Minimization Method for Solution of Transport and Economic Problem

Churin, Yury

doi:10.31857/S042473880006777-3

1

Постановка задачи. На транспортной магистрали (железная дорога, шоссе, река и т.п.) расположены производственные предприятия, продукцию которых необходимо доставлять для дальнейшей переработки на предприятие, располагающееся на этой же магистрали. Требуется определить местоположение этого предприятия, исходя из условия наименьших транспортных расходов.

2

Подобная задача может возникнуть при определении расположения на данной магистрали электростанции, снабжающей энергией предприятия, находящиеся на этой же магистрали (при условии передачи энергии по линии, совпадающей с этой магистралью).

3

При подготовке материала статьи был обследован большой объем литературных источников, но ни в учебной литературе, ни в справочной и специальной подобная методика исследования функций такого вида отсутствует.

4

В общем виде формулировка такой задачи состоит в следующем. В n-мерном эвклидовом пространстве задана несамопересекающаяся сплошная линия L, имеющая начальную точку

M_{0}

, направление отсчета и масштаб (обобщение понятия «числовая ось»), и множество n точек М_iL (i =1,…,n). Положение каждой точки определяется координатой х_i, которая равна длине дуги

L = \hat{M_{0} M_{i}}

,

x_{1} < \dots < x_{n}

. Расстояние между двумя смежными точками

\hat{M_{i} {M_{i}}_{+ 1}} = x_{i + 1} - x_{i}

. Каждой точке

x_{i}

x_{i}

сопоставлено число

a_{i} > 0

a_{i} >0

, которое применительно к приведенной выше формулировке условия задачи определяет или стоимость транспортировки объема производимой за данный период предприятием i продукции, или стоимость его энергоснабжения, отнесенной к единице пути доставки, на перерабатывающее (энергоснабжающее) предприятие. Тогда если обозначить через х координату на линии L этого предприятия, число

a_{i} |x - x_{i}|

будет стоимостью транспортировки продукции предприятия i в точку х. Требуется найти на линии L точку xL, в которой функция

F (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} |x - x_{i}|

принимает свое наименьшее значение.

В общем виде формулировка такой задачи состоит в следующем. В n-мерном эвклидовом пространстве задана несамопересекающаяся сплошная линия L, имеющая начальную точку 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, направление отсчета и масштаб (обобщение понятия «числовая ось»), и множество n точек МiL (i =1,…,n). Положение каждой точки определяется координатой хi, которая равна длине дуги 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mo>^</mo></mover></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>&lt;</mo><mo>…</mo><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math>
. Расстояние между двумя смежными точками 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
. Каждой точке 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mtext>x</mtext></mrow><mrow><mtext>i</mtext></mrow></msub></math>
 сопоставлено число 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mtext>a</mtext></mrow><mrow><mtext>i</mtext></mrow></msub><mtext>&gt;0</mtext></math>
, которое применительно к приведенной выше формулировке условия задачи определяет или стоимость транспортировки объема производимой за данный период предприятием i продукции, или стоимость его энергоснабжения, отнесенной к единице пути доставки, на перерабатывающее (энергоснабжающее) предприятие. Тогда если обозначить через х координату на линии L этого предприятия, число 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 будет стоимостью транспортировки продукции предприятия i в точку х. Требуется найти на линии L точку xL, в которой функция 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow></math>
 принимает свое наименьшее значение.

В общем виде формулировка такой задачи состоит в следующем. В n-мерном эвклидовом пространстве задана несамопересекающаяся сплошная линия L, имеющая начальную точку <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> , направление отсчета и масштаб (обобщение понятия «числовая ось»), и множество n точек МiL (i =1,…,n). Положение каждой точки определяется координатой хi, которая равна длине дуги <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>L</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mo>^</mo></mover></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo><</mo><mo>…</mo><mo><</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> . Расстояние между двумя смежными точками <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> . Каждой точке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mtext>x</mtext></mrow><mrow><mtext>i</mtext></mrow></msub></math> сопоставлено число <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mtext>a</mtext></mrow><mrow><mtext>i</mtext></mrow></msub><mtext>>0</mtext></math> , которое применительно к приведенной выше формулировке условия задачи определяет или стоимость транспортировки объема производимой за данный период предприятием i продукции, или стоимость его энергоснабжения, отнесенной к единице пути доставки, на перерабатывающее (энергоснабжающее) предприятие. Тогда если обозначить через х координату на линии L этого предприятия, число <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> будет стоимостью транспортировки продукции предприятия i в точку х. Требуется найти на линии L точку xL, в которой функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow></math> принимает свое наименьшее значение.

