Method for assessing the results of hierarchical socio-economic systems’ functioning based on the aggregated production function

Zhukov, Roman

doi:10.31857/S042473880016428-9

1

1. ВВЕДЕНИЕ

2

Оценка состояния регионов, особенностей их функционирования, устойчивости к воздействию внешних негативных факторов требует развития действующих подходов, построения уточненных или создания новых моделей. Регион можно рассматривать как иерархическую социально-экономическую систему (ИСЭС). Изучение функционирования ИСЭС и ее элементов может быть осуществлено через призму их признаковых описаний. Выбор описаний зависит от принятой системы взглядов субъекта исследования, а также от экспертных заключений относительно объекта и предмета исследования (Айвазян, 2012).

3

Индикатор оценки, который является количественным отражением цели, должен учитывать соответствие полученного результата и норматива, например показатель технической эффективности (Айвазян, Афанасьев, 2014). В рамках исследования представлено развитие авторской методологии оценки результатов функционирования сложных систем (Жуков, 2019б), базирующейся на построении агрегированной производственной функции для подсистем ИСЭС.

4

Цель исследования — разработка метода оценки результатов функционирования ИСЭС и параметров агрегированной производственной функции, которая используется при вычислении соответствующих индикаторов оценки. Основными задачами исследования являются:

5

построение алгоритмов оценки параметров производственных функций (ПФ) и агрегированной производственной функции (АПФ) с применением плотности распределения вероятностей;
тестирование метода и вычисление интегральных показателей результатов функционирования подсистем ИСЭС на примере областей Центрального федерального округа (ЦФО) с использованием ПФ и АПФ.

6

2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

7

Теория и методология построения иерархических структур базируется на работах (Месаровича, Мако, Такахара, 1973; Саати, 1993), а описание иерархии может быть осуществлено, например, с системных позиций (Клейнер, 2015).

8

Многообразие подходов к изучению систем определяет множественность их классификаций (например, классификация по разделам ОКВЭД, секторальная классификация (Колесников, Толстогузов, 2016), пространственно-временная классификация (Клейнер, 2016)).

9

Выбор признаков и индикаторов оценки для изучения ИСЭС, в том числе на региональном уровне, в большинстве случаев определяется самим автором либо в соответствии с принятыми и признанными индикаторами оценки объекта исследования (Айвазян, Афанасьев, Кудров, 2016). При этом используют абсолютные и относительные характеристики, темпы роста и т.п.

10

Для интегральной оценки функционирования ИСЭС применяют:

11

методы усреднения частных индикаторов;
метод анализа среды функционирования (Кривоножко, Лычев, 2010);
компонентный анализ (Макаров и др., 2014; Айвазян, Афанасьев, Кудров, 2018; и др.).

12

Для оценки результатов функционирования ИСЭС используют модели различной функциональной формы (Sayaria, Saria, Hammoudehb, 2018; Макаров и др., 2016; Афанасьев, Воронцов, 2018; Афанасьев, Пономарева, 2020), а для оценки параметров модели — ряд методов, среди которых обычный (OLS) и обобщенный методы наименьших квадратов (GLS), а также метод максимального правдоподобия (MLE), последний из которых, в рамках исследования, представляет особый интерес.

13

3. МЕТОДОЛОГИЯ И ДАННЫЕ

14

В качестве исходной методологии применяется авторская методология оценки результатов функционирования иерархических социально-экономических систем, включающая в себя формализованное описание ИСЭС и конструирование частных и интегральных показателей результативности, эффективности и гармоничности (Жуков, 2019a). Некоторые ее приложения отражены в ряде работ, например (Жуков, 2020б; Zhukov et al., 2019).

15

В рамках исследования будем рассматривать только один уровень ИСЭС — региональный. Под элементом региона k будем понимать совокупность экономических единиц — институциональных единиц–резидентов региона (в терминологии СНС), деятельность которых соответствует одному из разделов ОКВЭД.

16

Под подсистемой будем понимать совокупность элементов, сгруппированных в соответствии с возможными классификациями:

17

пространственно-временная (объект, среда, процесс, проект);
секторальная (сырьевой сектор, сектор обрабатывающих производств и т.д.);
местоположения (согласно административно-территориальному делению) и т.д.

18

Примером пространственно-временной классификации может служить совокупность элементов, которые формируют результаты экономической деятельности по разделам C, D и E и входят в состав объектной региональной подсистемы (Клейнер, Рыбачук, 2019, с. 313).

19

Пусть каждая подсистема k ИСЭС имеет набор признаков 3 типов:

20

1) результативный признак

y_{i, k} (t)

— фактический результат функционирования подсистемы в период времени

t

,

t = 1, . . ., T

,

T

— число периодов,

i = 1, . . ., I

,

I

— число результативных признаков, совпадающее с числом элементов, входящих в состав подсистемы. В качестве результативных признаков выбраны объемы валового регионального продукта (ВРП) для разделов по ОКВЭД (C, D и E);

1) результативный признак 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 — фактический результат функционирования подсистемы в период времени 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>T</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>T</mi></math>
 — число периодов, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>I</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>I</mi></math>
 — число результативных признаков, совпадающее с числом элементов, входящих в состав подсистемы. В качестве результативных признаков выбраны объемы валового регионального продукта (ВРП) для разделов по ОКВЭД (C, D и E);

21

2) факторный признак

x_{i, j, k} (t)

— условия функционирования подсистемы,

j = 1, . . ., J

; J — число факторов. Условия функционирования являются существенными факторами производства, обеспечивающими деятельность подсистемы (например, основные фонды и численность занятых);

22

3) нормативный признак

{\hat{y}}_{i, k} (t)

— нормативный (эталонный, ожидаемый) результат функционирования подсистемы. Существует неслучайная функция

f_{}

, которая для каждой подсистемы k каждому набору значений

x_{i, j, k} (t)

ставит в соответствие

{\hat{y}}_{i, k} (t) :

3) нормативный признак 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 — нормативный (эталонный, ожидаемый) результат функционирования подсистемы. Существует неслучайная функция 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow/></msub></math>
, которая для каждой подсистемы k каждому набору значений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 ставит в соответствие 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>:</mo></math>

23

{\hat{y}}_{i, k} (t) = f_{} (x_{i, 1, k} (t), . . ., x_{i, j, k} (t), . . ., x_{i, J, k} (t)) .

(1)

24

Примером может служить степенная мультипликативная двухфакторная функция, связывающая объем ВРП со стоимостью основных фондов и среднегодовой численностью занятых для соответствующего раздела ОКВЭД.

25

Если рассматривать значения признаков как возможные значения случайных величин

y_{i}

,

x_{i, j}

, то связь между результативными и нормативными признаками можно представить в виде эконометрического уравнения

26

y_{_{i}} = {\hat{y}}_{i} + ε_{i},

(2)

27

где

ε_{i}

— стохастические случайные составляющие, которые в первом приближении будем считать нормальными случайными величинами.

28

Для оценки результата функционирования в качестве частного показателя результативности будем использовать индикатор

ξ_{i}

, значения которого для подсистемы

k

в период

t

определяются по формуле

29

ξ_{i, k} (t) = y_{i, k}^{0} (t) / {\hat{y}}_{i, k}^{0} (t),

(3)

30

y_{i, k}^{0} (t) = \frac{y_{i, k}^{*} (t) - m i n {y_{i, k}^{*} (t), {\hat{y}}_{i, k}^{*} (t)}}{m a x {y_{i, k}^{*} (t), {\hat{y}}_{i, k}^{*} (t)} - m i n {y_{i, k}^{*} (t), {\hat{y}}_{i, k}^{*} (t)}},

(4)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow></mfrac><mo>,</mo></math>
(4)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow></mfrac><mo>,</mo></math> (4)

31

{\hat{y}}_{i, k}^{0} (t) = \frac{{\hat{y}}_{i, k}^{*} (t) - m i n {y_{i, k}^{*} (t), {\hat{y}}_{i, k}^{*} (t)}}{m a x {y_{i, k}^{*} (t), {\hat{y}}_{i, k}^{*} (t)} - m i n {y_{i, k}^{*} (t), {\hat{y}}_{i, k}^{*} (t)}} .

