1. Постановка задачи и основной результат

Рассмотрим динамическую агрегированную производственную функцию (ПФ)

Y=F(K,L,t), (1)

где Y – выпуск продукции, K – капитал, L – труд, t – параметр времени из числового луча R+=[0; + ∞), каждое значение которого выражает определенный уровень научно-технического прогресса (НТП), неотрицательная функция F является дважды непрерывно дифференцируемой на множестве D=G×R+, экономическая область G из первого квадранта R+2=K,L:K≥0, L≥0, R – множество действительных чисел.

Начиная с 20-х годов XX века, исследователи пытались понять в чем состоит НТП с точки зрения макроэкономической динамики, какие экономические показатели он оставляет неизменными (нейтральными, инвариантными) во времени, а какие – изменяет. На основании понятия нейтральности были построены различные классификации НТП относительно заданных инвариантных соотношений между экономическими показателями. Одна из первых классификаций НТП была предложена в 1932 году Дж.Р. Хиксом (J.R. Hicks) в книге «Теория заработной платы» и была основана на изменении с течением времени предельной нормы технического замещения [1, с. 121 – 122]: «Если рассматривать два фактора, «труд» и «капитал», то изобретения можно классифицировать в соответствии с тем увеличивают ли они, оставляют неизменным, либо уменьшают отношение предельной производительности капитала к предельной производительности труда по сравнению с ее первоначальным состоянием. Такие изобретения будем называть «трудосберегающими», «нейтральными» и «капиталосберегающими», соответственно». Дж. Робинсон (J. Robinson) в своей монографии «Очерки по теории занятости» [2] при обсуждении влияния технологий на положения долгосрочного равновесия в теории занятости использовала классификацию Дж.Р. Хикса НТП при дополнительном условии: «фондовооруженность труда является величиной постоянной» [3]. В дальнейшем, данная модификация определения нейтральности НТП по Хиксу получила широкое распространение и сейчас в научной литературе используется в качестве основного понятия (см., например, [4 – 9]). Идея еще одной классификации НТП была заложены Р.Ф. Харродом (R.F. Harrod) в рецензии [10] на книгу Дж.В. Робинсон «Очерки по теории занятости» [2] и позднее в расширенном виде была изложена в его монографии «К динамической экономической теории» [11, с. 22 – 27]. Понятие «нейтральность НТП по Солоу», которое является симметричным по отношению к понятию «нейтральность НТП по Харроду», было введено и использовано в работах [12; 13] американского экономиста Р.М. Солоу (R.M. Solow). Для неоклассических ПФ (1) в статье Р. Сато (R. Sato) и М. Беккмана (M. Beckmann) [5] в зависимости от инвариантности относительно НТП различных соотношений (рассмотрены 15 случаев) между основными экономико-математическими характеристиками ПФ введены возможные определения нейтральности НТП и получены, соответствующие им, аналитические представления динамических линейно-однородных ПФ. В работе [14] классификация Сато – Беккмана обобщена и дополнена новыми условиями нейтральности НТП на общий случай аналитического задания динамической ПФ.

Сформулируем точнее концепции нейтральности НТП по Хиксу, Харроду и Солоу:

1) если предельная норма технического замещения (труда капиталом) MRTSLK изменяется с течением времени при фиксированной фондовооруженности труда, т.е.

MRTSLK=const при K/L=const , (2)

то имеет место нейтральный по Хиксу НТП;

2) если предельная производительность капитала MP​K не изменяется с течением времени при фиксированной фондоотдаче, т.е.

MP​K=const при Y/K=const, (3)

то будем говорить, что НТП является нейтральным по Харроду;

3) если предельная производительность труда MP​L не изменяется с течением времени при фиксированной производительности труда, т.е.

MP​L=const при Y/L=const, (4)

то НТП будет нейтральным по Солоу.

Общий вид агрегированных динамических ПФ учитывающих нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП описывают следующие утверждения (теоремы 1 и 2).