5

Естественно, что такая задача при небольшом n может быть решена путем непосредственного подсчета значений функции

F (x)

в заданных точках. Если же число точек достаточно велико, такой подсчет требует много времени и целесообразно использовать предлагаемую ниже методику.

6

Сначала был рассмотрен более простой случай, когда все числа

a_{i}

равны единице, т. е. исследована функция

f (x) = \sum_{i = 1}^{n} |x - x_{i}|

, минимум которой точка, сумма расстояний от которой до данных точек имеет наименьшее значение. Очевидно, что для упрощения решения такой задачи и с целью наглядности линия L может быть представлена прямой (развернута в прямую), что, естественно, не может повлиять на ход исследования и выводы. Тогда функция

f (x)

в области

[x_{1}; x_{n}]

кусочно-линейна, непрерывна и не дифференцируема в точках

x_{i}

. Исследование других свойств для произвольного числа n точек оказалось объемным, и его нецелесообразно помещать в статью.

Сначала был рассмотрен более простой случай, когда все числа 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 равны единице, т. е. исследована функция 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow></math>
, минимум которой точка, сумма расстояний от которой до данных точек имеет наименьшее значение. Очевидно, что для упрощения решения такой задачи и с целью наглядности линия L может быть представлена прямой (развернута в прямую), что, естественно, не может повлиять на ход исследования и выводы. Тогда функция 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>
 в области 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 кусочно-линейна, непрерывна и не дифференцируема в точках 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
. Исследование других свойств для произвольного числа n точек оказалось объемным, и его нецелесообразно помещать в статью.

Сначала был рассмотрен более простой случай, когда все числа <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> равны единице, т. е. исследована функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow></math> , минимум которой точка, сумма расстояний от которой до данных точек имеет наименьшее значение. Очевидно, что для упрощения решения такой задачи и с целью наглядности линия L может быть представлена прямой (развернута в прямую), что, естественно, не может повлиять на ход исследования и выводы. Тогда функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math> в области <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> кусочно-линейна, непрерывна и не дифференцируема в точках <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> . Исследование других свойств для произвольного числа n точек оказалось объемным, и его нецелесообразно помещать в статью.

7

Далее необходимо определить и сравнить угловые коэффициенты

k_{i;_{} i + 1}

функции

f (x)

на частичных интервалах

[x_{i}; x_{i + 1}], i = 1, \dots, n

(при

n > 3

):

Далее необходимо определить и сравнить угловые коэффициенты 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><msub><mrow><mo>;</mo></mrow><mrow/></msub><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 функции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>
 на частичных интервалах 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></math>
 (при 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>&gt;</mo><mn>3</mn></math>
):

8

k_{1,2} = (f (х_{2}) - f (х_{1})) / (х_{2} - х_{1}), . . ., k_{n - 1, n} = (f (х_{n}) - f (х_{n - 1})) / (х_{n} - х_{n - 1}),

9

где

f (x_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} |x_{j} - x_{i}|, j = 1, . . ., n .

Анализ значений угловых коэффициентов показал следующее.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>.</mo></math>
 Анализ значений угловых коэффициентов показал следующее.

10

При любом нечетном n имеем

|k_{1,2}| = |k_{n - 1, n}|

; при этом

k_{1,2} < 0, k_{n - 1, n} > 0

;

|k_{3,2}| = |k_{n - 2, n - 1}|

;

k_{3,2} < 0,

k_{n - 2, n - 1} > 0; . . .

. Очевидно, что на некоторой части интервала

[1; n]

функция

f (x)

убывает, а на другой возрастает. Нарушение условия монотонности происходит в точке

{\bar{x}}_{_{i}},

i=0,5(n + 1). Эта точка делит ряд

\sum_{i = 1}^{n} x_{i}

на две части с одинаковым числом членов в каждой части (т.е. является медианой этого ряда) и является точкой минимума функции

f (x)

.