(5)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow></mfrac><mo>.</mo></math>
(5)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>{</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow></mfrac><mo>.</mo></math> (5)

32

y_{k, i}^{*} (t) = (y_{k, i} - M (y_{i} (t))) / σ (y_{i} (t)),

(6)

33

{\hat{y}}_{k, i}^{*} (t) = ({\hat{y}}_{k, i} - M ({\hat{y}}_{i} (t))) / σ ({\hat{y}}_{i} (t)),

(7)

34

где «*» обозначает, что величины приведены к стандартизованному виду, «0» — что значения приведены к шкале от 0 до 1;

M (y_{i} (t))

,

M ({\hat{y}}_{i} (t))

,

σ (y_{i} (t))

,

σ ({\hat{y}}_{i} (t))

— соответствующие средние значения и стандартные отклонения.

где «*» обозначает, что величины приведены к стандартизованному виду, «0» — что значения приведены к шкале от 0 до 1; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>M</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>M</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>σ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>σ</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></math>
 — соответствующие средние значения и стандартные отклонения.

35

Отметим, что формулы (4)–(5) основаны на унифицированном преобразовании (Айвазян, 2012, с. 84). Однако у нас используются стандартизованные переменные, а минимальное и максимальное значения переменных определяются из набора, образованного и фактическими, и нормативными значениями стандартизованных переменных.

36

Для совокупности из

I

элементов,

i = 1, . . ., I

, относящихся к одной подсистеме, определим интегральный (обобщенный) показатель результативности

ξ

, который учитывает взаимное влияние совокупности элементов и значения которого могут быть вычислены по формуле

37

ξ_{k} (t) = \frac{y_{k}^{0} (t)}{{\hat{y}}_{k}^{0} (t)} = \sqrt{\sum_{i_{1} = 1}^{I} \sum_{i_{2} = 1}^{I} r_{i_{1}, i_{2}} y_{i_{1}, k}^{0} (t) y_{i_{2}, k}^{0} (t)} / \sqrt{\sum_{i_{1} = 1}^{I} \sum_{i_{2} = 1}^{I} {\hat{r}}_{i_{1}, i_{2}} {\hat{y}}_{i_{1}, k}^{0} (t) {\hat{y}}_{i_{2}, k}^{0} (t)},

(8)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><msqrt><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>I</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>I</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></msqrt><mo>/</mo><msqrt><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>I</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>I</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></msqrt><mo>,</mo></math>
 (8)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><msqrt><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>I</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>I</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></msqrt><mo>/</mo><msqrt><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>I</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>I</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></msqrt><mo>,</mo></math> (8)

38

где

r_{i_{1}, i_{2}}

,

{\hat{r}}_{i_{1}, i_{2}}

— соответствующие значения парного коэффициента корреляции Пирсона между переменными

y_{i_{1}}^{0}

,

{\hat{y}}_{i_{1}}^{0}

и

y_{i_{2}}^{0}

,

{\hat{y}}_{i_{2}}^{0}

(

i_{1}, i_{2} = 1, . . ., I

),

y_{k}^{0} (t)

,

{\hat{y}}_{k}^{0} (t)

, — обобщенные фактические и нормативные значения результата функционирования подсистемы ИСЭС. Примером может служить оценка результатов функционирования совокупности хозяйствующих субъектов в Тульской области ЦФО по видам деятельности C, D и E в целом.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub></math>
 — соответствующие значения парного коэффициента корреляции Пирсона между переменными 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup></math>
 (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>I</mi></math>
), 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
, — обобщенные фактические и нормативные значения результата функционирования подсистемы ИСЭС. Примером может служить оценка результатов функционирования совокупности хозяйствующих субъектов в Тульской области ЦФО по видам деятельности C, D и E в целом.

где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> — соответствующие значения парного коэффициента корреляции Пирсона между переменными <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup></math> ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>I</mi></math> ), <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> , — обобщенные фактические и нормативные значения результата функционирования подсистемы ИСЭС. Примером может служить оценка результатов функционирования совокупности хозяйствующих субъектов в Тульской области ЦФО по видам деятельности C, D и E в целом.

39

Если значения индикаторов

ξ_{i}

или/и

ξ

больше или равны единице, можно считать, что результаты функционирования элемента (подсистемы) будут удовлетворительными.

40

Значение, стоящее в знаменателе выражения (3), вычисляется с использованием формулы (2), имеющей смысл производственной функции. Тогда стоящее в знаменателе значение выражения (8) является значением, полученным из преобразованной комбинации ПФ, которую будем называть агрегированной ПФ (АПФ). Для того чтобы вычислить значения интегрального показателя результативности, необходимо оценить параметры АПФ.

41

Задача поиска параметров АПФ ставится следующим образом (Жуков, 2020a).

42

Пусть имеется совокупность случайных величин

y_{i}

, характеризующих частные результаты функционирования подсистемы k в периоды времени t. Будем рассматривать объединенную по k и t выборку. Перепишем формулу (2) в виде

43

y_{i} = f_{i} (C_{i, j}, x_{i, j}) + ε_{i},

(9)

44

где i — индекс случайной величины (

i = 1, . . ., m \in Ν

), m — число результативных признаков,

C_{i, j}

— параметры функций

f_{i} (\cdot) = {\hat{y}}_{i}

,

ε_{i}

— стохастические случайные составляющие. В рамках исследования будем считать, что

ε_{i}

— нормально распределенные случайные величины (с.в.),

N (0; σ_{ε_{i}}^{2})

, а дисперсия

σ_{ε_{i}}^{2}

предполагается неизвестной.

где i — индекс случайной величины (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">Ν</mi></math>
), m — число результативных признаков, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 — параметры функций 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mo>⋅</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 — стохастические случайные составляющие. В рамках исследования будем считать, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 — нормально распределенные случайные величины (с.в.), 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
, а дисперсия 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
 предполагается неизвестной.

где i — индекс случайной величины ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">Ν</mi></math> ), m — число результативных признаков, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> — параметры функций <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mo>⋅</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> — стохастические случайные составляющие. В рамках исследования будем считать, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> — нормально распределенные случайные величины (с.в.), <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> , а дисперсия <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> предполагается неизвестной.

45

Тогда плотность распределения вероятностей

ε^{*}

, являющейся комбинацией

ε_{i}^{*}

, можно получить, воспользовавшись операцией свертки

46

f_{P} (ε_{}^{*}) = \frac{1}{(2 π)^{m / 2} \sqrt{Δ}} \frac{d}{d y_{}^{*}} \int \int . . . \int_{D}^{} e x p [- \frac{1}{2 Δ} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{m} A_{i, j} ε_{i}^{*} ε_{j}^{*}] d D,

(10)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msqrt><mi mathvariant="normal">Δ</mi></msqrt></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow/></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow></mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow></mfrac><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>D</mi><mo>,</mo></math>
(10)

47

где

Δ

и

A_{i, j}

— определитель и алгебраические дополнения корреляционной матрицы

‖r_{i j}‖

, элементами которой служат парные коэффициенты корреляции;

48

ε_{i}^{*} = (y_{i}^{*} - {\hat{y}}_{i}^{*})_{}^{2} / (2 σ_{y_{i}^{*}}^{2})

; (11)

49

D

зависит от комбинации

ε_{i}^{*}

и, соответственно,

y_{}^{*}

(комбинация

y_{i}^{*}

);

σ_{y_{i}^{*}}^{2}

— дисперсия

y_{i}^{*} .

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi></math>
 зависит от комбинации 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 и, соответственно, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 (комбинация 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
); 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
 — дисперсия 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>.</mo></math>

50

Поскольку каждый из частных результатов функционирования подсистемы

y_{i, k} (t)

представляется в абсолютных значениях, то для исключения влияния размерности (единиц измерения) целесообразно применять стандартизованные величины.

51

Оценку параметров АПФ можно осуществить двумя способами. Первый — предполагает поиск коэффициентов

{\hat{y}}_{i}

по отдельности с помощью, например, OLS. Второй — в использовании MLE, где максимизируемая логарифмическая функция правдоподобия

l n L (y_{}^{*} |C_{i, j}^{*}, x_{i, j}^{*} (t), σ_{y *}^{})

составляется на основе (10):

Оценку параметров АПФ можно осуществить двумя способами. Первый — предполагает поиск коэффициентов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 по отдельности с помощью, например, OLS. Второй — в использовании MLE, где максимизируемая логарифмическая функция правдоподобия 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>L</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mfenced open="|" close="" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo></math>
 составляется на основе (10):

52

l n L (y_{}^{*} |C_{i, j}^{*}, x_{i, j}^{*} (t), σ_{y *}^{}) = \sum_{k = 1}^{K} \sum_{t = 1}^{T} f (y_{}^{*} |C_{i, j}^{*}, x_{i, j}^{*} (t), σ_{y *}^{}) \to m a x

. (12)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>L</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mfenced open="|" close="" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></msubsup><mrow><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow></mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mfenced open="|" close="" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>→</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></math>
. (12)

53

Максимум (12) ищется по набору

C_{i, j}^{*}

(параметры стандартизованной ПФ i ) и

σ_{y *}^{}

.

