Верхняя граница коэффициентов годности подержанных машин

Смоляк Сергей А.

doi:10.31857/S042473880012431-3

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

В этой заметке рассматривается одна из задач стоимостной оценки массово производимых машин и оборудования (далее — машин) определенной марки (модели, модификации). Техническое состояние всех новых (выпущенных, но еще не введенных в эксплуатацию) машин этой марки одинаково, но в процессе эксплуатации оно ухудшается — процесс такого ухудшения обычно именуется износом (или изнашиванием).

При оценке рыночной стоимости (далее — стоимости) машины принимается, что она используется по назначению типичным для рынка рациональным способом: производит какой-то продукт (товар, работу или услугу), необходимый участникам рынка, и потребляет необходимые для этого материальные и трудовые ресурсы. Стоимость производимого в малую единицу времени продукта за вычетом стоимости потребляемых при этом ресурсов отражает интенсивность генерируемых машиной чистых доходов (ИЧД).

В процессе эксплуатации возможен (катастрофический, в технической литературе — ресурсный) отказ машины, после которого она утилизируется (выбывает из эксплуатации). Интенсивность таких отказов (которая с возрастом может меняться) обычно определяют по данным ускоренных испытаний или наблюдений за эксплуатируемыми машинами. В то же время утилизации подлежат и машины, оказавшиеся в плохом (в технической литературе — предельном) техническом состоянии. При утилизации владелец получает некоторый доход от продажи лома и годных остатков, но несет определенные расходы (например, на демонтаж и доставку лома и годных остатков покупателям). Получаемый владельцем при рационально проведенной утилизации чистый доход¹ — утилизационная стоимость машины — обычно незначителен. Отметим, что рыночная стоимость любой машины не меньше ее утилизационной стоимости.

1. У машин, производящих продукт, обращающийся на рынке, или сдаваемых в аренду, этот показатель близок по величине и содержанию к прибыли до начисления амортизации и уплаты налогов (Earnings before interest, taxes, depreciation and amortization, EBITDA).

Поскольку все новые машины идентичны, их стоимость оценивают по данным о ценах производителей или дилеров. Однако оценивать подержанную машину исходя из цен ее аналогов затруднительно, поскольку все подержанные машины эксплуатировались по-разному и не всегда рационально, так что их техническое состояние различается. Практически стоимость подержанной машины оценивают умножая стоимость новой машины той же марки на понижающий коэффициент годности, нередко выражаемый в процентах (percent good factor, PGF), учитывающий износ оцениваемой машины (российские оценщики чаще уменьшают стоимость новой машины на процент износа, что эквивалентно). Чаще всего значения коэффициентов годности связываются с возрастом машины, для чего в литературе предложено много таблиц и формул (см., например, (Федотова, 2018; Лейфер, 2007, 2019; 2019 Cost index..., 2019; Personal property depreciation..., 2019)). В связи с этим представляет интерес установить точную верхнюю границу для этих коэффициентов. Для этого мы используем модель зависимости стоимости машины от возраста, предложенной в (Смоляк, 2016).

МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТОИМОСТИ МАШИНЫ

В модели для определения стоимости машины ее техническое состояние на дату оценки характеризуется возрастом машины (t). Поэтому стоимость, интенсивность отказов и ИЧД являются функциями возраста — соответственно V(t), t и b(t). Функцией возраста будет и коэффициент годности машины k(t)=V(t)/V(0). Поскольку с возрастом техническое состояние машины не улучшается, функция b(t) — невозрастающая, и мы считаем ее непрерывной слева. Принимается, что утилизационная стоимость машины U не зависит от ее возраста, а плохому техническому состоянию отвечает некоторый возраст T (предельный возраст, назначенный срок службы). Таким образом, машина, дожившая до возраста T, утилизируется.

Согласно методу дисконтированного денежного потока (International valuation standards 2017, IVS 105, para 50) стоимость машины равна ожидаемой сумме дисконтированных чистых доходов от ее рациональной эксплуатации в некотором периоде времени и стоимости машины в конце периода. Применим это к машине возраста t<T и малому периоду dt после даты оценки и учтем, что в этом периоде:

с вероятностью tdt произойдет отказ машины, тогда машина должна утилизироваться, принеся владельцу чистый доход U; с вероятностью 1–tdt машина будет использоваться по назначению и принесет за период чистый доход b(t)dt. Кроме того, в конце периода возраст машины составит t+dt и, поскольку инфляция отсутствует, ее стоимость будет такой же, как у машины возраста t+dt на дату оценки, т.е. V(t+dt).

Отсюда вытекает, что (с точностью до малых более высокого порядка)

$V (t) = U λ (t) d t + [b (t) d t + (1 - r d t) V (t + d t)] [1 - λ (t) d t],$ (1)

где r — рыночная ставка дисконтирования (эта ставка — безрисковая и доналоговая, поскольку применяется к доналоговым чистым доходам, в которых учтен риск отказов).

Введем обозначения:

$Ω (z) = \int_{0}^{z} [λ (x) + r] d x, J (z) = \int_{z}^{T} e^{- Ω (s)} d s, K (t) = e^{Ω (t)} J (t) / J (0) .$

Преобразуя (1), получаем уравнение $V' (t) - [λ (t) + r] V (t) + λ (t) U + b (t) = 0 .$ Его решением с краевым условием V(T)=U будет

$V (t) = U + \int_{t}^{T} [b (z) - r U] e^{Ω (t) - Ω (z)} d z .$ (2)

Из (2) следует, что b(T)> rU, иначе у машин возраста немного меньшего T стоимость будет меньше U, чего не может быть.