При любом нечетном n имеем 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
; при этом 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow></msub><mo>&lt;</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>3,2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>3,2</mn></mrow></msub><mo>&lt;</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></math>
. Очевидно, что на некоторой части интервала 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi></mrow></mfenced></math>
 функция 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>
 убывает, а на другой возрастает. Нарушение условия монотонности происходит в точке
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 i=0,5(n + 1). Эта точка делит ряд 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></math>
 на две части с одинаковым числом членов в каждой части (т.е. является медианой этого ряда) и является точкой минимума функции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>
.

При любом нечетном n имеем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> ; при этом <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow></msub><mo><</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn></math> ; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>3,2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> ; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>3,2</mn></mrow></msub><mo><</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></math> . Очевидно, что на некоторой части интервала <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi></mrow></mfenced></math> функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math> убывает, а на другой возрастает. Нарушение условия монотонности происходит в точке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo></math> i=0,5(n + 1). Эта точка делит ряд <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></math> на две части с одинаковым числом членов в каждой части (т.е. является медианой этого ряда) и является точкой минимума функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math> .

11

При четном n на интервале

[x_{n / 2}; x_{n / 2 + 1}]

функция

f (x)

постоянна и в любой его точке принимает наименьшее значение.

12

Результаты исследования представлены на рис. 1, где показаны 2 интервала

([x_{i}; x_{i + 1}] (i < 0,5 (n + 1))

и

[x_{n - i - 1}; x_{n - i}] (i > 0,5 (n + 1)))

и элементы графика

f (x)

, одной из особенностей которых является равенство углов

α_{i}

и

α_{n - i}

(i =1,…, n–1).

Результаты исследования представлены на рис. 1, где показаны 2 интервала 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced close="" separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>&lt;</mo><mn>0,5</mn><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="" separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>&gt;</mo><mn>0,5</mn><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
 и элементы графика 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>
, одной из особенностей которых является равенство углов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 (i =1,…, n–1).

Результаты исследования представлены на рис. 1, где показаны 2 интервала <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced close="" separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo><</mo><mn>0,5</mn><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="" separators="|"><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>></mo><mn>0,5</mn><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> и элементы графика <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math> , одной из особенностей которых является равенство углов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>i</mi></mrow></msub></math> (i =1,…, n–1).

13

Приведем конкретные примеры, иллюстрирующие результаты исследования.

14

Рис. 1. Элементы графика функции y = f(x)

15

Рис. 2. График функции f(x) к примеру 1Рис. 3. График функции f(x) к примеру 2

16

Пример 1 (рис. 2).

17

I	1	2	3	4	5
x_i	0	1	2	5	6
f(x_i)	14	11	10	13	16

x_{1} = 0; x_{2} = 1; x_{3} = 2; x_{4} = 5; x_{5} = 6; n = 5;

f (x) = x + |x - 1| + |x - 2| + |x - 5| + |x - 6| .

18

Точка минимума

\bar{x} = 2; f (2) = 10

.

19

Пример 2 (рис. 3).

20

I	1	2	3	4
x_i	0	1	3	8
f(x_i)	12	10	10	20

x_{1} = 0; x_{2} = 1; x_{3} = 3; x_{4} = 8; n = 4;

f (x) = x + |x - 1| + |x - 3| + |x - 8|

21

Точки минимума принадлежит отрезку

[1; 3]; f_{m i n} = 10 .

22

Когда анализируется функция

F (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} |x - x_{i}|

, решение в общем виде представляет большие сложности и целесообразно применить следующие соображения. Сначала следует найти точку минимума функции

\bar{F} (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} {(x - x_{i})}^{2},

которая имеет единственную точку минимума, расположенную достаточно близко к точке мнимума функции F(x).

Когда анализируется функция 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow></math>
, решение в общем виде представляет большие сложности и целесообразно применить следующие соображения. Сначала следует найти точку минимума функции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="false"><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>¯</mo></mover><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo>,</mo></math>
 которая имеет единственную точку минимума, расположенную достаточно близко к точке мнимума функции F(x).