54

В общем случае уравнение может иметь несколько решений, которые определяются выбором начальной точки, т.е. первоначальных значений

C_{i, j}^{*}

. При этом в силу специфики плотности вероятности с.в.

ε^{*}

(математическое ожидание и наиболее вероятное значение не совпадают) можно ввести критерий, ограничивающий изменение

C_{i, j}^{*}

. В качестве первоначальных значений целесообразно выбрать

C_{i, j}^{*}

из решений, полученных при поиске параметров моделей

f_{i}^{} (C_{i, j}^{*}, x_{i, j}^{*} (t))

. Ограничением может выступать условие

В общем случае уравнение может иметь несколько решений, которые определяются выбором начальной точки, т.е. первоначальных значений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
. При этом в силу специфики плотности вероятности с.в. 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
 (математическое ожидание и наиболее вероятное значение не совпадают) можно ввести критерий, ограничивающий изменение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
. В качестве первоначальных значений целесообразно выбрать 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 из решений, полученных при поиске параметров моделей 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></math>
. Ограничением может выступать условие

В общем случае уравнение может иметь несколько решений, которые определяются выбором начальной точки, т.е. первоначальных значений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> . При этом в силу специфики плотности вероятности с.в. <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> (математическое ожидание и наиболее вероятное значение не совпадают) можно ввести критерий, ограничивающий изменение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> . В качестве первоначальных значений целесообразно выбрать <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> из решений, полученных при поиске параметров моделей <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></math> . Ограничением может выступать условие

55

\sum_{k = 1}^{K} \sum_{t = 1}^{T} ‍ (ε_{k}^{*} (t))_{}^{2} \leq \sum_{k = 1}^{K} \sum_{t = 1}^{T} ‍ (ε_{k}^{*} (t))_{[p a r t]}^{2},

(13)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow/><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo>≤</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo>,</mo></math>
 (13)

56

где

ε_{k}^{*} (t)

— значения случайной величины

ε^{*}

(остатки), вычисленные с помощью

C_{i, j}^{*}

, найденных по (12); [part] — остатки, вычисленные с использованием

C_{i, j [p a r t]}^{*}

, определенных по (9).

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math>
 — значения случайной величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
 (остатки), вычисленные с помощью 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
, найденных по (12); [part] — остатки, вычисленные с использованием 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
, определенных по (9).

57

Тогда алгоритм поиска параметров моделей функционирования ИСЭС будет состоять из этапов:

58

определение параметров моделей $C_{i, j [p a r t]}^{*}$ для вычисления каждого из частных показателей результативности отдельно;
вычисление суммы квадратов остатков для интегрального показателя результативности $\sum_{k = 1}^{K} \sum_{t = 1}^{T} ‍ (ε_{k [p a r t]}^{*} (t))_{}^{2}$ с использованием $C_{i, j [p a r t]}^{*}$ ;
формирование логарифмической функции правдоподобия (12) для с.в. $ε^{*}$ , имеющей плотность вероятности $f_{p} (ε_{}^{*})$ (10);
установка первоначальных значений параметров моделей $C_{i, j [p a r t]}^{*}$ ;
нахождение параметров модели $C_{i, j}^{*}$ из решения задачи поиска максимума $l n L (y_{}^{*} |C_{i, j}^{*}, x_{i, j}^{*} (t), σ_{y *}^{})$ при наличии ограничения (13).

<ol> <li>определение параметров моделей 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 для вычисления каждого из частных показателей результативности отдельно; </li> <li>вычисление суммы квадратов остатков для интегрального показателя результативности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></msubsup><mrow><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow/><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></math>
 с использованием 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
; </li> <li>формирование логарифмической функции правдоподобия (12) для с.в. 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
, имеющей плотность вероятности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 (10); </li> <li>установка первоначальных значений параметров моделей 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
; </li> <li>нахождение параметров модели 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 из решения задачи поиска максимума 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>L</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mfenced open="|" close="" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo></math>
 при наличии ограничения (13).</li></ol>

<ol> <li>определение параметров моделей <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> для вычисления каждого из частных показателей результативности отдельно; </li> <li>вычисление суммы квадратов остатков для интегрального показателя результативности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></msubsup><mrow><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msubsup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow/><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></math> с использованием <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> ; </li> <li>формирование логарифмической функции правдоподобия (12) для с.в. <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> , имеющей плотность вероятности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> (10); </li> <li>установка первоначальных значений параметров моделей <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> ; </li> <li>нахождение параметров модели <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> из решения задачи поиска максимума <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>L</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mfenced open="|" close="" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo></math> при наличии ограничения (13).</li></ol>

59

Представленный алгоритм может применяться для уточнения параметров моделей, используемых при формировании частных и интегрального показателей результативности, определяемых по (3) и (8) соответственно.

60

В качестве ПФ для формирования нормативов и тестирования подхода к оценке параметров АПФ были выбраны модели степенного мультипликативного вида, аналогичные функциональной форме модели Кобба–Дугласа, поскольку они хорошо себя зарекомендовали при изучении процессов на мезоуровне, к которому и относятся регионы:

61

{\hat{y}}_{i}^{} = С_{i, 0} x_{i, 1}^{C_{i, 1}} x_{i, 2}^{C_{i, 2}},

(14)

62

где

{\hat{y}}_{i}^{}

— объем ВРП по виду i экономической деятельности;

x_{i, 1}^{}

— стоимость основных фондов по полной учетной стоимости на конец года по виду i экономической деятельности (млн руб.);

x_{i, 2}^{}

— среднегодовая численность занятых по виду i экономической деятельности (тыс. человек). Причем все значения признаков рассмотрены для каждой из 17 областей Центрального федерального округа (ЦФО) в период времени t. Стоимостные показатели были скорректированы на уровень инфляции¹ и приведены к 2007 г.:

1. Инфляция по данным Росстат (https://rosinfostat.ru/inflyatsiya/ ).

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow/></msubsup></math>
 — объем ВРП по виду i экономической деятельности; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>
 — стоимость основных фондов по полной учетной стоимости на конец года по виду i экономической деятельности (млн руб.); 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>
 — среднегодовая численность занятых по виду i экономической деятельности (тыс. человек). Причем все значения признаков рассмотрены для каждой из 17 областей Центрального федерального округа (ЦФО) в период времени t. Стоимостные показатели были скорректированы на уровень инфляции1 и приведены к 2007 г.:

63

(\cdot)_{t} = (\cdot) / \prod_{i = 1}^{t} {(1 + π_{i} / 100)}^{i},

(15)

64

где

(\cdot)_{t}

— значение скорректированного показателя

(\cdot)

в период t;

π_{i}

— уровень инфляции в периоде i, %; i=1 соответствует 2008 г. Стоимость основных фондов была дополнительно скорректирована на паритет покупательной способности² (российских рублей к 1 долл США):

2. Паритет покупательной способности по данным Росстат (https://www.fedstat.ru/indicator/40707).

65

(\cdot)_{t} = (\cdot) \prod_{i = 1}^{t} (1 + P P P_{i} / 100) / P P P_{i},

(16)

66

где

(\cdot)_{t}

— значение скорректированного показателя

(\cdot)

в период t;

P P P_{i}

— паритет покупательной способности (рубли к долларам США) в периоде i, %; i=1 соответствует 2007 г.

67

Информационной базой исследования явились данные Росстата для регионов ЦФОи за 2007–2016 гг.³^,⁴ (170 наблюдений) по видам экономической деятельности (разделы ОКВЭД): «C. Добыча полезных ископаемых», «D. Обрабатывающие производства», «E. Производство и распределение электроэнергии, газа и воды»).

3. Регионы России. Социально-экономические показатели: Статистический сборник. Росстат (https://rosstat.gov.ru/folder/210/document/13204).

4. Труд и занятость в России: Статистический сборник. Росстат (http://old.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat_main/rosstat/ru/statistics/publications/catalog/doc_1139916801766).

68

4. РЕЗУЛЬТАТЫ

69

4.1. Плотность распределения агрегированной случайной величины. Случаи для 2, 3 и m- переменных

70

Для оценки параметров АПФ построим агрегированную случайную величину и соответствующую ей плотность распределения вероятностей.