Теорема 1. Динамическая агрегированная ПФ (1) учитывает:

1) нейтральный по Хиксу НТП тогда и только тогда, когда её можно представить в аналитическом виде [15] Y=Φ(Ψ(K,L),t), где Φ – некоторая неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция, переменных Ψ и t, а Ψ – линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция;

2) нейтральный по Харроду НТП тогда и только тогда, когда её можно представить в аналитическом виде [16] Y=Φ(K,Ψ(L,t)), где Φ – некоторая неотрицательная линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция переменных K и Ψ, а Ψ – непрерывно дифференцируемая функция от переменных L и t;

3) нейтральный по Солоу НТП тогда и только тогда, когда её можно представить в аналитическом виде [15] Y=Φ(Ψ(K,t),L), где Φ – некоторая неотрицательная линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция переменных Ψ и L, а Ψ – непрерывно дифференцируемая функция от переменных K и t.

В случае, когда ПФ (1) является линейно-однородной из теоремы 1 следует

Теорема 2. Линейно-однородная динамическая ПФ (1) учитывает:

1) нейтральный по Хиксу НТП, если и только если она может быть представлена в аналитической форме (см., например, работу [5]) Y=A(t)​​Φ(K,L);

2) нейтральный по Харроду НТП, если и только если она может быть представлена в аналитической форме [3; 4] Y=Φ(K,C(t)L);

3) нейтральный по Солоу НТП, если и только если она может быть представлена в аналитической форме (см., работу [5]) Y=Φ(B(t)K,L), где Φ – неотрицательная линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция, а строго возрастающие функции A, B и C такие, что A(0)=B(0)=C(0)=1, есть индексы НТП.

В 1961 году японский экономист Х.Удзава (H. Uzawa) поставил и решил [4] для линейно-однородных ПФ задачу об аналитическом виде динамических ПФ, учитывающих одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП. В работе [17] результаты Удзавы были распространены на однородные ПФ произвольной степени. В данной заметке полностью решена задача Удзавы: выделены общие классы динамических агрегированных ПФ, учитывающих одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП. Основной результат работы выражает

Теорема 3. Для того, чтобы динамическая агрегированная ПФ (1) одновременно учитывала нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП необходимо и достаточно, чтобы она была представлена или в форме Кобба – Дугласа – Тинбергена

F1(K,L,t)=A(t)KαLβ, (5)

или в аналитической форме

F2(K,L,t)=(a​K1-γ+b​L1-γ+A(t))1/(1-γ), (6)

где числа α,β,γ,a,b∈R, γ≠1, а функция A зависит только от параметра НТП t.

2. Доказательство основного результата

Основываясь на понятиях [18, с. 48 – 49] предельной нормы технического замещения (труда капиталом), предельных производительностей капитала и труда, на основании определений нейтральности НТП по Хиксу (2), по Харроду (3) и по Солоу (4) получаем, что динамическая ПФ (1) одновременно учитывает НТП, нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу тогда и только тогда, когда существуют непрерывно дифференцируемые функции h1, h2 и h3 такие, что имеют место дифференциальные тождества

∂LF(K,L,t)∂KF(K,L,t)=h1KL, ∂KF(K,L,t)=h2FK, и ∂LF(K,L,t)=h3FL, (7)

где через ∂K и ∂L обозначены частные производные первого порядка по переменным K и L, соответственно.

Необходимость. Из системы дифференциальных тождеств (7) следует, что функции h1, h2 и h3 связаны функциональным уравнением

h3(ζ)=h1ζξ⋅h2(ξ), (8)

где введены переменные ξ=F/K, ξ=F/L.

Уравнение (8) есть обобщенное уравнение Коши относительно трех неизвестных функций, которое имеет единственное решение [19; 20, с. 89 – 90]

h1ζξ=C1⋅ζξγ, h2(ξ)=C2⋅ξγ, h3(ξ)=C3⋅ζγ, (9)

где C1, C2 и C3=C1⋅C2 – произвольные вещественные числа, γ∈R.

