

76

Практическая значимость работы определяется применением в транзакционных платформах на рынке РПО для динамической загрузки заданий по терминологии, обоснованной в работе (Устюжанина, Дементьев, Евсюков, 2021). Построена динамическая модель загрузки заданий с двумя группами агентов — компаниями–разработчиками ПО и компаниями–заказчиками ПО, которые могут опередить свои резервные цены на рынке повременной аренды разработанного ПО в двухсекторной модели экономики (Васин, Морозов, 2005). Дискриминируемыми агентами являются компании–заказчики ПО, которые оплачивают услуги оператора платформы в виде процентных надбавок, включенных оператором в цену работы компаний–разработчиков По. Имеются в виду платформы-рынки, взаимодействие экономических агентов на которых имеет эпизодический характер разовых сделок. Предполагается удаленное взаимодействие, т.е. возможность коммуникации между агентами, находящимися на любом расстоянии друг от друга. Допускается возможность масштабирования, что означает теоретическое отсутствие ограничений для расширения поля взаимодействия (числа пользователей). Такое расширение возможно за счет перекрестного сетевого эффекта, когда численность одного вида пользователей влияет на численность другого вида (спрос порождает предложение, и наоборот). Предполагается возможность цифровых транзакционных платформ (ЦТП) влиять на объем коммуникаций через уровень и структуру цен. Исходя из базовых характеристик поля взаимодействия, платформа РПО относится к двусторонним рынкам. Для одноранговых ЦТП (Устюжанина, Дементьев, Евсюков, 2021), организующих торговые трансакции, непосредственными агентами являются поставщики (агенты, разрабатывающие ПО) и потребители (агенты, использующие разработанное ПО для повременной сдачи в аренду). Операторы платформы на рынке РПО могут получать доход в виде платы пользователей за покупку. Разработчики ПО имеют доход в виде платы за повременное пользование ПО в двухсекторной модели экономики (Васин, Морозов, 2005), цена которого определяет резервные цены потребителей.

Практическая значимость работы определяется применением в транзакционных платформах на рынке РПО для динамической загрузки заданий по терминологии, обоснованной в работе (Устюжанина, Дементьев, Евсюков, 2021). Построена динамическая модель загрузки заданий с двумя группами агентов — компаниями–разработчиками ПО и компаниями–заказчиками ПО, которые могут опередить свои резервные цены на рынке повременной аренды разработанного ПО в двухсекторной модели экономики (Васин, Морозов, 2005). Дискриминируемыми агентами являются компании–заказчики ПО, которые оплачивают услуги оператора платформы в виде процентных надбавок, включенных оператором в цену работы компаний–разработчиков По. Имеются в виду платформы-рынки, взаимодействие экономических агентов на которых имеет эпизодический характер разовых сделок. Предполагается удаленное взаимодействие, т.е. возможность коммуникации между агентами, находящимися на любом расстоянии друг от друга. Допускается возможность масштабирования, что означает теоретическое отсутствие ограничений для расширения поля взаимодействия (числа пользователей). Такое расширение возможно за счет перекрестного сетевого эффекта, когда численность одного вида пользователей влияет на численность другого вида (спрос порождает предложение, и наоборот). Предполагается возможность цифровых транзакционных платформ (ЦТП) влиять на объем коммуникаций через уровень и структуру цен. Исходя из базовых характеристик поля взаимодействия, платформа РПО относится к двусторонним рынкам. Для одноранговых ЦТП (Устюжанина, Дементьев, Евсюков, 2021),  организующих торговые трансакции, непосредственными агентами являются поставщики (агенты, разрабатывающие ПО) и потребители (агенты, использующие разработанное ПО для повременной сдачи в аренду). Операторы платформы на рынке РПО могут получать доход в виде платы пользователей за покупку. Разработчики ПО имеют доход в виде платы за повременное пользование ПО в двухсекторной модели экономики (Васин, Морозов, 2005), цена которого определяет резервные цены потребителей.

Практическая значимость работы определяется применением в транзакционных платформах на рынке РПО для динамической загрузки заданий по терминологии, обоснованной в работе (Устюжанина, Дементьев, Евсюков, 2021). Построена динамическая модель загрузки заданий с двумя группами агентов — компаниями–разработчиками ПО и компаниями–заказчиками ПО, которые могут опередить свои резервные цены на рынке повременной аренды разработанного ПО в двухсекторной модели экономики (Васин, Морозов, 2005). Дискриминируемыми агентами являются компании–заказчики ПО, которые оплачивают услуги оператора платформы в виде процентных надбавок, включенных оператором в цену работы компаний–разработчиков По. Имеются в виду платформы-рынки, взаимодействие экономических агентов на которых имеет эпизодический характер разовых сделок. Предполагается удаленное взаимодействие, т.е. возможность коммуникации между агентами, находящимися на любом расстоянии друг от друга. Допускается возможность масштабирования, что означает теоретическое отсутствие ограничений для расширения поля взаимодействия (числа пользователей). Такое расширение возможно за счет перекрестного сетевого эффекта, когда численность одного вида пользователей влияет на численность другого вида (спрос порождает предложение, и наоборот). Предполагается возможность цифровых транзакционных платформ (ЦТП) влиять на объем коммуникаций через уровень и структуру цен. Исходя из базовых характеристик поля взаимодействия, платформа РПО относится к двусторонним рынкам. Для одноранговых ЦТП (Устюжанина, Дементьев, Евсюков, 2021), организующих торговые трансакции, непосредственными агентами являются поставщики (агенты, разрабатывающие ПО) и потребители (агенты, использующие разработанное ПО для повременной сдачи в аренду). Операторы платформы на рынке РПО могут получать доход в виде платы пользователей за покупку. Разработчики ПО имеют доход в виде платы за повременное пользование ПО в двухсекторной модели экономики (Васин, Морозов, 2005), цена которого определяет резервные цены потребителей.

77

Следует отметить, что настоящая статья является продолжением серии статей (Перевозчиков, Лесик, 2014; Лесик, Перевозчиков, 2016, 2020) о динамическом расширении статических моделей рынка с рынка инвестиций на рынок разработки программного обеспечения и использует разработанный там инструментарий, который может служить фундаментальной основой для построения соответствующих цифровых платформ.

GOST	Lesik I., Perevozchikov A. Dynamic model of the software development market based on the assignment problem on pain points // Economics and the Mathematical Methods. – 2021. – V. 57. – Issue 4 C. 108-116 . URL: https://emmras.ru/dinamicheskaya-model-rynka-razrabotki-programmnogo-obespecheniya-na-osnove-zadachi-o-naznachenii-na-uzkie-mesta/?version_id=91511. DOI: 10.31857/S042473880017518-8
MLA	Lesik, Ilya, Perevozchikov, Aleksandr "Dynamic model of the software development market based on the assignment problem on pain points." Economics and the Mathematical Methods. 57.4 (2021).:108-116. DOI: 10.31857/S042473880017518-8
APA	Lesik I., Perevozchikov A. (2021). Dynamic model of the software development market based on the assignment problem on pain points. Economics and the Mathematical Methods. vol. 57, no. 4, pp.108-116 DOI: 10.31857/S042473880017518-8

References

Comments

References

Comments

Via social network