71

Пусть имеются K подсистем,

k = 1, . . ., K

и набор из двух признаков (

y_{1}^{*}

и

y_{2}^{*}

), представляющих стандартизованные с.в., значения которых характеризуют частные результаты функционирования подсистемы

k

. Будем считать, что они подчиняются нормальному закону распределения

N (0; 1)

. К такому выводу можно прийти, воспользовавшись формулой монотонного преобразования

ε_{i}^{*}

из (9).

Пусть имеются K подсистем, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>K</mi></math>
 и набор из двух признаков (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
), представляющих стандартизованные с.в., значения которых характеризуют частные результаты функционирования подсистемы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math>
. Будем считать, что они подчиняются нормальному закону распределения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>1</mn><mo>)</mo></math>
. К такому выводу можно прийти, воспользовавшись формулой монотонного преобразования 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 из (9).

72

Тогда обобщенный результат функционирования таких подсистем может быть определен с.в.

y_{}^{* +} \geq 0

по формуле:

73

y_{}^{* +} = + \sqrt{(y_{1}^{*})^{2} + 2 r y_{1}^{*} y_{2}^{*} + (y_{2}^{*})^{2}},

(17)

74

где

y_{1}^{*}

и

y_{2}^{*}

имеют совместную плотность вероятности

75

f_{P} (y_{1}^{*}, y_{2}^{*}) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - r^{2}}} e x p [- \frac{1}{2 (1 - r^{2})} ((y_{1}^{*})^{2} - 2 r y_{1}^{*} y_{2}^{*} + (y_{2}^{*})^{2})],

(18)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><msqrt><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></mfrac><mo>(</mo><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
 (18)

76

r

— парный коэффициент корреляции. Тогда плотность вероятности

y_{}^{* +} \geq 0

будет выражаться формулой

77

f_{P} (y_{}^{* +}) = \frac{y_{}^{* +}}{1 - r^{2}} e x p [- \frac{1 + r^{2}}{2 (1 - r^{2})^{2}} (y_{}^{* +})^{2}] I_{0} (\frac{r}{(1 - r^{2})^{2}} (y_{}^{* +})^{2}),

(19)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mo>+</mo></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mo>+</mo></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mo>+</mo></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mo>+</mo></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
(19)

78

где

I_{0}^{} (\cdot)

— модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

79

Замечание. В случае рассмотрения с.в.

y_{}^{*} \in (- \infty; \infty)

плотность вероятности (в формуле (19) вместо

y_{}^{+ *}

будет стоять

|y_{}^{*}|

) является симметричной относительно оси ординат и имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию

(1 + r^{2})

, а вид ее левой и правой частей совпадает с видом плотности вероятности

f_{P} (y_{}^{* +})

(рис. 1а). На рисунке видно, что при увеличении значения коэффициента корреляции абсцисса вершины кривой (наиболее вероятное значение) смещается к 0.

Замечание. В случае рассмотрения с.в. 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi><mo>;</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi><mo>)</mo></math>
 плотность вероятности (в формуле (19) вместо 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 будет стоять 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math>
) является симметричной относительно оси ординат и имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo></math>
, а вид ее левой и правой частей совпадает с видом плотности вероятности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mo>+</mo></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 (рис. 1а). На рисунке видно, что при увеличении значения коэффициента корреляции абсцисса вершины кривой (наиболее вероятное значение) смещается к 0.

Замечание. В случае рассмотрения с.в. <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi><mo>;</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi><mo>)</mo></math> плотность вероятности (в формуле (19) вместо <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> будет стоять <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math> ) является симметричной относительно оси ординат и имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo></math> , а вид ее левой и правой частей совпадает с видом плотности вероятности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mo>+</mo></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> (рис. 1а). На рисунке видно, что при увеличении значения коэффициента корреляции абсцисса вершины кривой (наиболее вероятное значение) смещается к 0.

80

Непосредственное интегрирование соотношения (19) от 0 до

+ \infty

показывает, что значение интеграла равно 1 и, следовательно, удовлетворяется одно из условий для функции распределения

F (y_{}^{+ *})

y_{}^{*}

(рис. 1б), которая равна 0 при

y_{}^{+ *} = 0

и является монотонно возрастающей.

Непосредственное интегрирование соотношения (19) от 0 до 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></math>
 показывает, что значение интеграла равно 1 и, следовательно, удовлетворяется одно из условий для функции распределения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 (рис. 1б), которая равна 0 при 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 и является монотонно возрастающей.

81

Для трех с.в. плотность вероятности и соответствующую ее функцию можно построить с помощью численного интегрирования выражения (10) (рис. 1в).

82

83

Рис. 1. Плотность вероятности

f_{P} (y_{}^{*}) = f_{P}^{} (y_{}^{* +})

для двух (а) и трех (в) переменных и функция распределения вероятностей

F (y_{}^{*}) = F (y_{}^{* +})

для двух (б) и трех (г) переменных для некоторых значений

r

,

r_{12}^{}, r_{13}^{}, r_{23}^{}

Рис. 1. Плотность вероятности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mo>+</mo></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 для двух (а) и трех (в) переменных и функция распределения вероятностей 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>F</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>F</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mo>+</mo></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 для двух (б) и трех (г) переменных для некоторых значений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>13</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>23</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>

84

В m-мерном случае при построении плотности вероятности вида (10) следует воспользоваться следующим алгоритмом.

85

Привести область интегрирования к каноническому виду с помощью метода Лагранжа и сделать замену переменных.
Перейти к m-мерным сферическим координатам.
Взять производную по $y_{}^{*}$ .
Численно проинтегрировать полученное выражение по угловым переменным. Переход к сферическим координатам обусловлен исключением необходимости дополнительного исследования поведения функции в особых точках, при которых знаменатель в выражении (10) обращается в 0.

86

4.2. Оценка параметров АПФ с двумя переменными

87

Для оценки параметров моделей были использованы авторская экспертная система «ЭФРА»⁵ и MathLab2018b. На первом этапе в результате применения МНК были получены выражения:

5. Жуков Р.А. «Программный комплекс для оценки функционирования сложных систем и принятия решений "ЭФРА" ("EFRA")». Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2020614151, 26.03.2020. Заявка № 2020613181 от 16.03.2020.

88

\begin{array}{l} {\hat{y}}_{1}^{} = & 40790 \times & {x_{1,1}^{}}^{0,662} \times & {x_{1,2}^{}}^{0,392}, \\ (0,0000) & (0,0000) & (0,0005) \end{array}

(\begin{array}{l} R^{2} = 0,892, & ν = 167 \end{array});

(20)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>40790</mn><mo>×</mo></mtd><mtd><msup><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1,1</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow><mrow><mn>0,662</mn></mrow></msup><mo>×</mo></mtd><mtd><msup><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow><mrow><mn>0,392</mn></mrow></msup><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/><mtd><mo>(</mo><mn>0,0000</mn><mo>)</mo></mtd><mtd><mo>(</mo><mn>0,0000</mn><mo>)</mo></mtd><mtd><mo>(</mo><mn>0,0005</mn><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0,892</mn><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>ν</mi><mo>=</mo><mn>167</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo><mo>;</mo></math>
(20)

89

\begin{array}{l} {\hat{y}}_{2}^{} = & 20156 \times & {x_{2,1}^{}}^{0,765} \times & {x_{2,2}^{}}^{0,261}, \\ (0,0000) & (0,0000) & (0,0001) \end{array}

(\begin{array}{l} R^{2} = 0,928, & ν = 167 \end{array});

(21)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>20156</mn><mo>×</mo></mtd><mtd><msup><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2,1</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow><mrow><mn>0,765</mn></mrow></msup><mo>×</mo></mtd><mtd><msup><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2,2</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow><mrow><mn>0,261</mn></mrow></msup><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/><mtd><mo>(</mo><mn>0,0000</mn><mo>)</mo></mtd><mtd><mo>(</mo><mn>0,0000</mn><mo>)</mo></mtd><mtd><mo>(</mo><mn>0,0001</mn><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0,928</mn><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>ν</mi><mo>=</mo><mn>167</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo><mo>;</mo></math>
(21)

90

\begin{array}{l} {\hat{y}}_{3}^{} = & 19996 \times & {x_{3,1}^{}}^{0,492} \times & {x_{3,2}^{}}^{0,744}, \\ (0,0000) & (0,0000) & (0,0000) \end{array}

(\begin{array}{l} R^{2} = 0,941, & ν = 167 \end{array}) .