Решим систему квазилинейных уравнений в частных производных (7) при условии (9) используя подход последовательного решения квазилинейных уравнений [21, С. 75 – 76] методом характеристик [22, С. 229].

Случай γ=1. При h1(K/L)=C1⋅(K/L) из первого уравнения

C1K⋅∂KF-L⋅∂LF=0

системы в частных производных (7) находим функционально-независимые первые интегралы K⋅LC1=C~1 и t=C~2(C~1 и C~2 есть произвольные вещественные постоянные) характеристической системы dKC1K=dL-L=dt0 и строим его общее решение F(K,L,t)=Φ(K⋅L​C1,t), где Φ ‒ произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Подставляя полученную функцию F во второе уравнение системы в частных производных (7) при h2(F/K)=C2⋅(F/K), для определения функции Φ получаем дифференциальное уравнение

∂uΦ(u,t)=C2Φ(u,t)u,

где u=K⋅LC1, с общим решением Φ(u,t)=A(t)uC2. А значит, функция F примет следующий вид F(K,L,t)=A(t)K​C2L​C1​C2.

Подставляя функцию F в третье уравнение системы в частных производных (7) при h3(F/L)=C3⋅(F/L) получаем верное тождество. Следовательно, функция (5) является решением системы (7) при условиях (9) и γ=1, где положено α=C2, β=C1C2, а A есть произвольная функция, зависящая только от параметра НТП.

Случай γ≠1. При h1(K/L)=C1⋅(K/L)γ из первого уравнения

C1Kγ⋅∂KF-L​γ⋅∂LF=0

системы в частных производных (7) находим функционально-независимые первые интегралы K1-γ+C1⋅L1-γ=C~1 и t=C~2 (C~1 и C~2 есть произвольные вещественные постоянные) характеристической системы dKC1Kγ=dL-L​γ=dt0 и строим его общее решение F(K,L,t)=Φ(K1-γ+C1⋅L​1-γ,t), где Φ ‒ произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Подставляя полученную функцию F во второе уравнение системы в частных производных (7) при h2(F/K)=C2⋅(F/K)γ, для определения функции Φ получаем дифференциальное уравнение

∂uΦ(u,t)=С21-γ⋅Φγ(u,t),

которое имеет общее решение Φ(u,t)=(C2​u+A(t))1/(1-γ), где u=K1-γ+C1⋅L1-γ, A есть произвольная функция, зависящая только от параметра НТП. А значит, функция F примет следующий вид F(K,L,t)=(C2K1-γ+C1C2L​1-γ+A(t))1/(1-γ).

Подставляя функцию F в третье уравнение системы в частных производных (7) при h3(F/L)=C3⋅(F/L)γ получаем верное тождество. Таким образом, функция (6) является общим решением системы квазилинейных уравнений (7) при условиях (9) и γ≠1, где положено a=C1, b=C1C2, а A есть произвольная функция, зависящая только от параметра НТП.

Достаточность. Пусть динамическая ПФ (1) представима или аналитической форме (5) или в форме (6). Тогда вычисляя частные производные от функций F​1 и F2 по факторам производства K и L получаем:

1) MRTSLK(F1)=βαKL, MPK(F1)=αFK, MPL(F1)=βFL,

т.е. имеют место тождества (7) при h1(ξ)=βαξ, h2(ζ)=α​ζ и h3(ρ)=β​ρ, а значит ПФ (5) учитывает НТП, одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу;

2) MRTSLK(F2)=ba⋅KLγ, MPK(F2)=a⋅FKγ, MPL(F2)=b⋅FLγ,

т.е. имеют место тождества (7) при h1(ξ)=baξγ, h2(ζ)=a​ζγ и h3(ρ)=b​ργ, а значит ПФ (6) учитывает НТП, одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу. □