23

Затем, приравнивая к нулю производную

\bar{F} (x)

, получаем ее критическую точку:

\bar{x} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} / \sum_{i = 1}^{n} a_{i},

которая определяет единственную точку минимума функции

\bar{F} (x)

, так как

{\bar{F}}^{″} (x) = 2 \sum_{i = 1}^{n} a_{i} > 0

. В общем случае точка

\bar{x}

может не совпадать с минимумом функции F(x), но может служить ее первым приближением.

Затем, приравнивая к нулю производную 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="false"><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>¯</mo></mover><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>
, получаем ее критическую точку: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>/</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>,</mo></math>
 которая определяет единственную точку минимума функции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="false"><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>¯</mo></mover><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>
, так как 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mo>″</mo></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>2</mn><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
. В общем случае точка 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math>
 может не совпадать с минимумом функции F(x), но может служить ее первым приближением.

Затем, приравнивая к нулю производную <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="false"><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>¯</mo></mover><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math> , получаем ее критическую точку: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>/</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>,</mo></math> которая определяет единственную точку минимума функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="false"><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>¯</mo></mover><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math> , так как <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mo>″</mo></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>2</mn><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>></mo><mn>0</mn></math> . В общем случае точка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> может не совпадать с минимумом функции F(x), но может служить ее первым приближением.

24

Дальнейшие соображения основаны на изложенном выше решении задачи для функции

f (x) = \sum_{i = 1}^{n} |x - x_{i}| .

Для определения искомой точки следует найти значение функции F(x) в двух соседних точках слева и справа от

\bar{x}

:

x_{i} < \bar{x} < x_{i + 1}

.

Дальнейшие соображения основаны на изложенном выше решении задачи для функции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>.</mo></math>
 Для определения искомой точки следует найти значение функции F(x) в двух соседних точках слева и справа от 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math>
: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>&lt;</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math>
.

25

Если

F (x_{i}) = F (x_{i + 1})

, очевидно, что

\bar{x}

является точкой, принадлежащей интервалу минимизации

F (x) : [x_{i}; {x_{i}}_{+ 1}]

. Если

F (x_{i}) < F_{i + 1}

, следует найти

F (x_{i - 1})

. Если

F ({x_{i}}_{- 1}) < F (x_{i})

, надо вычислить

F ({x_{i}}_{- 2})

и т.д. пока значения

F (x)

не начнут возрастать, т.е. будет выполняться условие

F (x_{k - 1}) > F (x_{k}) < F (x_{k + 1})

. Тогда

x_{k}

— точка минимума (при нечетном n). Если на очередном шаге

F (x_{k - 1}) = F (x_{k})

, то

[x_{k - 1}; x_{k}]

будет интервалом минимизации

F (x)

(при четном n). Если это условие не будет иметь места, точкой минимума

F (x)

будет

x_{k}

. При

F (x_{i}) > F (x_{i + 1})

следует поступать аналогично, но двигаться вправо от точки

x_{i}

.

Если 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
, очевидно, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math>
 является точкой, принадлежащей интервалу минимизации 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>:</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
. Если 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math>
, следует найти 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
. Если 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>&lt;</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
, надо вычислить 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 и т.д. пока значения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>
 не начнут возрастать, т.е. будет выполняться условие 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>&gt;</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>&lt;</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
. Тогда 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 — точка минимума (при нечетном n). Если на очередном шаге 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
, то 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 будет интервалом минимизации 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>
 (при четном n). Если это условие не будет иметь места, точкой минимума 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>
 будет 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
. При 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>&gt;</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 следует поступать аналогично, но двигаться вправо от точки 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
.

Если <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> , очевидно, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> является точкой, принадлежащей интервалу минимизации <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>:</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> . Если <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo><</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math> , следует найти <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> . Если <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo><</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> , надо вычислить <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> и т.д. пока значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math> не начнут возрастать, т.е. будет выполняться условие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>></mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo><</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> . Тогда <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> — точка минимума (при нечетном n). Если на очередном шаге <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> , то <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> будет интервалом минимизации <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math> (при четном n). Если это условие не будет иметь места, точкой минимума <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></math> будет <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> . При <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>></mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> следует поступать аналогично, но двигаться вправо от точки <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> .