(22)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>19996</mn><mo>×</mo></mtd><mtd><msup><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3,1</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow><mrow><mn>0,492</mn></mrow></msup><mo>×</mo></mtd><mtd><msup><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3,2</mn></mrow><mrow/></msubsup></mrow><mrow><mn>0,744</mn></mrow></msup><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/><mtd><mo>(</mo><mn>0,0000</mn><mo>)</mo></mtd><mtd><mo>(</mo><mn>0,0000</mn><mo>)</mo></mtd><mtd><mo>(</mo><mn>0,0000</mn><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0,941</mn><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>ν</mi><mo>=</mo><mn>167</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo><mo>.</mo></math>
(22)

91

Здесь

{\hat{y}}_{1}^{}

,

{\hat{y}}_{2}^{}

,

{\hat{y}}_{3}^{}

— объем ВРП по видам экономической деятельности, разделы C (B), D (С) и E (D, E) соответственно (в скобках обозначение по ОКВЭД 2);

x_{1,1}^{}

,

x_{2,1}^{}

,

x_{3,1}^{}

и

x_{1,2}^{}

,

x_{2,2}^{}

,

x_{3,2}^{}

— стоимость основных фондов и среднегодовая численность занятых по соответствующим ОКВЭД;

R^{2}

— коэффициент детерминации,

ν

— число степеней свободы; (

\cdot

) — достигнутый уровень значимости (p-value) при проверке гипотезы H₀: С_i,j=0.

Здесь 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>
 — объем ВРП по видам экономической деятельности, разделы C (B), D (С) и E (D, E) соответственно (в скобках обозначение по ОКВЭД 2); 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1,1</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2,1</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3,1</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2,2</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3,2</mn></mrow><mrow/></msubsup></math>
 — стоимость основных фондов и среднегодовая численность занятых по соответствующим ОКВЭД; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
 — коэффициент детерминации, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ν</mi></math>
 — число степеней свободы; (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>⋅</mo></math>
) — достигнутый уровень значимости (p-value) при проверке гипотезы H0: Сi,j=0.

Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow/></msubsup></math> — объем ВРП по видам экономической деятельности, разделы C (B), D (С) и E (D, E) соответственно (в скобках обозначение по ОКВЭД 2); <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1,1</mn></mrow><mrow/></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2,1</mn></mrow><mrow/></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3,1</mn></mrow><mrow/></msubsup></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow><mrow/></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2,2</mn></mrow><mrow/></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3,2</mn></mrow><mrow/></msubsup></math> — стоимость основных фондов и среднегодовая численность занятых по соответствующим ОКВЭД; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> — коэффициент детерминации, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">ν</mi></math> — число степеней свободы; ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>⋅</mo></math> ) — достигнутый уровень значимости (p-value) при проверке гипотезы H0: Сi,j=0.

92

Тестирование остатков на уровне значимости 5% показало следующие результаты. Проверка на равенство 0 математического ожидания ряда остатков (данные рассматривались как обычная статистическая выборка) по критерию Стьюдента подтвердила, что гипотезу можно принять, а тест на случайность, основанный на поворотных точках, — что остатки случайны. Тест на автокорреляцию по критерию Дарбина–Уотсона (DW-критерий) (DW_C=1,9191; DW_D=1,6083; DW_E=1,9991 при критических значениях границ DW_L=1,63, DWu=1,73) выявил отсутствие автокорреляции для разделов С и E (D — попал в область неопределенности). Проверка на гомоскедастичность по критерию Спирмена не обнаружила гетероскедастичности в остатках. R/S-критерий (R/S_C=5,1507; R/S_D=5,9135; R/S_E=5,4564 — критические значения для n=100 R/S_L=4,31 и R/S_U=5,90 соответственно, при увеличении n вилка увеличивается) подтвердил, что остатки обладают свойством гомоскедастичности.

Тестирование остатков на уровне значимости 5% показало следующие результаты. Проверка на равенство 0 математического ожидания ряда остатков (данные рассматривались как обычная статистическая выборка) по критерию Стьюдента подтвердила, что гипотезу можно принять, а тест на случайность, основанный на поворотных точках, — что остатки случайны. Тест на автокорреляцию по критерию Дарбина–Уотсона (DW-критерий) (DWC=1,9191; DWD=1,6083; DWE=1,9991 при критических значениях границ DWL=1,63, DWu=1,73) выявил отсутствие автокорреляции для разделов С и E (D — попал в область неопределенности). Проверка на гомоскедастичность по критерию Спирмена не обнаружила гетероскедастичности в остатках. R/S-критерий (R/SC=5,1507; R/SD=5,9135; R/SE=5,4564 — критические значения для n=100 R/SL=4,31 и R/SU=5,90 соответственно, при увеличении n вилка увеличивается) подтвердил, что остатки обладают свойством гомоскедастичности.

93

Замечание. При подстановке фактических и нормативных значений в абсолютных единицах измерения в формулы (4) и (5) для каждого года по отдельности можно наблюдать, что такое распределение не является нормальным (например, для раздела «С. Добыча полезных ископаемых»). Однако в рамках исследования выборка бралась не как выборка по панельным данным, а как статистическая выборка для всех периодов одновременно. К тому же рассматривались с.в. вида

y - \hat{y}

, где

\hat{y}

имеет смысл математического ожидания, которое рассчитывается по регрессионной модели для каждой из реализации случайной величины отдельно. Если считать, что изучаемые признаки ненормальны, то в соответствии с центральной предельной теоремой их сумма также будет стремиться к нормальному распределению. Фактические и нормативные значения ВРП для разделов C, D и E в абсолютных единицах измерения представлены на рис. 2 и 3.

Замечание. При подстановке фактических и нормативных значений в абсолютных единицах измерения в формулы (4) и (5) для каждого года по отдельности можно наблюдать, что такое распределение не является нормальным (например, для раздела «С. Добыча полезных ископаемых»). Однако в рамках исследования выборка бралась не как выборка по панельным данным, а как статистическая выборка для всех периодов одновременно. К тому же рассматривались с.в. вида 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>-</mo><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math>
, где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math>
 имеет смысл математического ожидания, которое рассчитывается по регрессионной модели для каждой из реализации случайной величины отдельно. Если считать, что изучаемые признаки ненормальны, то в соответствии с центральной предельной теоремой их сумма также будет стремиться к нормальному распределению. Фактические и нормативные значения ВРП для разделов C, D и E в абсолютных единицах измерения представлены на рис. 2 и 3.

Замечание. При подстановке фактических и нормативных значений в абсолютных единицах измерения в формулы (4) и (5) для каждого года по отдельности можно наблюдать, что такое распределение не является нормальным (например, для раздела «С. Добыча полезных ископаемых»). Однако в рамках исследования выборка бралась не как выборка по панельным данным, а как статистическая выборка для всех периодов одновременно. К тому же рассматривались с.в. вида <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>-</mo><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> , где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> имеет смысл математического ожидания, которое рассчитывается по регрессионной модели для каждой из реализации случайной величины отдельно. Если считать, что изучаемые признаки ненормальны, то в соответствии с центральной предельной теоремой их сумма также будет стремиться к нормальному распределению. Фактические и нормативные значения ВРП для разделов C, D и E в абсолютных единицах измерения представлены на рис. 2 и 3.

94

95

Рис. 2. Фактические (fact) и нормативные (norm) значения объема ВРП по видам экономической деятельности C, D и E для областей ЦФО (Белгородская — Липецкая области)

96

Рис. 3. Фактические (fact) и нормативные (norm) значения объема ВРП по видам экономической деятельности C, D и E для областей ЦФО (Московская — Ярославская области)

97

Рассмотрение соответствующих показателей в абсолютных единицах измерения дает лишь информацию об объеме, но не информацию о результативности функционирования ИСЭС с учетом конкретных для областей условий. Еще сложнее сравнить регионы по нескольким результатам одновременно. Частные и интегральные показатели результативности, построенные с использованием ПФ и АПФ, снимают эту проблему.

98

В соответствии с предложенным алгоритмом для оценки параметров АПФ линеаризованные и стандартизованные выражения (20)–(22) попарно были подставлены в (12), максимум которой был найден с помощью функции fmincon() MathLab с использованием алгоритма «interior-point». Плотность вероятности была взята в форме (19).