Заметим, кстати, что формально равенство (2) справедливо только для машин. Однако построенная модель применима и к некоторым типам зданий и сооружений, имеющих определенное функциональное назначение, у которых с возрастом эксплуатационные характеристики имеют тенденцию к ухудшению.

Обычно у оценщиков нет информации об ИЧД у машин разного возраста. Поэтому прямо применить формулу (2) для оценки подержанной машины не удается. Правда, можно задать ту или иную динамику функции b(t) и получить отвечающую ей зависимость k(t) — такой подход рассматривался в (Смоляк, 2016). Однако функциям b(t) с разной динамикой будут отвечать и разные коэффициенты k(t). Ниже мы даем выражение для их верхней границы.

Теорема. При наших предположениях имеет место неулучшаемая оценка

$k (t) \leq u + (1 - u) K (t),$ (3)

где u=U/V(0) — относительная утилизационная стоимость машин.

Доказательство. Положим k₀(t)=[V(t) – U]/[V(0) – U]. Тогда в силу (2) имеем $k_{0} (t) = e^{Ω (t)} Y / (X + Y)$ , где $X = \int_{0}^{t} [b (z) - r U] e^{- Ω (z)} d z, Y = \int_{t}^{T} [b (z) - r U] e^{- Ω (z)} d z .$ Но функция b(t)–rU неотрицательная и невозрастающая, поэтому

$X = \int_{0}^{t} [b (z) - r U] e^{- Ω (z)} d z \geq [b (t) - r U] \int_{0}^{t} e^{- Ω (z)} d z = [b (t) - r U] [J (0) - J (t)],$

$Y = \int_{t}^{T} [b (z) - r U] e^{- Ω (z)} d z \leq [b (t) - r U] \int_{t}^{T} e^{- Ω (z)} d z = [b (t) - r U] J (t) .$

Учитывая, что k₀(t) возрастает по Y и убывает по X, отсюда следует, что

$k_{0} (t) \leq \frac{e^{Ω (t)} J (t)}{[J (0) - J (t)] + J (t)} = e^{Ω (t)} \frac{J (t)}{J (0)} = K (t) .$

Утверждение теоремы получается отсюда, поскольку $k (t) \leq u + (1 - u) k_{0} (t)$ . Легко увидеть, что полученная оценка неулучшаема, так как равенство k₀(t)=K(t) достигается для функций b(s), постоянных на отрезке [0,T]. ■

К доказанной теореме следует добавить несколько важных комментариев.

Нетрудно убедиться, что K′(0)<0, поэтому и k′(0)<0. Между тем, некоторые оценщики считают, что график функции k(t) при t=0 имеет горизонтальную касательную, либо (как, например, в (Цуканов, 2013; Patry, 2007)) предлагают описывать зависимость k(t) функциями, имеющими это свойство.

Установление зависимостей стоимости конкретных видов машин от возраста является актуальной задачей. Нередко такие зависимости описываются формулами и таблицами, но, как показывает анализ в (Смоляк, 2016), при этом неравенство (3) выполняется отнюдь не всегда.

Величина K(t) отражает максимально возможный коэффициент годности машин с нулевой утилизационной стоимостью. Из доказанной теоремы при отсутствии отказов следует, что $K (t) = (1 - e^{- λ (T - t)}) / (1 - e^{- λ T})$ (для этого случая теорема доказана в (Смоляк, 2016)). В (Ковалев и др., 2003; Трифонов, 2013) и ряде других публикаций именно такую функцию K(t), по существу, предлагается использовать для нахождения коэффициентов годности любых зданий и машин, что, по нашему мнению, неправомерно (о том же говорится и в (Лейфер, 2007)).

Легко проверить, что если интенсивность отказов не зависит от возраста, то (s)=(+r)s и $K (t) = (1 - e^{- (λ + r) (T - t)}) / (1 - e^{- (λ + r) T})$ . Это согласуется с общепринятой у оценщиков практикой учета риска путем увеличения ставки дисконтирования. Однако такой прием оказывается некорректным, если риск отказа машины зависит от ее возраста. Так, при линейной зависимости t)=+t будет

$K (t) = e^{(r + λ) t + 0,5 μ t^{2}} [Φ (\frac{r + λ + μ T}{\sqrt{μ}}) - Φ (\frac{r + λ + μ t}{\sqrt{μ}})] / [Φ (\frac{r + λ + μ T}{\sqrt{μ}}) - Φ (\frac{r + λ}{\sqrt{μ}})],$

где  — функция стандартного нормального распределения.

Как мы видим, зависимость надежности машины от возраста уже нельзя учесть путем корректировки ставки дисконтирования.

ГОСТ	Смоляк С. А. Верхняя граница коэффициентов годности подержанных машин // Экономика и математические методы. – 2020. – T. 56. – Номер 4 C. 99-102 . URL: https://emmras.ru/s042473880012844-7-1/?version_id=55827. DOI: 10.31857/S042473880012431-3
MLA	Smolyak, Sergey "Least upper bound of percent good factors of used machinery items." Economics and the Mathematical Methods. 56.4 (2020).:99-102. DOI: 10.31857/S042473880012431-3
APA	Smolyak S. (2020). Least upper bound of percent good factors of used machinery items. Economics and the Mathematical Methods. vol. 56, no. 4, pp.99-102 DOI: 10.31857/S042473880012431-3

Верхняя граница коэффициентов годности подержанных машин

Вы можете

Библиография

Верхняя граница коэффициентов годности подержанных машин

Вы можете

Библиография

Войти через