26

Для наглядности приведем примеры и графики функции

F (x)

.

27

Пример 3 (рис. 4).

28

i	1	2	3	4	5
a_i	5	1	1	1	1
x_i	0	1	2	5	6

F (x) = 5 |x - 0| + 1 |x - 1| + 1 |x - 2| + 1 |x - 5| + 1 |x - 6|

,

\bar{x} = (5 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 5 + 1 \times 6) / (5 + 1 + 1 + 1 + 1) = 1 .

29

F(1)=15; F(2)=18; F(0)=14. Искомая точка x=0.

30

Пример 4 (рис. 5).

31

i	1	2	3	4	5
a_i	1	1	1	1	5
x_i	0	1	2	5	6

F (x) = x + |x - 1| + |x - 2| + |x - 5| + 5 |x - 6|,

\bar{x} = (1 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 5 + 5 \times 6) / (1 + 1 + 1 + 1 + 5) = 4,

32

F(2)=26; F(5)=17; F(6)=16. Искомая точка: x=6.

33

Рис. 4. График F(x) к примеру 3 [[[image6]]]Рис. 5. График F(x) к примеру 4

34

Пример 5 (рис. 6).

35

i	1	2	3	4	5
a_i	1	1	1	5	1
x_i	0	1	2	5	6

F (x) = |x| + |x - 1| + |x - 2| + 5 |x - 5| + |x - 6|

,

\bar{x} = (1 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 2 + 5 \times 5 + 1 \times 6) / (1 + 1 + 1 + 5 + 1) = 3 .

36

F(2)=22; F(5)=13; F(6)=20. Искомая точка: x=5.

37

Пример 6 (рис. 7).

38

i	1	2	3	4
a_i	3	1	1	3
x_i	0	1	2	8

F (x) = 3 |x| + |x - 1| + |x - 2| + 3 |x - 8|,

\bar{x} = 3,375

39

F(2)=25; F(8)=37; F(1)=25; F(0)=27. Следовательно, F(x) имеет интервал минимизации

[1; 2] .

40

Рис. 6. График F(x) к примеру 5 [[[image8]]] Рис. 7. График F(x) к примеру 6

41

Пример 7 (рис. 8).

42

i	1	2	3	4
a_i	1	5	1	1
x_i	0	1	2	5
F(x)	12	6	10	28

F (x) = |x| + 5 |x - 1| + |x - 2| + |x - 5|,

\bar{x} = 1,5 .

43

F(1)=6; F(2)=10; F(0)=12. Следовательно, F(x) имеет наименьшее значение при x=1.

44

Рис. 8. График F(x) к примеру 7

45

Как видно из примера 7, при четном n функция F(x) (в отличие от функции f(x)) может иметь только одну точку, где она принимает наименьшее значение (пример 6). Остальные свойства ее такие же, как у функции f(x).

46

Дополнительно проведенные расчеты показали, что поиск точки минимума функции F(x), исходя из найденного значения точки минимума функции

\bar{F} (x)

, требует, как правило, не более 3–4 шагов, что в случае большего числа точек

х_{i}

существенно сокращает объем вычислений при определении значений функции F(x) в каждой точке.

47

Таким образом, в результате исследования получен простой метод, не требующий большого объема вычислений, при решении важных хозяйственных задач на транспорте с наименьшими материальными затратами.

GOST	Churin Y. Minimization Method for Solution of Transport and Economic Problem // Economics and the Mathematical Methods. – 2019. – V. 55. – Volume 55 issue 4 C. 117-123 . URL: https://emmras.ru/metod-minimizacii-pri-reshenii-transportno-ekonomicheskoy-zadachi/?version_id=10547. DOI: 10.31857/S042473880006777-3
MLA	Churin, Yury "Minimization Method for Solution of Transport and Economic Problem." Economics and the Mathematical Methods. 55.4 (2019).:117-123. DOI: 10.31857/S042473880006777-3
APA	Churin Y. (2019). Minimization Method for Solution of Transport and Economic Problem. Economics and the Mathematical Methods. vol. 55, no. 4, pp.117-123 DOI: 10.31857/S042473880006777-3

Comments

Via social network