99

Вариант 1. Рассматривалась с.в., значения которой, по сути, представляют собой разность числителя и знаменателя (8), только для стандартизованных величин:

100

ε_{k}^{*} = (\sqrt{y_{1, k}^{* 2} + 2 r y_{1, k}^{*} y_{2, k}^{*} + y_{2, k}^{* 2}} - \sqrt{{\tilde{y}}_{1, k}^{* 2} + 2 \hat{r} {\tilde{y}}_{1, k}^{*} {\tilde{y}}_{2, k}^{*} + {\tilde{y}}_{2, k}^{* 2}}) / σ_{ε_{}^{*}},

(23)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mo>(</mo><msqrt><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mn>2</mn></mrow></msubsup></msqrt><mo>-</mo><msqrt><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mn>2</mn><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>^</mo></mover><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mn>2</mn></mrow></msubsup></msqrt><mo>)</mo><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 (23)

101

где

r, \hat{r}

— парные коэффициенты корреляции,

y_{i}^{*}

(

i = 1, 2

) — прологарифмированные стандартизованные значения выбранных показателей; «*» — стандартизованные переменные, k=1, ..., 170,

102

{\tilde{y}}_{i, k}^{*} = l n ({\hat{y}}_{i, k}^{})^{*} = C_{i, 1}^{*} l n (x_{i, 1, k}^{})^{*} + C_{i, 2}^{*} l n (x_{i, 2, k}^{*}),

(24)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow/></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo></math>
 (24)

103

C_{i, 1}^{*}

,

C_{i, 2}^{*}

,

σ_{ε_{}^{*}}

— оцениваемые параметры. Точкой старта были выбраны начальные значения соответствующих параметров

C_{i, j [p a r t]}^{*} = С_{i, j}^{} S_{l n (x_{i, j})} / S_{l n (y_{i})},

где

С_{i, j}^{}

— параметры из (20)–(22),

S_{l n (x_{i, j})}

,

S_{l n (y_{i})}

— стандартные отклонения с.в.

l n (x_{i, j})

и

l n (y_{i})

соответственно.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></msub></math>
 — оцениваемые параметры. Точкой старта были выбраны начальные значения соответствующих параметров 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">С</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">С</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup></math>
 — параметры из (20)–(22), 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msub></math>
 — стандартные отклонения с.в. 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
 соответственно.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">ε</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></msub></math> — оцениваемые параметры. Точкой старта были выбраны начальные значения соответствующих параметров <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">С</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msub><mo>,</mo></math> где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">С</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup></math> — параметры из (20)–(22), <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msub></math> — стандартные отклонения с.в. <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> соответственно.

104

Вариант 2.

105

ε_{k}^{*} = \sqrt{\frac{(y_{1, k}^{*} - {\tilde{y}}_{1, k}^{*})^{2}}{σ_{1}^{* 2}} + 2 r \frac{(y_{1, k}^{*} - {\tilde{y}}_{1, k}^{*})}{σ_{1}^{*}} \frac{(y_{2, k}^{*} - {\tilde{y}}_{2, k}^{*})}{σ_{2}^{*}} + \frac{(y_{2, k}^{*} - {\tilde{y}}_{2, k}^{*})^{2}}{σ_{2}^{* 2}},}

(25)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msqrt><mfrac><mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mfrac><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mo>,</mo></msqrt></math>
 (25)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msqrt><mfrac><mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mfrac><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mo>,</mo></msqrt></math> (25)

106

где

σ_{i}^{*}

— стандартное отклонение с.в.

y_{i, k}^{*} - {\tilde{y}}_{i, k}^{*}

,

i = 1,2

(

σ_{i}^{*}

вычислялось на каждом шаге численной оптимизации);

r

— парный коэффициент корреляции между

y_{1}^{*}

и

y_{2}^{*}

; система ограничений:

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 — стандартное отклонение с.в. 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1,2</mn></math>
 (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 вычислялось на каждом шаге численной оптимизации); 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi></math>
 — парный коэффициент корреляции между 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
; система ограничений:

где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> — стандартное отклонение с.в. <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1,2</mn></math> ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> вычислялось на каждом шаге численной оптимизации); <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi></math> — парный коэффициент корреляции между <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> ; система ограничений:

107

C_{i, j}^{*} \in [0; 1]

,

Δ l n (L_{p}) = l n (L_{p} (ε_{k [p a r t]}^{*})) - l n (L_{p} (ε_{k}^{*})) \leq 0,

(26)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>≤</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math>
 (26)

108

\begin{matrix} Δ_{ε_{}^{*}} = {\sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{y_{1, k}^{* 2} + 2 r y_{1, k}^{*} y_{2, k}^{*} + y_{2, k}^{* 2}} - \sqrt{{\tilde{y}}_{1, k}^{* 2} + 2 \hat{r} {\tilde{y}}_{1, k}^{*} {\tilde{y}}_{2, k}^{*} + {\tilde{y}}_{2, k}^{* 2}})}^{2} - \\ - {\sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{y_{1, k}^{* 2} + 2 r y_{1, k}^{*} y_{2, k}^{*} + y_{2, k}^{* 2}} - \sqrt{{\tilde{y}}_{1, k [p a r t]}^{* 2} + 2 \hat{r} {\tilde{y}}_{1, k [p a r t]}^{*} {\tilde{y}}_{2, k [p a r t]}^{*} + {\tilde{y}}_{2, k [p a r t]}^{* 2}})}^{2} \leq 0, \end{matrix}

109

l n (L_{p} (\cdot)) = n l n \frac{1}{1 - r^{2}} + \sum_{i = 1}^{n} l n |(\cdot)| + n l n \frac{1 + r^{2}}{2 (1 - r^{2})^{2}} - 2 \sum_{i = 1}^{n} (\cdot) + \sum_{i = 1}^{n} l n [I_{0} (\frac{r}{(1 - r^{2})^{2}} (\cdot)^{2})],

110

(\cdot)

—

ε_{k [p a r t]}^{*}

,

ε_{k}^{*}

определяются соотношением (25) для оцениваемых параметров

C_{i, j}^{*}

и их начальных значений

C_{i, j [p a r t]}^{*}

.

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mo>⋅</mo><mo>)</mo></math>
 — 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 определяются соотношением (25) для оцениваемых параметров 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 и их начальных значений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
.

111

Вариант 3. В качестве значения парного коэффициента корреляции был выбран коэффициент

r_{ε}

, характеризующий взаимосвязь между

(y_{1}^{*} - {\tilde{y}}_{1}^{*}) / σ_{1}^{*}

и

(y_{2}^{*} - {\tilde{y}}_{2}^{*}) / σ_{2}^{*}

, вычисляемый на каждом шаге численной оптимизации (табл. 1). Результаты проверки гипотез

H_{0}

по критерию

χ^{2}

на соответствие выбранному закону распределения отражены в табл. 2 и на рис. 4

Вариант 3. В качестве значения парного коэффициента корреляции был выбран коэффициент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub></math>
, характеризующий взаимосвязь между 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>/</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>/</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
, вычисляемый на каждом шаге численной оптимизации (табл. 1). Результаты проверки гипотез 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
 по критерию 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
 на соответствие выбранному закону распределения отражены в табл. 2 и на рис. 4

Вариант 3. В качестве значения парного коэффициента корреляции был выбран коэффициент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub></math> , характеризующий взаимосвязь между <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>/</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>/</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> , вычисляемый на каждом шаге численной оптимизации (табл. 1). Результаты проверки гипотез <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> по критерию <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> на соответствие выбранному закону распределения отражены в табл. 2 и на рис. 4

112

Таблица 1. Результаты вычислений коэффициентов моделей с использованием плотности вероятности АПФ

113

Параметр / агрегируемая модель	Вариант	$(l n ({\hat{y}}_{1}^{}))^{}$ , $(l n ({\hat{y}}_{2}^{}))^{}$ CD	$(l n ({\hat{y}}_{2}^{}))^{}$ , $(l n ({\hat{y}}_{3}^{}))^{}$ ED	$(l n ({\hat{y}}_{1}^{}))^{}$ , $(l n ({\hat{y}}_{3}^{}))^{}$ CE	Начальные значения $C_{i, j [p a r t]}^{*}$
$С_{2,2}^{*}$	1	0,1287	0,1829		0,1876
	2	0,3205	0,0000
	3	0,2916	0,0178^в
$С_{3,1}^{*}$	1		0,4885	0,6530	0,4898
	2		0,5233	0,3270
	3		0,4095	0,5274
$С_{3,2}^{*}$	1		0,4853	0,3995	0,4764
	2		0,7064	0,4248
	3		0,5467	0,3995
$σ_{ε_{}^{*}}$	1	1,4164	1,4754	1,3662	2,0364
	2				1,1295
	3				0,9913
Значение функции правдоподобия (Fval)	1	–329,4166	–343,2056	–346,1969	–
	2	186,8194	161,1163	158,1559
	3	180,5007	152,6185	151,8495
$\sum_{k = 1}^{K} (ε_{k}^{})^{2} - \sum_{k = 1}^{K} (ε_{k [p a r t]}^{})^{2}$	1	~–1х10^–9	~–1х10^–⁸	~–1х10^–⁸	0
$Δ l n (L_{p})$	2	–12,2323^б	–14,2484	19,2105	–
	3	–16,4203	–5,8159	–15,0051
$Δ_{ε_{}^{*}}$	2	~ –1х10^–⁸	~ –1х10^–⁷	~ –1х10^–⁷	0
	3	~ –1х10^–⁸	~ –1х10^–⁷	~ –1х10^–⁷

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Параметр / агрегируемая модель</td><td class="docx-publication-cell"> Вариант</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
 CD</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
 ED</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
 CE</td><td class="docx-publication-cell"> Начальные значения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">С</mi></mrow><mrow><mn>2,2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1287</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1829</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,1876</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3205</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0000</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2916</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0178в</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">С</mi></mrow><mrow><mn>3,1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,4885</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6530</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4898</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,5233</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3270</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,4095</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5274</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">С</mi></mrow><mrow><mn>3,2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,4853</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3995</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4764</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,7064</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4248</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,5467</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3995</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1,4164</td><td class="docx-publication-cell"> 1,4754</td><td class="docx-publication-cell"> 1,3662 </td><td class="docx-publication-cell"> 2,0364 </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 1,1295 </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,9913</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Значение функции правдоподобия (Fval)</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> –329,4166</td><td class="docx-publication-cell"> –343,2056</td><td class="docx-publication-cell"> –346,1969</td><td class="docx-publication-cell"> –</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 186,8194</td><td class="docx-publication-cell"> 161,1163</td><td class="docx-publication-cell"> 158,1559</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 180,5007</td><td class="docx-publication-cell"> 152,6185</td><td class="docx-publication-cell"> 151,8495</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></munderover><mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></munderover><mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> ~–1х10–9</td><td class="docx-publication-cell"> ~–1х10–8</td><td class="docx-publication-cell"> ~–1х10–8</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> –12,2323б </td><td class="docx-publication-cell"> –14,2484 </td><td class="docx-publication-cell"> 19,2105 </td><td class="docx-publication-cell"> –</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> –16,4203</td><td class="docx-publication-cell"> –5,8159</td><td class="docx-publication-cell"> –15,0051</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–8 </td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–7 </td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–7 </td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–8 </td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–7 </td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–7 </td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Параметр / агрегируемая модель</td><td class="docx-publication-cell"> Вариант</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> CD</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> ED</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> CE</td><td class="docx-publication-cell"> Начальные значения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">С</mi></mrow><mrow><mn>2,2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1287</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1829</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,1876</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3205</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0000</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2916</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0178в</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">С</mi></mrow><mrow><mn>3,1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,4885</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6530</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4898</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,5233</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3270</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,4095</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5274</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">С</mi></mrow><mrow><mn>3,2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,4853</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3995</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4764</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,7064</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4248</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,5467</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3995</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1,4164</td><td class="docx-publication-cell"> 1,4754</td><td class="docx-publication-cell"> 1,3662 </td><td class="docx-publication-cell"> 2,0364 </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 1,1295 </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 0,9913</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Значение функции правдоподобия (Fval)</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> –329,4166</td><td class="docx-publication-cell"> –343,2056</td><td class="docx-publication-cell"> –346,1969</td><td class="docx-publication-cell"> –</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 186,8194</td><td class="docx-publication-cell"> 161,1163</td><td class="docx-publication-cell"> 158,1559</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 180,5007</td><td class="docx-publication-cell"> 152,6185</td><td class="docx-publication-cell"> 151,8495</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></munderover><mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></munderover><mrow><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>[</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> ~–1х10–9</td><td class="docx-publication-cell"> ~–1х10–8</td><td class="docx-publication-cell"> ~–1х10–8</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> –12,2323б </td><td class="docx-publication-cell"> –14,2484 </td><td class="docx-publication-cell"> 19,2105 </td><td class="docx-publication-cell"> –</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> –16,4203</td><td class="docx-publication-cell"> –5,8159</td><td class="docx-publication-cell"> –15,0051</td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–8 </td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–7 </td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–7 </td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–8 </td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–7 </td><td class="docx-publication-cell"> ~ –1х10–7 </td><td class="docx-publication-cell"> </td></tr></table>

114

Таблица 2. Результаты проверки гипотезы H₀ на соответствие законам распределения

115

Параметры / агрегируемые модели	Вариант	$(l n ({\hat{y}}_{1}^{}))^{}$ , $(l n ({\hat{y}}_{2}^{}))^{}$ , CD	$(l n ({\hat{y}}_{2}^{}))^{}$ , $(l n ({\hat{y}}_{3}^{}))^{}$ , ED	$(l n ({\hat{y}}_{1}^{}))^{}$ , $(l n ({\hat{y}}_{3}^{}))^{}$ , CE
Критерий $χ^{2}$ , критическое значение $χ^{2}$ =7?8147
Нормальный закон	1	6,1622	3,3399	5,6152
	2	30,3625	24,5346	16,1652
	3	11,9413	8,7535	6,7774
$F_{P} (y_{}^{*})$ (формула плотности (18))	1	1797,5685	1851,8008	1596,0498
	2	8,1515	19,0737	13,2098
	3	6,7062	3,4908	4,0832

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Параметры / агрегируемые модели</td><td class="docx-publication-cell"> Вариант</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
, CD</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
, ED</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
, CE</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Критерий <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
, критическое значение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
=7?8147</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Нормальный закон</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 6,1622</td><td class="docx-publication-cell"> 3,3399</td><td class="docx-publication-cell"> 5,6152</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 30,3625</td><td class="docx-publication-cell"> 24,5346</td><td class="docx-publication-cell"> 16,1652</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 11,9413</td><td class="docx-publication-cell"> 8,7535</td><td class="docx-publication-cell"> 6,7774</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math>
 (формула плотности (18))</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1797,5685</td><td class="docx-publication-cell"> 1851,8008</td><td class="docx-publication-cell"> 1596,0498</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 8,1515</td><td class="docx-publication-cell"> 19,0737</td><td class="docx-publication-cell"> 13,2098</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 6,7062</td><td class="docx-publication-cell"> 3,4908</td><td class="docx-publication-cell"> 4,0832</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Параметры / агрегируемые модели</td><td class="docx-publication-cell"> Вариант</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> , CD</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> , ED</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>)</mo><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> , CE</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Критерий <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> , критическое значение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> =7?8147</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Нормальный закон</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 6,1622</td><td class="docx-publication-cell"> 3,3399</td><td class="docx-publication-cell"> 5,6152</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 30,3625</td><td class="docx-publication-cell"> 24,5346</td><td class="docx-publication-cell"> 16,1652</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 11,9413</td><td class="docx-publication-cell"> 8,7535</td><td class="docx-publication-cell"> 6,7774</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> (формула плотности (18))</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1797,5685</td><td class="docx-publication-cell"> 1851,8008</td><td class="docx-publication-cell"> 1596,0498</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> 8,1515</td><td class="docx-publication-cell"> 19,0737</td><td class="docx-publication-cell"> 13,2098</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> 6,7062</td><td class="docx-publication-cell"> 3,4908</td><td class="docx-publication-cell"> 4,0832</td></tr></table>

116

Примечание. Число интервалов определялось с помощью формулы Стерджесса:

k = 3,322 l g (n) + 1 = 8

,

k

— число интервалов,

n

— число наблюдений; критические значения определялись для уровня значимости

α = 0,05

и числа степеней свободы

ν = 3

.

Примечание. Число интервалов определялось с помощью формулы Стерджесса: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>3,322</mn><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>8</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi></math>
 — число интервалов, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math>
 — число наблюдений; критические значения определялись для уровня значимости 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0,05</mn></math>
 и числа степеней свободы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>ν</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math>
.

117

118

Рис. 4. Гистограммы агрегированной случайной величины ε^* (data — частоты с.в. ε^*; bess — теоретические частоты функции распределения ε^* с плотностью (19), normal — теоретические частоты нормальной функции распределения ε^*; а–в — гистограммы для разделов CD, ED и CE с.в. ε^* по (23) (вариант 1); г–е —по (25) (вариант 2), ж–и — результаты расчета частот с.в. ε^* по (25) с учетом

r_{ε}

(вариант 3))

119

Различия в коэффициентах

C_{i, j}^{*}

, вычисленных 4 способами (см. п. 4.3), объясняются особенностями построения с.в., а с экономической точки зрения — изменением характера влияния выделенных существенных факторов на обобщенный результирующий признак, который должен учитывать синергетический эффект от взаимодействия выбранных результатов функционирования ИСЭС. Если в формулу плотности вероятности в форме (18) для

y_{}^{*} \in (- \infty; \infty)

непосредственно подставлять с.в. вида (23), оказывается, что полученное распределение ближе к нормальному закону, чем к (19). Объяснение такого эффекта, вероятно, кроется в действии центральной предельной теоремы для одинаково распределенных с.в., имеющих устойчивый закон распределения.

Различия в коэффициентах 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math>
, вычисленных 4 способами (см. п. 4.3), объясняются особенностями построения с.в., а с экономической точки зрения — изменением характера влияния выделенных существенных факторов на обобщенный результирующий признак, который должен учитывать синергетический эффект от взаимодействия выбранных результатов функционирования ИСЭС. Если в формулу плотности вероятности в форме (18) для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow/><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi><mo>;</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi><mo>)</mo></math>
 непосредственно подставлять с.в. вида (23), оказывается, что полученное распределение ближе к нормальному закону, чем к (19). Объяснение такого эффекта, вероятно, кроется в действии центральной предельной теоремы для одинаково распределенных с.в., имеющих устойчивый закон распределения.

120

Предложенный алгоритм оценки интегрального индикатора и поиска коэффициентов агрегированных моделей через функцию плотности вероятности можно расширить, если снять предположение о нормальности случайных величин, характеризующих частные результаты функционирования ИСЭС.

121

4.3. Оценка функционирования регионов ЦФО по интегральному показателю результативности

122

По формуле (8) были получены значения интегрального показателя результативности для регионов ЦФО (без г. Москва) за 2007–2016 гг. для сочетаний разделов CD, DE и CE и четырех вариантов вычисления параметров ПФ:

123

отдельно для каждого раздела;
по (23) (Ag1);
по (25) (Ag2);
по (25), коэффициент корреляции вычислялся на каждом шаге численной оптимизации (Ag3).

124

В качестве иллюстрации на рис. 5–6 представлены изменения значений интегрального показателя результативности для регионов ЦФО за 2007–2016 гг. для разделов CD, вычисленного по ПФ для каждого раздела отдельно (Int) и по АПФ, параметры которой рассчитаны в трех вариантах — (Ag1), (Ag2) и (Ag3). Нормативные значения (norm) отображены горизонтальной линией с единичной ординатой.

125

Рис. 5. Изменения значений интегрального показателя результативности для регионов ЦФО за 2007–2016 гг. для разделов C, D (Белгородская — Липецкая области)

126

Рис. 6. Изменения значений интегрального показателя результативности для регионов ЦФО за 2007–2016 гг. для разделов C, D (Московская — Ярославская области)

127

Графики на рис. 5 и 6 показывают, что формы траекторий значений интегрального показателя схожи (для разделов ED и CE траектории аналогичны). К тому же такое представление результатов функционирования более наглядно, чем в абсолютных единицах. При этом визуальное сравнение значений с нормативом дает возможность оценить результативность функционирования областей уже с учетом конкретных условий.

128

На рис. 7 представлены средние относительные ошибки между значениями интегрального показателя Int и значениями интегральных показателей Ag1, Ag2 и Ag3 (обозначены соответственно Int-Ag1, Int-Ag2, Int-Ag3). Ошибки определены как для регионов ЦФО в целом (индекс 0), так и отдельно для каждой области (индексы 1–17) за период 2007–2016 гг.

129

Различия в значениях интегральных показателей для регионов ЦФО могут быть связаны со следующими причинами. Основные из них — это предположение о нормальности плотности вероятности для результативных признаков всех регионов и алгоритм оценки параметров агрегированной ПФ. Это вносит искажение в результаты оценок, полученных разными способами.

130

Рис. 7. Средние относительные ошибки между значениями интегрального показателя результативности за период 2007–2016 гг.; 0 — ЦФО в целом, 1 — Белгородская, 2 — Брянская, 3 — Владимирская, 4 — Воронежская, 5 — Ивановская, 6 — Калужская, 7 — Костромская, 8 — Курская, 9 — Липецкая, 10 — Московская, 11 — Орловская, 12 — Рязанская, 13 — Смоленская, 14 — Тамбовская, 15 — Тверская, 16 — Тульская, 17 — Ярославская области

131

Однако средняя относительная ошибка между оценками варьируется около приемлемого 5%-го уровня. Это означает, что в случае формирования норматива для результатов функционирования регионов такой подход к оценке является приемлемым. Выбор способа оценки параметров агрегированной ПФ может быть обоснован исходя из следующих соображений. Для упрощения вычислений можно определять коэффициенты ПФ отдельно. Для уточнения параметров целесообразно использовать плотность вероятности агрегированной случайной величины. На рис. 5 и 6 видно, что траектории изменения значений интегральных индикаторов для различных вариантов оценки параметров ПФ, за редким исключением, не пересекаются. То есть они формируют верхнюю (наиболее низкое (слабое) требование к значению индикатора) и нижнюю (в противном случае) границу норматива (ожидаемого значения), построенного с использованием АПФ. Следовательно, выбор алгоритма оценки можно связать с приоритетами развития того или иного региона. Если, например, развитие обрабатывающих производств и добывающей отрасли является наиболее важным, то норматив необходимо установить более строгим и выбрать такой алгоритм вычисления параметров ПФ, который дает самые низкие, по сравнению с другими алгоритмами, оценки интегрального показателя результатов функционирования ИСЭС и ее подсистем на заданном уровне иерархии.

132

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

133

В статье предложен новый метод оценки результатов функционирования иерархической социально-экономической системы, ее подсистем и элементов. Для подсистемы оценка проводится с помощью интегрального показателя результативности, который вычисляется с помощью агрегированной производственной функции. Ее параметры могут быть получены двумя способами. Первый предполагает использование коэффициентов, полученных из эконометрических уравнений для каждого результата функционирования ИСЭС по отдельности. Второй способ, составляющий научную новизну исследования, так же как и его апробация, основан на построении плотности распределения вероятностей агрегированной случайной величины, которая потребуется при поиске параметров АПФ. Для двумерного случая получено аналитическое выражение такой плотности распределения.

134

Тестирование метода по статистическим данным для регионов ЦФО за 2007–2016 гг. показало, что для большинства областей наблюдаются незначительные расхождения в значениях интегрального индикатора, вычисленных на основе представленных способов определения параметров АПФ. Предложен вариант обоснования выбора алгоритма для оценки параметров АПФ.

135

Метод применим для ИСЭС и их подсистем на различных уровнях иерархии (хозяйствующий субъект, муниципальное образование, регион, округ) и может быть интересен широкому кругу исследователей.

GOST	Zhukov R. Method for assessing the results of hierarchical socio-economic systems’ functioning based on the aggregated production function // Economics and the Mathematical Methods. – 2021. – V. 57. – Issue 3 C. 17-31 . URL: https://emmras.ru/s042473880016428-9-1/?version_id=90376. DOI: 10.31857/S042473880016428-9
MLA	Zhukov, Roman "Method for assessing the results of hierarchical socio-economic systems’ functioning based on the aggregated production function." Economics and the Mathematical Methods. 57.3 (2021).:17-31. DOI: 10.31857/S042473880016428-9
APA	Zhukov R. (2021). Method for assessing the results of hierarchical socio-economic systems’ functioning based on the aggregated production function. Economics and the Mathematical Methods. vol. 57, no. 3, pp.17-31 DOI: 10.31857/S042473880016428-9

1. ВВЕДЕНИЕ

2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

3. МЕТОДОЛОГИЯ И ДАННЫЕ

4. РЕЗУЛЬТАТЫ

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

References

Comments

1. ВВЕДЕНИЕ

2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

3. МЕТОДОЛОГИЯ И ДАННЫЕ

4. РЕЗУЛЬТАТЫ

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

References

Comments

Via social network